资源简介

第一章　预备知识
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
基础过关练
题组一　必要条件与充分条件的判断
1.已知a∈R,则“a>1”是“<1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在四边形ABCD中,AB∥CD,则“∠BAD=90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0,或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)下列选项中,p是q的必要不充分条件的有(　　)
A.p:a≤1,q:a<1
B.p:A∩B=A,q:A∪B=B
C.p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等
D.p:x2+y2=1,q:x=1,y=0
5.如果A是D的充分不必要条件,B是C的充要条件,A是C的必要不充分条件,则下列说法正确的是(　　)
A.A是B的必要不充分条件
B.B是D的充分不必要条件
C.C是D的充要条件
D.B是D的既不充分也不必要条件
6.下图是由电池、开关和灯泡组成的电路,假定所有零件均能正常工作,则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
7.判断下列命题中p是q的什么条件.
(1)p:x>1,q:x>1或x<-1;
(2)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;
(3)a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.
题组二　必要条件与充分条件的探究与证明
8.设a是实数,则a<5成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a<6　　　B.a<4　　　　
C.-59.ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件是(　　)
A.a=1　　　B.a=b
C.b=1　　　D.ab=1
10.(多选题)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的一个充分不必要条件是(　　)
A.n=4　　　B.n=-5
C.n=-1　　　D.n<0
11.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1.
题组三　利用必要条件与充分条件求参数
12.若“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件,则实数m的值为(　　)
A.1　　　　B.-或1　　　　D.-1或-
13.(多选题)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,则下列说法正确的是(　　)
A.当m=3时,方程的两个实数根之和为0
B.方程无实数根的一个必要条件是m>1
C.方程有两个正根的充要条件是0D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0
14.已知集合A={x|x<-1,或x>2},B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
15.已知p:-2≤x≤6,q:1-m≤x≤1+m,m>0.
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一　必要条件与充分条件的判断
1.下列说法错误的是(　　)
A.“A∩B=B”是“B= ”的必要不充分条件
B.“x=3”的一个充分不必要条件是“x2-2x-3=0”
C.“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件
D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”
2.设a,b,c是非零实数,式子所有可能取的值组成的集合记为P,满足{x|mx-1=0} {x|3x2+2x-1=0}的实数m所有可能取的值组成的集合记为Q,已知α:x∈P,β:x∈Q,则α是β的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题组二　必要条件与充分条件的探究与证明
3.方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根的充要条件是(　　)
A.k=3　　　B.k=0
C.k=1　　　D.k=-3
4.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空:
(1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;
(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;
(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.
5.已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
题组三　利用必要条件与充分条件求参数
6.已知集合A=,B={x|x+m>1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数m的取值范围为　　　　.
7.已知命题p:1-c0),命题q:x>7或x<-1,若p是q的既不充分也不必要条件,则c的取值范围是　　　　.
8.在①A∪B=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;③A∩B= 这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,并解答下列问题.
已知集合A={x|2a-1(1)当a=-时,求A∩( RB);
(2)若　　　　,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
基础过关练
1.A　当a>1时,有<1,充分性成立;当<1时,a可以小于0,必要性不成立,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件.故选A.
2.D　若∠BAD=90°,则四边形ABCD为矩形或直角梯形,若四边形ABCD为直角梯形,则∠BAD不一定为90°,所以“∠BAD=90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分也不必要条件.故选D.
3.C　A∪B={x∈R|x<0,或x>2},C={x∈R|x<0,或x>2},∴A∪B=C,∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件.
4.AD　对于A,a≤1 /a<1,但a<1 a≤1,
∴p是q的必要不充分条件,A正确;
对于B,由A∩B=A,得A B,由A∪B=B,得A B,
∴p是q的充要条件,B错误;
对于C,两个三角形全等,则面积一定相等,但两个三角形面积相等,不一定全等,
∴p是q的充分不必要条件,C错误;
对于D,当x=1,y=0时,x2+y2=1,
当x2+y2=1时,x=1,y=0不一定成立,如x=-1,y=0,∴p是q的必要不充分条件,D正确.故选AD.
5.AB　由题意得D /A / C B,
故A是B的必要不充分条件,A正确;B是D的充分不必要条件,B正确,D错误;C是D的充分不必要条件,C错误.故选AB.
6.答案　充分不必要
解析　当开关K1和K2有且只有一个闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,开关K1和K2也有可能都闭合,故电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件.
7.解析　(1)因为“x>1”能推出“x>1或x<-1”,即p q,但“x>1或x<-1”推不出“x>1”,如x=-2,即q / p,所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”,即p / q,但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”,即q p,所以p是q的必要不充分条件.
(3)若a2+b2=0,则a=b=0,即p q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q p,故p q,所以p是q的充要条件.
8.A　
9.C　由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,所以选项C符合题意.故选C.
10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4,设方程的两实数根分别为x1,x2,则x1+x2=-4,
又方程x2+4x+n=0有正数根,所以x1,x2一正一负,
