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第二章　函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2　简单幂函数的图象和性质
基础过关练
题组一　幂函数的概念
1.在函数y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2. 已知幂函数y=k·xa的图象过点(4,2),则k+a等于(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.2
3.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,函数f(x)是(1)正比例函数 (2)反比例函数 (3)幂函数
题组二　幂函数的图象
4.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴没有公共点,则m=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.-2或1
5.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示,则(　　)
A.f(x)=,g(x)=x2,h(x)=x3
B.f(x)=,g(x)=x3,h(x)=x2
C.f(x)=x3,g(x)=,h(x)=x2
D.f(x)=x2,g(x)=x3,h(x)=
6.在同一坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=(x>0)的图象不可能是(　　)
A　B
C　D
题组三　幂函数的性质与应用
7.“n=1”是“幂函数f(x)=(n2-3n+3)·在(0,+∞)上单调递减”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.小强在研究幂函数y=xa的图象和性质时得到如下结论,其中正确的是(　　)
A.幂函数的图象必过定点(0,0)和(1,1)
B.幂函数的图象不可能过第四象限
C.幂函数y=为偶函数
D.幂函数y=x-1在其定义域上为减函数
9.已知a=2,b=,则(　　)
A.bC.b10.已知幂函数f(x)的图象过点,则函数y=f(x2+2x)的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,-2)　　　B.(-∞,-1)　　　　
C.(0,+∞)　　　D.(1,+∞)
11.已知幂函数f(x)=,若正数a,b满足f(a+1)+f(b-2)=0,则a+b+2ab的最大值是　　　　.
12.已知函数f(x)=(m-2)xm是幂函数,若f(k2+3)+f(9-8k)≤0,则实数k的最大值是　　　　.
13.已知幂函数f(x)=(m∈N+)的图象经过点(2,).
(1)试求m的值并写出该幂函数的解析式;
(2)试求满足f(1+a)>f(3-a)的实数a的取值范围.
14.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值,并写出f(x)的解析式;
(2)是否存在a>0,使得函数g(x)=(2a-1)x-+1在(0,2]上的值域为(1,11] 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2　简单幂函数的图象和性质
基础过关练
1.B　形如y=xα(α为常数)的函数为幂函数,所以只有y=x-2是幂函数,故选B.
2.A　由幂函数的定义可得k=1,将(4,2)代入y=xa,得2=4a,解得a=,所以k+a=.故选A.
3.解析　(1)若函数f(x)为正比例函数,
则∴m=1.
(2)若函数f(x)为反比例函数,则
∴m=-1.
(3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1,
∴m=-1±.
4.B　由题意得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
当m=2时,f(x)=x2,其图象与坐标轴的交点为(0,0),不满足题意,舍去;
当m=-1时,f(x)=x-1,满足题意.故选B.
5.D　由y=f(x)的图象关于y轴对称可知y=f(x)为偶函数,故f(x)=x2.
由y=g(x)的图象关于原点对称可知y=g(x)为奇函数,故g(x)=x3.
由y=h(x)的图象可知y=h(x)既不是奇函数,也不是偶函数,故h(x)=.
故选D.
6.D　当a<0时,f(x)=xa(x>0)的图象位于第一象限且单调递减,g(x)=(x>0)的图象位于第四象限且单调递增,如选项C所示.
当a=0时,f(x)=1(x>0),g(x)=0(x>0),没有符合要求的选项.
当a>0时,g(x)=(x>0)的图象位于第一象限且单调递减,
若00)的图象位于第一象限且单调递增(增速越来越慢),没有符合要求的选项;
若a≥1,则f(x)=xa(x>0)的图象位于第一象限且单调递增(增速不变或越来越快),如选项A,B所示.
故选D.
7.A　当n=1时,f(x)=x-2,在(0,+∞)上单调递减,充分性成立;
若幂函数f(x)=(n2-3n+3)·在(0,+∞)上单调递减,
则解得n=1或n=2,必要性不成立.
因此为充分不必要条件,故选A.
8.B　对于A,幂函数y=x-1的图象不过点(0,0),错误;
对于B,当x>0时,y=xa>0,幂函数的图象不可能过第四象限,正确;
对于C,幂函数y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以幂函数y=既不是奇函数也不是偶函数,错误;
对于D,当x=-1时,y=-1;当x=1时,y=1,不是定义域上的减函数,错误.
故选B.
9.D　a=2=(,
∵函数y=在(0,+∞)上单调递增,且2<4<5,
∴(2,即a10.A　设f(x)=xα,
因为f(x)的图象过点,所以2α=,
解得α=-,即f(x)=,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,
函数y=f(x2+2x)=(x2+2x,
由x2+2x>0,解得x<-2或x>0,
易知函数y=x2+2x在(-∞,-2)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以函数y=f(x2+2x)的单调递增区间为(-∞,-2).
故选A.
11.答案　
解析　f(x)=的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x=-f(x),
所以f(x)为奇函数,即f(x)+f(-x)=0,
因为f(a+1)+f(b-2)=0,所以-(a+1)=b-2,化简得a+b=1.
故a+b+2ab=1+2ab≤1+2×,当且仅当a=b=时取等号,故a+b+2b的最大值是.
12.答案　6
解析　因为函数f(x)=(m-2)xm是幂函数,
所以m-2=1,m=3,于是f(x)=x3.
又因为函数f(x)=x3是奇函数且在R上单调递增,
所以由f(k2+3)+f(9-8k)≤0得f(k2+3)≤-f(9-8k)=f(8k-9),即k2+3≤8k-9,即k2-8k+12≤0,
所以2≤k≤6.
因此,实数k的最大值是6.
13.解析　(1)由题可得,所以,
所以m2+m=2,解得m=1或m=-2,
又m∈N+,所以m=1,
则该幂函数的解析式为f(x)=.
(2)因为f(x)的定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递增,f(1+a)>f(3-a),
所以解得1所以a的取值范围为(1,3].
14.解析　(1)由题意得解得m=3,所以f(x)=x-1.
(2)由(1)知f(x)=x-1,所以g(x)=(2a-1)x-ax+1=(a-1)x+1,
假设存在a>0,使得g(x)在(0,2]上的值域为(1,11],
①当0②当a=1时,g(x)=1,不成立;
③当a>1时,a-1>0,g(x)在(0,2]上单调递增,故g(2)=2(a-1)+1=11,解得a=6.
综上所述,存在a=6,使得g(x)在(0,2]上的值域为(1,11].
2(共11张PPT)
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
知识 清单破
4.2 简单幂函数的图象和性质
一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
知识点 1 幂函数的概念
知识点 2 常见五个幂函数的性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
图象
定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0,+∞)时增, x∈(-∞,0]时减 增 增 x∈(0,+∞)时减,
x∈(-∞,0)时减
公共点 图象都经过点(1,1) 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).(　 )

