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第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.2　函数的表示法
基础过关练
题组一　函数的表示方法
1.观察下表:
x -3 -2 -1 1 2 3
f(x) 5 1 -1 -3 3 5
g(x) 1 4 2 3 -2 -4
则f(f(-1)-g(3))=(　　)
A.-1　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.5
2.如图,四边形OABC为直角梯形,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,记梯形OABC位于直线l:x=t(0A　　　B　　　　
C　　　D
3.如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2,渠深为1.8,斜坡的倾斜角为45°.(无水状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(h)表示成水深h的函数;
(2)确定函数A(h)的定义域和值域.
题组二　函数解析式的求法
4.已知函数f(x-1)=x2-1,则f(x)=(　　)
A.x2　　　B.x2+2x
C.x2-2x　　　D.x2-2x+2
5.已知函数g(-6,则g(x)的最小值是(　　)
A.-6　　　　B.-8　　　　C.-9　　　　D.-10
6.已知f(2x+1)=3x-2,且f(a)=4,则a=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
7.已知函数f(x)满足2f=1+x,其中x∈R且x≠0,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　.
8.已知函数f(x)=x2+2x-1,g(x)为一次函数,若g(f(x))=2x2+4x+3,则g(x)=　　　　.
9.已知函数f(x)满足af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式.
题组三　分段函数及其应用
10.已知f(m)=其中[m]表示不超过m的最大整数,则f(5.2)=　　(　　)
A.3.71　　　　B.4.24　　　　C.4.77　　　　D.7.95
11.已知f(x)=若f(x)=3,则x的值是(　　)
A.1　　　B.1或
C.1,或±　　　D.
12.函数f(x)=x+的图象是(　　)
A　　　　B
C　　　D
13.具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=满足“倒负”变换的函数是(　　)
A.①②　　　B.①③　　　　
C.②③　　　D.①
14.(多选题)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成,则(　　)
A.f(f(1))=3
B.f(2)=f(0)
C.f(x)=-x+1+2|x-1|,x∈[0,4]
D. a>0,不等式f(x)≤a的解集为
15.已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)当f(x)≥2时,求实数x的取值范围.
能力提升练
题组一　函数的表示方法及应用
1.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3},其对应关系如表:
x 1 2 3
f(x) 2 1 3
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程g(f(x))=x+1的解组成的集合为(　　)
A.{1}　　　B.{2}　　　　
C.{1,2}　　　D.{1,2,3}
2.如图,点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,则当P沿A→B→C→M运动时,关于点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象大致是(　　)
题组二　函数解析式的求法
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=2f(x),当0A.x(x-1)　　　B.x(1-x)
C.　　　D.
4.(多选题)已知f(2x+1)=x2,则下列结论正确的是　　(　　)
A.f(-3)=4　　　B.f(x)=
C.f(x)=x2　　　D.f(3)=9
5.已知函数f(x)的定义域和值域都为R,且f(0)=1,若对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 021)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2 022　　　　D.2 021
6.已知一元二次函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-4x+2.
(1)若f(0)=1,求f(3)的值;
(2)若f(2)<2,证明:f(x)<4.
7.(1)已知函数f(x-3)=x2-4x+6,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)+2f=3x-2,求f(x)的解析式.
题组三　分段函数及其应用
8.已知函数f(x)=则方程x2-f(x-1)=1的解的集合为　　(　　)
A.{-2,0}　　　B.{-2,1}
C.{-2,0,1}　　　D.{0,1}
9.函数f(x)=的值域是(　　)
A.[-1,3]　　　B.[-1,4]　　　　
C.[-2,4]　　　D.[-2,2]
10.已知函数f(x)=则使得f(x)≥1成立的x的取值范围为(　　)
A.[-1,1]　　　B.(-1,1)
C.(-1,+∞)　　　D.[-1,+∞)
11.已知函数f(x)=若f(f(x))=2,则x的取值范围是　　　　.
12.若函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　.
