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易混易错练
易错点1　忽略函数的定义域致错
1.函数f(x)=的图象关于(　　)
A.原点对称　　　
B.y轴对称
C.x轴对称　　　
D.直线y=x对称
2.已知f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是(　　)
A.　　　B.
C.(1,3)　　　D.
3.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.
易错点2　忽略分段函数自变量的范围致错
4.设f(x)=则f(5)的值为(　　)
A.8　　　B.9　　　　
C.10　　　D.11
5.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.
6.已知a∈R,函数f(x)=若f(f(a))=1,则a=　　　　;若不等式f(x)≥f(1)对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是　　　　.
易错点3　混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
7.已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
易错点4　忽略对参数取值范围的讨论致错
8.已知函数f(x)=且f(x)在定义域上是单调函数,则实数t的取值范围为　　　　.
9.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[3m,m+2]上不单调,求实数m的取值范围;
(3)求f(x)在区间[t-1,t]上的最小值g(t).
思想方法练
一、数形结合思想
1.已知函数f(x)=若n>m,且f(n)=f(m),设t=n-m,则t的最大值为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.　　　　D.
2.已知f(x)的定义域为R,且f(x+1)是奇函数,当x>1时,f(x)=函数g(x)=k(x-1),k>0,则方程f(x)=g(x)的所有的根之和为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
3.(多选题)函数f(x)=a+1-|x-a|,g(x)=ax2-x+1,其中a>0.记max{m,n}=设h(x)=max{f(x),g(x)},若不等式h(x)≤恒有解,则实数a的值可以是(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
二、分类讨论思想
4.已知函数f(x)=2x2+(x-a)2.
(1)讨论f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)>2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)在[0,1]上有最大值9,求实数a的值.
5.已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[a,a+2]上单调,求实数a的取值范围;
(3)当a>-1时,记f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
三、转化与化归思想
6.已知函数f(x)=若 x∈R, f(mx2)+4f(4-3x)≤0恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
7.已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的奇函数,且f(-2)=2,对于任意的m,n∈[-2,2],m+n≠0,都有<0.
(1)判断函数的单调性,并给出证明;
(2)若存在x∈[-2,2],对于任意的a∈[-2,2],使f(x)≤-2at+2恒成立,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.B　由题意得1-x2≥0,且|x+2|+|x-1|≠0,解得-1≤x≤1,故f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1},关于原点对称,
则f(x)=,又f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.故选B.
易错警示　解决函数问题时必须坚持“定义域优先”的原则,需要注意的是求函数定义域之前,不要对函数解析式进行变形,以免引起定义域的变化.
2.A　∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,
∴-10可转化为f(m-2)>-f(2m-3)=f(-2m+3).
∵f(x)是减函数,∴
∴1易错警示　本题中要保证m-2和2m-3均在定义域(-1,1)内,求解时不要忘记这个条件.
3.答案　[-1,1]
解析　由-x2+2x+3≥0,得-1≤x≤3,所以函数f(x)的定义域为[-1,3].函数f(x)=可看作是由y=,t=-x2+2x+3复合而成的,因为y=在其定义域上单调递增,所以要求函数f(x)=的单调递增区间,只需求t=-x2+2x+3的单调递增区间即可,t=-x2+2x+3在区间[-1,3]上的单调递增区间为[-1,1],所以函数f(x)=的单调递增区间为[-1,1].
易错警示　求复合函数的单调区间时,要先求函数的定义域,再根据“同增异减”的原则求解.
4.D　f(5)=f(f(5+6))=f(f(11))=f(11-2)=f(9),
又f(9)=f(f(9+6))=f(f(15))=f(15-2)=f(13)=13-2=11,故f(5)的值为11.故选D.
5.答案　[-5,-2]
解析　根据题意得解得-5≤a≤-2.
6.答案　±1;[1,2]
解析　当a<1时, f(a)=a2-a×a=0,
∴f(f(a))=f(0)=a2=1,∴a=-1;
当a≥1时, f(a)=a2-a×a=0,
∴f(f(a))=f(0)=a2=1,∴a=1.
故a=±1.
∵不等式f(x)≥f(1)对任意x∈R恒成立,
∴当x=1时, f(x)取得最小值,∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减,
∴解得1≤a≤2,
∴a的取值范围是[1,2].
易错警示　解决与分段函数有关的单调性或最大(小)值问题,既要考虑每一段函数的单调性,还要考虑分段点处函数值的大小.
7.解析　(1)由题意知f(x)=
∴函数f(x)的单调递增区间为,
∴3=-,解得a=-6.
(2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为,
∵f(x)在[3,+∞)上单调递增,
∴-≤3,即a≥-6.
∴实数a的取值范围为[-6,+∞).
易错警示　单调区间是指一个函数中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性.
8.答案　
解析　当t=0时,函数f(x)=其在定义域上不单调,所以t≠0.
函数y=tx2+x+1(t≠0)的图象的对称轴为直线x=-.由题知函数f(x)在定义域上是单调递增函数.