所以x1x2=n<0,结合选项知B,C正确.
11.证明　充分性(条件 结论):
因为ab≠0,所以a2-ab+b2=b2>0,
又a+b>1,所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>a2-ab+b2,即a3+b3+ab-a2-b2>0,所以充分性成立;
必要性(结论 条件):
因为a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)>0,
而a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1>0,
所以a+b>1,所以必要性成立.
综上,a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1.
导师点睛　对于充要条件的证明问题,可分别证明充分性与必要性,此时应明确谁是条件,谁是结论.充分性是由条件成立来证明结论成立,而必要性则是由结论成立来证明条件成立.
12.B　因为“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件,所以当x=2时,4m2-2m-2=0,解得m=-或m=1.
当m=1时,m2x2-(m+3)x+4=0可化为x2-4x+4=0,所以x=2,此时“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充要条件,舍去;
当m=-时,m2x2-(m+3)x+4=0可化为x2-10x+16=0,解得x=2或x=8,此时“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件.
综上所述,m=-.故选B.
13.BD　对于选项A,当m=3时,方程为x2+3=0,方程没有实数根,所以选项A错误;对于选项B,如果方程没有实数根,则Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9<0,解得11是1则解得0所以方程有两个正根的充要条件是014.答案　(-∞,-4)∪(1,+∞)
解析　因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A.
当B= 时,满足B A,此时2a>a+3,解得a>3;
当B≠ 时,要想满足B A,则或
解得a<-4或1综上,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
15.解析　因为m>0,所以1-m<1+m,
不妨设P={x|-2≤x≤6},Q={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)若p是q的充分条件,则P Q,
所以解得m≥5,
因此m的取值范围是{m|m≥5}.
(2)若p是q的必要条件,则Q P,
所以解得m≤3,又因为m>0,
故m的取值范围是{m|0解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合为P,Q,则p是q的充分条件 P Q,p是q的必要条件 Q P.
能力提升练
1.B　易知A,C,D正确,由x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,故“x=3”的一个必要不充分条件是“x2-2x-3=0”,因此B中说法错误.故选B.
2.A　对于集合P,
当a,b,c全正时,=3,
当a,b,c两正一负时,=-1,
当a,b,c一正两负时,=-1,
当a,b,c全负时,=3,
所以P={-1,3}.
对于集合Q,
因为{x|mx-1=0} {x|3x2+2x-1=0}=,
所以若{x|mx-1=0}= ,则m=0;
若{x|mx-1=0}={-1},则-m-1=0,即m=-1;
若{x|mx-1=0}=,则m-1=0,即m=3.
所以Q={0,-1,3}.
因为P Q,Q P,
所以α是β的充分不必要条件.
故选A.
3.D　设方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有公共实根x1,
则两式相减得(k-2)x1=k-2,
若k=2,则两方程相同,为x2+2x+2=0,且无实数根,
若k≠2,则x1=1,所以1+k+2=0,解得k=-3.
当k=-3时,两方程分别为x2-3x+2=0,x2+2x-3=0,
方程x2-3x+2=0的两个实数根分别为1,2,
方程x2+2x-3=0的两个实数根分别为1,-3,
即方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根.
综上可知,方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根的充要条件是k=-3.
故选D.
4.答案　(1)①或②或③　(2)④　(3)①
解析　①ab=0 a=0或b=0,即a,b至少有一个为0;
②a+b=0 a,b互为相反数,即a,b可能均为0,也可能一正一负;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同号且都不为0.
∴“a,b都为0”的必要条件是①或②或③;“a,b都不为0”的充分条件是④;“a,b至少有一个为0”的充要条件是①.
5.证明　先证明充分性:若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,故充分性成立;
再证明必要性:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0,
即a4-(b2+1)2=0,
即(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,
因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1,故必要性成立.
所以a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
6.答案　
解析　因为y=x2-,x∈,
所以当x=时,y取得最小值;当x=2时,y取得最大值2,
所以A=,
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,
而B={x|x+m>1}={x|x>1-m},
所以1-m<,解得m>,
所以实数m的取值范围为.
7.答案　(0,+∞)
解析　设命题p对应的集合为A,命题q对应的集合为B,则A={x|1-c0},B={x|x>7或x<-1}.
因为p是q的既不充分也不必要条件,
所以A∩B= 或A不是B的子集且B不是A的子集,所以①或②或③,
解不等式组①得c≤2,解不等式组②得c>2,解不等式组③得c>6.
又c>0,所以c的取值范围为(0,+∞).
8.解析　(1)当a=-时,集合A=x-23或x<-1},
所以A∩( RB)={x|-2(2)若选择①A∪B=B,则A B,
当A= 时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A B;
当A≠ 时,解得0≤a<2.
所以实数a的取值范围是[0,+∞).
若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A B,
当A= 时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A B;
当A≠ 时,解得0≤a<2.
所以实数a的取值范围是[0,+∞).
若选择③A∩B= ,
当A= 时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A∩B= ;
当A≠ 时,或解得a<-2.
所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪[2,+∞).
16(共12张PPT)
§2 常用逻辑用语
知识点 1 充分条件、必要条件与充要条件
知识 清单破
2.1 必要条件与充分条件
1.充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题
推出关系 p q p /q
条件关系 p是q的充分条件,q是p的必要条件 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件
2.充要条件
　　一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p q.
知识点 2 充分条件、必要条件与充要条件的判断
p是q的充分不必要条件 p q且q /p
p是q的必要不充分条件 p /q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p /q且q /p
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.若p是q的充分条件,则p成立能保证q一定成立,但q成立p不一定成立. (　 )
√
2.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的逻辑关系一样. (　 )
√
3.“A∩B是空集”是“A与B均是空集”的充要条件. (　 )