13.如图,等腰梯形ABCD中,∠B=∠C=45°,底边BC的长为7 cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,设BF=x cm(014.某一时期,一种疫情使全球海运受到极大影响,为此各相关企业在积极拓展市场的同时,也积极进行企业内部细化管理,某集装箱码头在货物装卸上进行大力改进,改进后单次装箱的成本C(单位:万元)与货物量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,单次装箱的收入S(单位:万元)与货物量x的函数关系式为S=已知单次装箱的利润L(单位:万元)满足L=S-C,且当x=2时,L=3.
(1)求k的值;
(2)当单次装箱货物量为多少吨时,单次装箱的利润最大 最大为多少
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.2　函数的表示法
基础过关练
1.D　由题表得f(-1)=-1,g(3)=-4,f(3)=5,
∴f(f(-1)-g(3))=f(-1-(-4))=f(3)=5,
故选D.
2.C　易得OA所在的直线方程为y=2x,
当0所以f(t)=由一次函数和二次函数的性质和图象可知,函数y=f(t)的图象大致为选项C.故选C.
3.解析　(1)依题意灌溉渠中水的横断面是等腰梯形,其下底为2,上底为2+2h,高为h,所以A(h)=·h=h2+2h(0(2)由(1)知,函数A(h)=h2+2h的定义域是(0,1.8],
显然A(h)=(h+1)2-1在(0,1.8]上随h的增大而增大,又当h=0时,h2+2h=0,当h=1.8时,h2+2h=6.84,所以函数A(h)的值域为(0,6.84].
4.B　解法一:∵f(x-1)=x2-1=(x-1)2+2(x-1),
∴f(x)=x2+2x.
解法二:令t=x-1,则x=t+1,
∵f(x-1)=x2-1,
∴f(t)=(t+1)2-1=t2+2t,
则f(x)的解析式是f(x)=x2+2x.
5.A　∵g(+2)2-10,∴g(x)=x2-10(x≥2),∴g(x)min=g(2)=-6.
6.D　令t=2x+1,则x=,
所以f(t)=3×,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=,
所以f(a)==4,解得a=5.
故选D.
7.答案　f(x)=(x≠1)
解析　2f=1+x①,
用-x替换x,可得2f=1-x②,
由①②可得f-x,
令t=,则t≠1,x=,所以f(t)=,
所以f(x)=(x≠1).
8.答案　2x+5
解析　因为g(x)为一次函数,所以可设g(x)=kx+b(k≠0),则g(f(x))=k(x2+2x-1)+b=kx2+2kx+b-k=2x2+4x+3,
则解得所以g(x)=2x+5.
9.解析　在原式中以-x替换x,得af(-x)+f(x)=-bx,
所以消去f(-x),得f(x)=.
10.C　f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=1.06×(2.5+2)=4.77.故选C.
11.D　当x≤-1时,令x+2=3,得x=1,舍去;
当-1当x≥2时,令2x=3,得x=,舍去.
综上,x的值为.故选D.
12.C　函数f(x)=x+作出函数图象,如图,故选C.
13.B　对于①,f=-f(x),满足“倒负”变换.
对于②,f=f(x)≠-f(x),不满足“倒负”变换.
对于③,当0当x=1时,f=0=-f(x);当x>1时,f=-f(x),满足“倒负”变换.
故选B.
14.AC　由题图得,f(x)=
f(1)=0,f(0)=3,
∴f(f(1))=f(0)=3,故A正确;
f(2)=2-1=1≠f(0),故B错误;
对于C,当0≤x≤1时,f(x)=-x+1-2x+2=-3x+3,当1由题图可知,若不等式f(x)≤a的解集为,则-3×+3=m-1,解得m=,故D错误.
故选AC.
15.解析　(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)当x≤0时,由x2=2得x=-舍去),
当x>0时,由4-2x=2得x=1,
结合图象知,当f(x)≥2时,x≤-或0所以实数x的取值范围为(-∞,-]∪(0,1].
能力提升练
1.C　当x=1时,g(f(1))=g(2)=2=1+1,
∴x=1是方程的解;
当x=2时,g(f(2))=g(1)=3=2+1,
∴x=2是方程的解;
当x=3时,g(f(3))=g(3)=1≠3+1,
∴x=3不是方程的解.
∴方程的解组成的集合为{1,2}.
