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§2 常用逻辑用语
知识点 1 全称量词与存在量词
知识 清单破
2.2 全称量词与存在量词
1.全称量词命题与全称量词
　　在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.在命题中,诸
如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“ ”表
示,读作“对任意的”.
2.存在量词命题与存在量词
在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中,诸如“有些”
“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“ ”表示,读作“存在”.
知识点 2 全称量词命题与存在量词命题的否定
命题类型 符号表示 命题否定的 符号表示 命题否定的类型
全称量词命题 x∈M,x具有性质p(x) x∈M,x不具有性质p(x) 存在量词命题
存在量词命题 x∈M,x具有性质p(x) x∈M,x不具有性质p(x) 全称量词命题
　　量词命题的否定可先改变量词,再否定结论.
知识拓展 一些常用词语和相应的否定词语如下表.
原词语 等于 (=) 小于 (<) 大于 (>) 有 是
否定 词语 不等于 (≠) 不小于 (≥) 不大于 (≤) 没有 不是
原词语 都是 至少有一个 至多有一个 至多有n个 否定词语 不都是 一个也没有 至少有两个 至少有(n+1)个 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.全称量词命题的描述中一定含有全称量词,存在量词命题的描述中一定含有存在量词.
(　 )

2.“矩形的对角线相等”是存在量词命题. (　 )

3.命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”. (　 )

“对顶角相等”是全称量词命题,其否定为“有些对顶角不相等”.
提示
4.一个命题与它的否定可以同真同假. (　 )

讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断
1.要判定全称量词命题“ x∈M,p(x)成立”是真命题,需要验证对集合M中的每个元素x,都
有p(x)成立,但要判定该命题是假命题,只要举出一个反例即可,即集合M中至少存在一个x,使
p(x)不成立;
要判定存在量词命题“ x∈M,使p(x)成立”是真命题,只需在集合M中能找到一个x,使p(x)
成立即可,否则,这一命题就是假命题.
2.命题与命题的否定的真假相反.当命题的否定的真假不易判断时,可以通过判断原命题的真
假来得出命题的否定的真假.
典例 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:无论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根;
(2)q:有些正整数没有1和它本身以外的约数;
(3)r: x∈R,4x2-4x+1≥0;
(4)s: x∈R,x2+2 021≤0.
解析 (1)p的否定:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.
因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以p的否定为假命题.
(2)q的否定:任意正整数都有1和它本身以外的约数.
因为1的约数只有1,所以q的否定为假命题.
(3)r的否定: x∈R,4 -4x+1<0.
因为 x∈R,4x2-4x+1=(2x-1)2≥0恒成立,所以r的否定是假命题.
(4)s的否定: x∈R,x2+2 021>0.
因为x2+2 021≥2 021>0,所以s的否定为真命题.
讲解分析
疑难 2 含量词命题及其否定中的参数问题
1.全称量词命题求参数范围的问题一般转化为“恒成立”问题,存在量词命题求参数范围的
问题一般转化为“有解”问题.解题时,可通过构造函数,利用数形结合求参数,也可用分离参
数法求参数.
2.对于命题p的有些问题,正面解决很难或者很复杂,我们可以考虑它的反面,即把与命题p有
关的问题转化成与命题 p有关的问题,从而把问题简化,即“正难则反”的方法,也就是“补
集思想”的应用.
3.常见结论:
(1) x∈D,y=0,等价于方程y=0在x∈D上有实数根;
(2) x∈D,y>0,就是不等式y>0在x∈D上恒成立,等价于ymin>0;
(3) x∈D,y>0,就是不等式y>0在x∈D上有解,等价于ymax>0;
(4) x∈D,y<0,就是不等式y<0在x∈D上恒成立,等价于ymax<0;
(5) x∈D,y<0,就是不等式y<0在x∈D上有解,等价于ymin<0.
典例 已知函数y=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立 若存在,求出m的取值范围;若不存
在,请说明理由;
(2)若存在实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围.
解析 (1)存在.
不等式m+y>0可化为m>-y,
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4.
故存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,此时m>-4.
(2)不等式m-y>0可化为m>y.