4.p的充分条件和必要条件一定是唯一存在的.(　 )

讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 充分条件、必要条件和充要条件的判断
1.定义法:直接利用定义进行判断.
2.利用集合间的关系进行判断
令p:x∈A,q:x∈B(A,B是两个集合).
若A B,则p是q的充分条件;
若B A,则p是q的必要条件;
若A=B,则p是q的充要条件;
若A B,则p是q的充分不必要条件;
若B A,则p是q的必要不充分条件;
若A B且B A,则p是q的既不充分也不必要条件.
3.传递法:根据充分条件、必要条件的传递性来判断的方法叫作传递法.充分条件具有传递
性,若A1 A2 A3 … An-1 An,则A1 An,即A1是An的充分条件.必要条件也具有传递性,若A1
A2 A3 … An-1 An,则A1 An,即A1是An的必要条件.当然,充要条件也有传递性.
典例 判断下列各命题中p是q的什么条件:
(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;
(2)p:t≠2,q:t2≠4;
(3)p:0(4)p:△ABC为直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.
解析 (1)x-2=0 (x-2)(x-3)=0,
而(x-2)(x-3)=0 x-2=0或x-3=0,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)t2≠4 t≠2,t≠2 / t2≠4(当t=-2时,t2=4),∴p是q的必要不充分条件.
(3)令A={x|0∴p是q的充分不必要条件.
(4)∵p / q,q / p,
∴p是q的既不充分也不必要条件.
讲解分析
疑难 2 充要条件的证明与探求
1.充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件时,既要证明“p q”为真,又要证明“q p”为真,前者证明的是充
分性,后者证明的是必要性.
(2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论分别进行等价转化.
2.探求充分条件、必要条件的步骤
(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向;
(2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件;
(3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到使结论成立的必要不充分条件或充
分不必要条件.
典例1 (多选)下列是“a<0,b<0”的必要条件的是 (　 )
A.(a+1)2+(b+3)2=0　 B.a+b<0
C.a-b<0　　　　　　 D. >0
思路点拨 探究a<0,b<0成立的必要条件,则只需验证由a<0,b<0能否推出选项A,B,C,D中的
结论.
解析　取a=-2,b=-4,得(a+1)2+(b+3)2=2≠0,故A不是“a<0,b<0”的必要条件;
由a<0,b<0,得a+b<0,故B是“a<0,b<0”的必要条件;
取a=-2,b=-4,得a-b=-2-(-4)=2>0,故C不是“a<0,b<0”的必要条件;
由a<0,b<0,得 >0,故D是“a<0,b<0”的必要条件.故选BD.
BD
典例2 求证:方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0证明　充分性:若00,
∴方程有两个不相等的实数根,设为x1,x2,
则x1+x2= >0,x1x2= >0,∴x1与x2同号,
∴0必要性:若方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根,设为x3,x4,
则 解得0∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根 0综上,方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0　　充分条件与必要条件的应用一般体现在参数问题上,首先把充分条件、必要条件转化为
集合间的关系,然后利用集合知识列出关于参数的方程(组)或不等式(组),注意对区间端点值
的检验,防止因考虑不全而致错.
讲解分析
疑难 3 利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围)
典例 已知P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在m∈R使x∈P是x∈S的充要条件 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(2)是否存在m∈R使x∈P是x∈S的必要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析 (1)要使x∈P是x∈S的充要条件,
只需P=S,即 此方程组无解,
故不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
(2)要使x∈P是x∈S的必要条件,则S P,
①当S= 时,1-m>1+m,解得m<0;
②当S≠ 时,1-m≤1+m,解得m≥0,
要使S P,只需 解得m≤0,
所以m=0.
综上,当m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.

展开更多......

收起↑