2.A　当P在AB(不包括点A,包括点B)上时,S△APM=·BC·AP=,0当P在BC(不包括点B,包括点C)上时,S△APM=1-S△ADM-S△PCM-S△ABP=,1当P在CM(不包括点C,M)上时,S△APM=.结合选项知A正确.
3.C　当1所以f(x)=.
故选C.
4.AB　令t=2x+1,则x=,
因为f(2x+1)=x2,所以f(t)=,
则f(x)=,故B正确,C错误;
f(-3)==4,故A正确;
f(3)==1,故D错误.
故选AB.
5.C　当x=0时,f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2,
当y=0时,f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2,
因此f(x)=x+1,所以f(2 021)=2 022.
6.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(x+1)=f(x)-4x+2,
所以a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c-4x+2,
即2ax+a+b=-4x+2,
所以解得故f(x)=-2x2+4x+c,
因为f(0)=1,所以c=1,
所以f(3)=-18+12+1=-5.
(2)证明:由(1)得f(x)=-2x2+4x+c,
因为f(2)<2,所以-8+8+c<2,解得c<2,
又因为f(x)=-2x2+4x+c=-2(x-1)2+2+c≤2+c,
所以f(x)<4.
7.解析　(1)令t=x-3,则x=t+3.
因为f(x-3)=x2-4x+6,
所以f(t)=(t+3)2-4(t+3)+6=t2+2t+3,
故f(x)=x2+2x+3.
(2)f(x)+2f=3x-2①,
将x用替换,可得2f(x)+f -2②,
①②联立,消去f,解得f(x)=(x≠0).
8.B　当x≥1时,f(x-1)=x-1,则x2-f(x-1)=1,即x2-x+1=1,解得x=1或x=0(舍去);
当x<1时,f(x-1)=1-x,则x2-f(x-1)=1,即x2+x-1=1,解得x=-2或x=1(舍去).
综上所述,x=1或x=-2.故选B.
9.C　当-3≤x≤0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,
则当x=-1时,f(x)min=-2,当x=-3时,f(x)max=4-2=2,则f(x)∈[-2,2];
当0综上所述,f(x)∈[-2,4].故选C.
10.D　当x≤1时,由f(x)≥1可得,-x2+2≥1,即x2≤1,所以-1≤x≤1;
当x>1时,由f(x)≥1可得,x+-1≥1,
即x2-2x+1=(x-1)2≥0,该式恒成立,所以x>1.
综上可得,使得f(x)≥1成立的x的取值范围为[-1,+∞).故选D.
11.答案　{2}∪[-1,1]
解析　设f(x)=t,则f(t)=2,
当t∈[-1,1]时,满足f(t)=2,此时-1≤f(x)≤1,无解;当t=2时,满足f(t)=2,此时f(x)=2,即-1≤x≤1或x=2.故答案为{2}∪[-1,1].
12.答案　[-1,0]
解析　当x≥1时,f(x)=x+≥2=4,当且仅当x=2时等号成立.
当x<1时,f(x)=ax2+2x+3,若a=0,则f(x)=2x+3,其值域为(-∞,5),此时函数的值域为R,满足题意.
若a>0,则函数f(x)=ax2+2x+3的图象开口向上,不满足题意;
若a<0,函数f(x)=ax2+2x+3图象的对称轴为直线x=-,
当-≥1,即-1≤a<0时,f(x)当-<1,即a<-1时,f(x)≤f+3,要使函数的值域为R,则-+3≥4,解得-1≤a<0,舍去.
综上所述,当-1≤a≤0时,f(x)的值域为R.
13.解析　如图,分别过点A,D作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足为G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,∠B=∠C=45°,AB=2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm,又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.
①当点F在BG(不含点B)上,即x∈(0,2]时,y=S△BFE=x2;
②当点F在GH(不含点G)上,即x∈(2,5]时,y=2+(x-2)·2=2x-2;
③当点F在HC(不含点H,C)上,即x∈(5,7)时,y=-(x-7)2+10.
所以y与x的函数解析式为
y=
14.解析　(1)由题意可得L=
因为x=2时,L=3,
所以3=2×2++2,解得k=18.
(2)由(1)可得当0所以L=2(x-8)++18≤-2+18=6,当且仅当2(8-x)=,即x=5时取等号.