若存在实数x,使不等式m>y成立,只需m>ymin,
又y=x2-2x+5=(x-1)2+4,∴ymin=4,∴m>4.
故实数m的取值范围是{m|m>4}.第一章　预备知识
§2　常用逻辑用语
2.2　全称量词与存在量词
基础过关练
题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假的判断
1.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是(　　)
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy
2.下列命题是全称量词命题的是(　　)
A.存在一个实数的平方是负数
B.每个四边形的内角和都是360°
C.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数
D. x∈R,x2=x
3.下列命题中不是存在量词命题的是(　　)
A.有的无理数的平方是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数
D.存在x∈R,2x+1是奇数
4.(多选题)下列命题中,既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.所有的正方形都是矩形
B.有些梯形是平行四边形
C. x∈R,3x+2>0
D.至少有一个整数m,使得m2<1
5.(多选题)下列命题中是真命题的是(　　)
A.设A,B为两个集合,若A B,则 x∈A,都有x∈B
B.设A,B为两个集合,若A不包含于B,则 x∈A,使得x B
C. x∈{y|y是无理数},x2是有理数
D. x∈{y|y是无理数},x3是无理数
6.指出下列命题中哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对任意一个无理数x,x2也是无理数;
(2)对任意实数a,b,若a>b,则;
(3)对任意一个实数x,都有|x|+2≥2;
(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
题组二　全称量词命题与存在量词命题的否定及其真假判断
7.命题“ a∈R,ax2+1=0有实数解”的否定是(　　)
A. a∈R,ax2+1≠0有实数解
B. a∈R,ax2+1=0无实数解
C. a∈R,ax2+1=0无实数解
D. a∈R,ax2+1≠0有实数解
8.命题p:“ x,y∈Z,x+4y=3”的否定是(　　)
A. x,y∈Z,x+4y≠3
B.不存在x,y∈Z,x+4y≠3
C. x,y∈Z,x+4y=3
D. x,y∈Z,x+4y≠3
9.已知:① x∈R,x2-x+≥0;②不存在实数x,使x3+1=0;③ n∈R,n2≥n;④至少有一个实数x,使得x3+1=0.以上命题的否定为真命题的是(　　)
A.①③　　　　B.②③　　　　C.②④　　　　D.①④
10.命题“ x>-3,<0”的否定是　.
11.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,写出这些命题的否定,并判断命题否定的真假.
(1)有一个奇数不能被3整除;
(2) x∈Z,x2与3的和不等于0;
(3)有些三角形的三个内角都为60°;
(4)每个三角形至少有两个锐角;
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
题组三　由全称量词命题和存在量词命题及否定求参数
12.命题“ x∈[1,3],3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≤4　　　　B.a≤2　　　　C.a≥3　　　　D.a≤0
13.已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”.若 p为真命题的充分不必要条件为a>5m-6,则实数m的取值范围是(　　)
A.[2,+∞)　　　B.(-∞,2)
C.(2,+∞)　　　D.(-∞,2]
14.已知命题“ x∈R,x2-2ax+3a≤0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
15.已知命题p: x∈{x|00},有mx2+4x-1≠0.若p是真命题,q是假命题,则实数m的取值范围为　　　　.
16.已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≥0,命题q: x∈R,x2+3x+2-a=0.
(1)当p为假命题时,求实数a的取值范围;
(2)若p和q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§2　常用逻辑用语
2.2　全称量词与存在量词
基础过关练
1.A　
2.B　
3.C　A,B,D中都含有存在量词,是存在量词命题,C中含有全称量词“任意”,是全称量词命题.故选C.
4.CD　A是全称量词命题,为真命题,A不满足要求;
B是存在量词命题,为假命题,B不满足要求;
C是存在量词命题,令x=0,则3×0+2>0,该命题为真命题,C满足要求;
D是存在量词命题,令m=0,则02<1,该命题为真命题,D满足要求.故选CD.
5.ABD　对于A,因为A B,所以 x∈A,都有x∈B,故A正确;
对于B,因为A不包含于B,所以 x∈A,使得x B,如A={1,2,3},B={2,3,4},故B正确;
对于C,当x=+1时,x2=3+2是无理数,故C错误;
对于D,当x=时,x3=2是无数理,故D正确.