2.幂函数的图象一定不能出现在第四象限,但可能出现在第二象限. (　 )
√
3.当幂指数α取1,3, 时,幂函数y=xα是增函数. (　 )
√
4.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. (　 )

5.当α=0时,幂函数y=xα的图象是一条直线.(　 )

6.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大. (　 )

讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 幂函数的图象
1.根据幂函数在第一象限内的图象可确定幂的指数α与0,1的大小关系.

2.依据幂函数的图象的高低判断幂的指数的大小,相关结论如下:
(1)在x∈(0,1)上,幂的指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);
(2)在x∈(1,+∞)上,幂的指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
典例 若点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问:当x为何值时,(1)f
(x)>g(x) (2)f(x)=g(x) (3)f(x)思路点拨 先由点在图象上确定幂函数的解析式,再作出函数的图象,利用图象解决问题.
解析　设f(x)=xα,将( ,2)代入,得2=( )α,解得α=2,则f(x)=x2.
同理,可得g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示.
观察图象可得:
(1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x).
(2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x).
(3)当-1幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定
义域、值域、单调性、奇偶性.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的值(取值范围).
讲解分析
疑难 2 运用幂函数的性质解决相关问题
典例 已知幂函数y=f(x)的图象经过点 .
(1)试求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并写出该函数的单调区间;
(3)解关于x的不等式f(3x+2)+f(2x-4)>0.
解析 (1)设f(x)=xα,则f(2)=2α= ,解得α=-3.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x-3.
(2)f(x)=x-3的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
所以函数f(x)=x-3为奇函数.
f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞),无单调递增区间.
(3)结合(2)得f(3x+2)>-f(2x-4)=f(4-2x),
所以 或 或
解得- 2.
故原不等式的解集为 .

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