当x≥6时,L=11-x≤5.
所以当x=5时,L取得最大值6.
所以单次装箱货物量为5吨时,单次装箱的利润最大,为6万元.
2第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.1　函数概念
基础过关练
题组一　依赖关系与函数关系
1.下列变量之间不存在依赖关系的是(　　)
A.扇形的圆心角与它的面积
B.某人的体重与其饮食情况
C.水稻的亩产量与施肥量
D.某人的衣着价格与视力
2.下列变量之间的关系,是函数关系的是(　　)
A.光照时间和果树的亩产量
B.某地蔬菜的价格和蔬菜的供应量
C.等边三角形的边长和面积
D.等腰三角形的底边长和面积
题组二　函数的概念及其应用
3.下列四个式子中,y是x的函数的是(　　)
A.y2=x　　　B.y=
C.y=　　　D.y=
4.下列各图中,不可能是函数图象的是(　　)
5.下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x0与g(x)=1
B.f(x)=x2-x与g(t)=t2-t
C.f(x)=与g(x)=()2
D.f(x)=2x-1与g(x)=2x+1
题组三　函数的定义域
6.函数f(x)=的定义域为　　　　.
7.函数f(x)的定义域是[0,3],则f(2x-1)的定义域是　　　　.
8.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.
题组四　函数值及函数的值域
9.函数y=的值域是(　　)
A.[1,+∞)　　　　B.(0,1]　　　　C.(-∞,1]　　　　D.(0,+∞)
10.已知f(2x-1)=4x+6,则f(5)的值为(　　)
A.26　　　　B.24　　　　C.20　　　　D.18
11.若函数f(x)满足f(ab)=f(a)f(b),且f(2)=3,f(3)=2,则f(18)=(　　)
A.18　　　　B.12　　　　C.11　　　　D.7
12.函数y=(x∈[0,1)∪(1,3])的值域为　　　　　　.
13.已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f;
(2)若f(x)=5,求x的值;
(3)若0能力提升练
题组一　函数的概念及其应用
1.下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x2,g(x)=x
B.f(x)=,g(x)=x·
C.f(x)=g(t)=|t|
D.f(x)=x+1,g(x)=
2.下列各式能确定y是x的函数的是(　　)
A.x2+y2=1　　　B.|x-1|+=0
C.y=　　　D.=1
题组二　函数的定义域
3.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,3],则函数g(x)=的定义域是(　　)
A.[-1,1)∪(1,3]　　　B.[-3,1)∪(1,5]
C.[0,2]　　　D.[0,1)∪(1,2]
4.函数f(2x+1)的定义域为,则函数g(x)=f(x-2)·f(x-3)的定义域为(　　)
A.[1,4]　　　B.[0,5]　　　　
C.[0,20]　　　D.[1,9]
5.函数f(x)=的定义域为R的一个充分不必要条件是(　　)
A.m≥　　　　B.m≥　　　　C.m≥　　　　D.m≥
6.已知集合A={x|x≥4},g(x)=的定义域为B,若A∩B= ,则实数a的取值范围是　　　　.
题组三　函数的值和值域
7.函数y=3x+6的值域为(　　)
A.(-∞,6]　　　　B.(-∞,-6]　　　　C.[2,+∞)　　　　D.[4,+∞)
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
9.函数f(x)=2x+的值域为　　　　　　　　.
10.已知函数f(x)=,
(1)求f(2)+f的值;
(2)求证:f(x)+f为定值;
(3)求2f(1)+f(2)+f+…+f(2 023)+f的值.
11.求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x+.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.1　函数概念
基础过关练
1.D　
2.C　
3.C　对于A,D,并非对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值与之对应,
所以y不是x的函数;
对于B,因为不等式组无解,
所以不存在实数x,使y=有意义,
所以y不是x的函数;
对于C,y=中,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值与之对应,
所以y是x的函数.故选C.
4.D　对于D,取x的一个值,可能对应两个y值,故不是函数图象.
5.B　对于A,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,故不是同一个函数;
对于B,f(x)与g(t)的定义域和对应关系都相同,故是同一个函数;
对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≥0},故不是同一个函数;
对于D,f(x)与g(x)的定义域相同,但是对应关系不相同,故不是同一个函数.故选B.