故选ABD.
6.解析　(1)全称量词命题,假命题.如:是无理数,但()2=2是有理数,所以该命题是假命题.
(2)全称量词命题,假命题.当a=1,b=-1时,满足a>b,此时,所以该命题为假命题.
(3)全称量词命题,真命题.对任意一个实数x,都有|x|≥0,则|x|+2≥2,故该命题是真命题.
(4)存在量词命题,假命题.因为平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线,所以该命题是假命题.
7.C　存在量词命题的否定是全称量词命题,∴ a∈R,ax2+1=0有实数解的否定是 a∈R,ax2+1=0无实数解,故选C.
8.D　先改变量词,再否定结论,故原命题的否定是“ x,y∈Z,x+4y≠3”,故选D.
9.B　x2-x+≥0,当且仅当x=时等号成立,故①为真命题;当x=-1时,x3+1=0,故②为假命题,④为真命题;当n=时,n2方法技巧　命题的否定的真假判断,可以“先判断,再否定”,也可以“先否定,再判断”,视情况合理选择.
10.答案　 x>-3,≥0或2x-4=0
解析　∵全称量词命题的否定为存在量词命题,
∴“ x>-3,<0”的否定是“ x>-3,≥0或2x-4=0”.
易错警示　否定不是仅表现在形式上,而应抓住其实质,如认为<0的否定是≥0是不对的,因为要有意义本身就隐含了2x-4≠0,所以<0的否定是≥0或2x-4=0.
11.解析　(1)是存在量词命题,其否定为“每一个奇数都能被3整除”,为假命题.
(2)是全称量词命题,其否定为“ x∈Z,x2与3的和等于0”,为假命题.
(3)是存在量词命题,其否定为“任意一个三角形的三个内角不都为60°”,为假命题.
(4)是全称量词命题,其否定为“存在一个三角形至多有一个锐角”,原命题为真命题,故原命题的否定为假命题.
(5)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线都是圆的切线”,其否定为“存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线”,为假命题.
12.A　由题意可知3x2≥a,x∈[1,3]恒成立,只需a≤(3x2)min=3,
结合选项知a≤4 / a≤3,但a≤3 a≤4,故a≤3的一个必要不充分条件为a≤4.故选A.
13.C　若 p为真命题,则p为假命题,即关于x的方程x2-4x+a=0没有实根,则Δ=16-4a<0,解得a>4.
因为a>5m-6是a>4的充分不必要条件,所以5m-6>4,解得m>2.故选C.
14.答案　{a|0解析　由题意知“ x∈R,x2-2ax+3a>0”为真命题,
所以Δ=4a2-12a<0,解得0解题模板　利用命题p或 p的真假求参数的取值范围时,有四种情况:命题p真、命题p假、命题 p真与命题 p假,解题时只要求出一个就能得到其他三个的范围,如求出命题p为真时参数的范围是A,则命题p为假与命题 p为真时参数的范围是 UA(U是全集),命题 p为假时参数的范围是A.
15.答案　{m|-4≤m≤0}
解析　若p是真命题,则x+m-1<0对于0当0若命题q是假命题,则 q: x∈{x|x>0},使mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.
当m=0时,方程为4x-1=0,解得x=,符合题意.
当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,解得m≥-4.
设两个实数根分别为x1,x2.
①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=->0,解得m<0,此时-4≤m<0;
②当方程有一正一负两个实数根时,x1x2=-<0,解得m>0,此时m>0.
所以m≥-4.
综上所述,实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
16.解析　(1)由p为假命题,得 p为真命题,即 x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a<0,即a>x2+x在x∈{x|1≤x≤2}时有解,所以a>(x2+x)min,x∈{x|1≤x≤2},易知当x=1时,(x2+x)min=2,所以a>2.
(2)由(1)可知,当p为真命题时,a≤2;当p为假命题时,a>2.
当q为真命题时,方程x2+3x+2-a=0在x∈R上有解,则Δ=9-4(2-a)≥0,解得a≥-;当q为假命题时,a<-.
所以当p为真命题,q为假命题时,a<-;当p为假命题,q为真命题时,a>2.
所以当p和q中有且只有一个是真命题时,a的取值范围是.
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