6.答案　[1,2)∪(2,+∞)
解析　依题意得解得x≥1,且x≠2,
因此函数f(x)的定义域为[1,2)∪(2,+∞).
7.答案　
解析　因为f(x)的定义域是[0,3],所以0≤x≤3,
由0≤2x-1≤3,得≤x≤2,
所以f(2x-1)的定义域为.
解题模板　已知f(x)的定义域为A,求抽象函数f(φ(x))的定义域时,可令φ(x)∈A,进而求出x的取值范围,即为f(φ(x))的定义域.
8.答案　(-2,2)
解析　由函数f(x)=的定义域为R,得x2+ax+1=0无解,
∴Δ=a2-4<0,解得-29.B　∵x2+1≥1,∴0<≤1,即函数的值域为(0,1].
10.D　f(5)=f(2×3-1)=4×3+6=18.故选D.
11.B　因为f(ab)=f(a)·f(b),
所以f(18)=f(2)·f(9)=f(2)·f(3)·f(3),
因为f(2)=3,f(3)=2,所以f(18)=3×2×2=12.
故选B.
12.答案　(-∞,-4]∪[5,+∞)
解析　y=,
因为x∈[0,1)∪(1,3],
所以x-1∈[-1,0)∪(0,2],可得y≤-4或y≥5.
故函数的值域为(-∞,-4]∪[5,+∞).
13.解析　(1)f(2)=22+2-1=5,
f.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,
∴x2+x-6=0,
解得x=2或x=-3.
(3)f(x)=x2+x-1=,
∵0能力提升练
1.C　A中,两个函数的定义域相同,均为R,g(x)=x|x|,f(x)与g(x)的对应关系不同,故不是同一个函数;
B中,f(x)与g(x)的定义域为(-∞,0],g(x)=x·,f(x)与g(x)的对应关系不同,故不是同一个函数;
C中,f(x)=两函数的定义域和对应关系均相同,故是同一个函数;
D中,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),定义域不同,故不是同一个函数.故选C.
2.D　对于A,当x∈(-1,1)时,都有y=±,即有两个y与之对应,故不满足函数的概念,故错误;对于B,|x-1|+=0表示(1,-1),(1,1)两个点,即对于x=1,有y=±1与之对应,故不满足函数的概念,故错误;对于C,满足y=的x构成的集合为 ,故不满足函数的概念,故错误;对于D,当x∈[1,2]时,有唯一的y与之对应,满足函数的概念,故正确.故选D.
3.D　由题意可知-1≤2x-1≤3且x-1≠0,解得0≤x≤2且x≠1,
所以函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2].故选D.
4.A　由f(2x+1)的定义域为,可知f(x)的定义域为[-2,2]由-≤x≤,得-2≤2x+1≤2,
则函数g(x)=f(x-2)·f(x-3)满足即解得1≤x≤4,
所以函数g(x)=f(x-2)·f(x-3)的定义域为[1,4].故选A.
方法总结　已知f(φ(x))的定义域为A,求f(x)的定义域,即已知x∈A,求φ(x),φ(x)的范围即为f(x)的定义域.
5.C　若f(x)的定义域是R,则mx2+2x+2≥0在R上恒成立,
当m=0时,显然不成立;
当m≠0时,只需解得m≥.
故函数f(x)=的定义域为R的充分不必要条件构成的集合是的真子集,结合选项知选C.
6.答案　(-∞,3]
解析　由1-x+a>0,得x7.A　令t=,则x=1-t2,t≥0,
∴y=3(1-t2)+6t=-3t2+6t+3=-3(t-1)2+6≤6,
因此,函数y=3x+6的值域为(-∞,6].
故选A.
8.C　解法一:令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,
解得f(0)=0;
令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,又f(1)=2,
所以f(-1)=0;
令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2;
令x=-2,y=-1,得f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6.
解法二:因为f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6,
所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2×1×2=12.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,解得f(0)=0,
所以f(0)=f(3+(-3))=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=0,所以f(-3)=6.
方法总结　解决抽象函数问题常用赋值法,赋值的关键是条件与结论的关系.
9.答案　(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0},
当x>0时,f(x)=2x+≥2,
当且仅当2x=,即x=时,等号成立;
当x<0时,f(x)=-≤-2,
当且仅当-2x=-,即x=-时,等号成立.
所以函数f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
10.解析　(1)因为f(x)=,
所以f(2)+f=5.
(2)证明:f(x)+f=5,为定值.
(3)由(2)可知f(x)+f=5,
所以2f(1)+f(2)+f+…+f(2 023)+f+…+=5×2 023=10 115.
11.解析　(1)解法一:y=,
令t=x2-x+1,则t=≥,
∴0<≤4,2<2+≤6,即2故函数y=的值域为(2,6].
解法二:易知函数的定义域为R.
由y=得(y-2)x2-(y-2)x+y-5=0,此方程必有实数解.
若y=2,则-3=0,显然不成立,故y≠2,
∴Δ=[-(y-2)]2-4(y-2)(y-5)≥0,
整理得(y-2)(y-6)≤0,解得2≤y≤6.
综上可得,2故函数y=的值域为(2,6].
(2)令t=,则t≥0,x=,
则y=(t+1)2-1(t≥0),则y≥-,
故函数y=x+的值域为.
2(共17张PPT)
§１ 生活中的变量关系
知识点 1 函数的概念与表示
知识 清单破
§2 函数
1.概念:给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每
一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的
一个函数.
2.记法:y=f(x),x∈A.
3.定义域:在函数y=f(x),x∈A中,集合A称为函数的定义域,x称为自变量.
4.值域:与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.
5.同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是
同一个函数.
6.表示方法:解析法、列表法和图象法.
知识点 2 几个常用的函数
1.分段函数:如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,函数有着不同的对应
关系,那么称这样的函数为分段函数.
2.狄利克雷函数:f(x)=
3.取整函数:设x为任一实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].我们把y=[x]叫作
取整函数.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.任何两个非空集合之间都可以建立函数关系. (　 )

2.根据函数的定义,定义域中的多个x值可以对应同一个y值. (　 )
√
3.某超限超载检测站通过汽车的数量与时间的关系是函数关系. (　 )
通过汽车的数量与时间的关系不是确定的关系,不符合函数的定义.

提示
4.若两个函数定义域相同,则值域相同. (　 )
如y=x和y=x2,定义域相同,但值域不相同.

提示
5.分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R. (　 )

并集应该是函数的定义域.
提示
6.不是所有的函数都可以用解析法表示,但所有的函数都可以用图象法表示. (　 )

讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 求函数的定义域
1.求具体函数的定义域
(1)当函数以解析式的形式给出时,其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合.例
如,分式中分母不为0;二次根式的被开方数非负;式子x0中x≠0等.
(2)如果函数解析式是由几部分式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实
数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).
(3)由实际背景确定的函数,其定义域要受实际问题的制约.
2.求抽象函数的定义域
(1)求抽象函数的定义域,要明确以下几点:
①函数f(x)的定义域是指x的取值范围.
②函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
③f(t), f(φ(x)), f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(2)抽象函数定义域的求解方法:
①已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围.
②已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的取值范围,
此范围就是f(x)的定义域.
③已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C,求出φ(x)
的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域.
典例1 求下列函数的定义域:
(1)f(x)= +(1-2x)0;
(2)f(x)= .
解析 (1)要使函数有意义,
只需 解得x≥ 且x≠ .
∴函数的定义域为 .
(2)要使函数有意义,
只需 解得-2≤x≤2且x≠1.
∴函数的定义域为{x|-2≤x≤2,且x≠1}.
典例2 (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域;
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域.
解析 (1)易知函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,
∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1],
∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1].
(2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴函数f(x)的定义域为[3,7].
(3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴3x∈[3,7],即x∈ ,
∴函数f(3x)的定义域为 .
讲解分析
疑难2 求函数的值域
求函数值域的方法
1.观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.
2.图象法:画出函数的图象,由图象直观得到函数的值域.
3.配方法:若函数是一元二次函数形式,则可通过配方再结合一元二次函数的性质求值域,但
要注意给定区间的一元二次函数最大(小)值的求法.
4.换元法:通过适当换元,可将复杂的函数化为(几个)简单的函数,从而利用自变量的取值范围
求函数的值域.
5.分离常数法:此方法主要是针对解析式是有理分式的函数,即将有理分式转化为“反比例函
数”的形式,便于求值域.
典例 求下列函数的值域:
(1)y=x+1,x∈{2,3,4,5,6};
(2)y= ;
(3)y=x+ ;
(4)y= (-1≤x≤1).
解析 (1)∵当x分别取2,3,4,5,6时,y=x+1分别取3,4,5,6,7,∴函数的值域为{3,4,5,6,7}.
(2)令μ(x)=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,且μ(x)≥0,则μ(x)∈[0,3],∴0≤y≤ .
故函数y= 的值域为[0, ].
(3)令t= ,则x= ,且t≥0.
问题转化为求y= +t(t≥0)的值域.
∵y= +t= (t+1)2(t≥0),且(t+1)2≥1,
∴y的取值范围为 .
故该函数的值域为 .
(4)y= = -1,∵-1≤x≤1,∴1≤2+x≤3,∴1≤ ≤3,∴0≤ -1≤2,故函数y= (-
名师点睛 要确定函数的值域必须认真分析自变量x与对应关系之间的联系,关键是弄清自
变量变化时由对应关系确定函数值的变化规律.
1≤x≤1)的值域为[0,2].
讲解分析
疑难 3 求函数的解析式
函数解析式的求法
1.待定系数法:若已知所求函数的类型,则可设出所求函数含有待定系数的解析式,根据题中
的条件求得解析式.
2.换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)
代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式.
3.配凑法:此法是把所给函数的解析式,通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的
表达式,然后以x代替“自变量”,即得所求函数解析式.
4.消元法(方程组法):已知f(x)与f 或f(-x)的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等
式,组成方程组,通过解方程组求出f(x).
5.赋值法:依题目的特征,能够由特殊到一般寻找普遍规律,可对变量赋特殊值,从而找出一般
规律,求出函数解析式.
典例 (1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)+2f =x(x≠0),求f(x)的解析式;
(4)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f
(x)的解析式.
思路点拨 (1)设f(x)=kx+b(k≠0),再根据题设列方程组,求待定系数k,b的值.
(2)在“x+2 ”中凑出“ +1”或将“ +1”整体换元求解.
(3)将f ,f(x)看成未知数,通过解方程组求f(x).
(4)利用赋值法求解.
解析 (1)设f(x)=kx+b(k≠0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4,
∴ 解得 或
∴f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)解法一(配凑法):∵f( +1)=x+2 =( +1)2-1( +1≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1).
解法二(换元法):令 +1=t(t≥1),
则x=(t-1)2(t≥1),
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
∴f(x)=x2-1(x≥1).
(3)在f(x)+2f =x(x≠0)中,用 替换x,得f +2f(x)= (x≠0).
于是得关于f(x)与f 的方程组 (x≠0),
解得f(x)= - (x≠0).
(4)解法一:令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
又f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1,
即f(x)=x2+x+1.
解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1).
令-y=x,得f(x)=1+x(x+1)=x2+x+1.
讲解分析
疑难 4 分段函数的理解与应用
1.正确理解分段函数
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,只是根据自变量的不同范围分成了几段而已.
(2)研究分段函数时,先分段考虑,再整体把握.
2.分段函数的求值策略
(1)已知自变量的值求函数值的步骤:
①确定自变量属于哪一个取值范围;
②代入该取值范围对应的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外
依次求值.
(2)已知函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验
函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.
典例 (1)已知函数f(x)= 求使f(x)<2成立的x的取值集合;
(2)已知a≠0, f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),求a的值.
解析 (1)当x≥1时, f(x)<2即3x2-2x<2,得1≤x< ;当x<1时, f(x)<2即-2x2+3<2,得x<- 或
所以使f(x)<2成立的x的取值集合为 .
(2)当a>0时,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=- (舍去);
当a<0时,1-a>1,1+a<1,由f(1-a)=f(1+a)得-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=- .
故实数a的值为- .

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