当t>0时,函数y=tx2+x+1在区间上单调递减,不符合题意;
当t<0时,函数y=tx2+x+1在区间上单调递增,要使函数f(x)在定义域上单调递增,则需t+≥t3+t+1,即t3≤-,解得t≤-.
故实数t的取值范围为.
9.解析　(1)∵f(0)=f(2)=3,
∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
又∵二次函数f(x)的最小值为1,
∴设f(x)=a(x-1)2+1(a≠0),由f(0)=3得a=2,故f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)由(1)知f(x)=2x2-4x+3,
所以函数f(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=1.
要使函数在区间[3m,m+2]上不单调,则1∈(3m,m+2),∴m∈.
(3)①当t-1≥1,即t≥2时,函数f(x)在区间[t-1,t]上单调递增,
所以g(t)=f(t-1)=2t2-8t+9;
②当t-1<1所以g(t)=f(1)=1;
③当t≤1时,函数f(x)在区间[t-1,t]上单调递减,
所以g(t)=f(t)=2t2-4t+3.
综上所述,g(t)=
易错警示　求含参数的一元二次函数在闭区间上的最大(小)值,关键是要对抛物线的对称轴与所给区间的位置关系进行讨论.
思想方法练
1.C　如图所示,作出函数f(x)的图象,
∵f(n)=f(m)且n>m,∴由图象知m≤1,且n>1,
由图象定性分析得到m,n与1的关系.
∴3m+1=n2-1,即m=,
由图可得解得1由图象定量分析得到n的取值范围.
∴t=n-m=n-,12.C　因为f(x)的定义域为R,且f(x+1)是奇函数,
所以f(-x+1)=-f(x+1),则f(x)的图象关于点(1,0)对称,且f(1)=0,
因为g(x)=k(x-1),k>0,所以g(x)的图象关于点(1,0)对称,
方程f(x)=g(x)的所有的根之和即为两个函数图象所有交点的横坐标之和,
将方程f(x)=g(x)的根转化为函数f(x),g(x)图象的交点的横坐标,通过画出图象观察得出交点横坐标的和,体现数形结合思想.
函数f(x)和g(x)的图象如图所示:
由图可知,f(x)和g(x)的图象有5个交点,其中一个交点的横坐标为1,另外四个交点两两分别关于点(1,0)对称,所以5个交点的横坐标之和为2×2+1=5,故选C.
3.CD　若不等式h(x)≤恒有解,则≥h(x) min.
f(x)=a+1-|x-a|=
令ax2-x+1=x+1,解得x=0或x=;令ax2-x+1=2a+1-x,解得x=-或x=.
f(x)与g(x)的大小不好比较,通过画出两函数的图象,观察图象的位置关系得出大小关系,进而得到h(x)的解析式,体现数形结合思想.
①当≤a,即a≥时, f(x)与g(x)的大致图象如图所示,
则h(x)=
∴h(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(0)=g(0)=1,不合题意;
②当>a,即0则h(x)=
∴h(x)在(-∞,0],[a,]上单调递减,在[0,a],[,+∞)上单调递增,
h(0)=g(0)=1,h(+1,
若≥h(x) min,则需h(x)min=h(),即2a-+1≤,解得a≤,所以0综上所述,实数a的取值范围为,结合选项知C、D正确.故选CD.
思想方法　在解决函数问题时,有时可通过画出函数图象,由图象的直观性得出一些结论,有助于解题,特别是在遇到方程根的问题时,可通过画出函数图象转化为图象的交点问题等,这些都是数形结合思想在本章中的应用.
4.解析　(1)当a=0时, f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.理由如下:
f(x)的定义域为R,关于原点对称.
a是不是0会影响到f(x)的奇偶性,所以需要分类讨论.
当a=0时, f(x)=2x2+(x-0)2=3x2,满足f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数;
当a≠0时, f(-x)=2x2+(-x-a)2=2x2+(x+a)2≠2x2+(x-a)2,即f(-x)≠f(x),
同理f(-x)≠-f(x),所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)f(x)=3x2-2ax+a2>2对任意实数x恒成立,
即3x2-2ax+a2-2>0对任意实数x恒成立,
只需Δ=4a2-12(a2-2)<0,解得a<-或a>.
(3)f(x)=3x2-2ax+a2,其图象的对称轴为直线x=.
按照对称轴和区间的位置关系进行讨论,采用了分类讨论思想.
①当≤,即a≤时,f(x)max=f(1)=a2-2a+3=9,
解得a=1-或a=1+(舍去);
②当,即a>时,f(x)max=f(0)=a2=9,
解得a=3或a=-3(舍去).
综上,a=1-或a=3.
5.解析　(1)当x<0时,-x>0,可得f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以当x<0时, f(x)=x2+2x,
所以f(x)=
(2)作出函数f(x)的图象,如图,
可得f(x)的单调递增区间为[1,+∞),[-1,0],单调递减区间为(-∞,-1],[0,1].
若函数f(x)在区间[a,a+2]上单调,
则[a,a+2] (-∞,-1]或[a,a+2] [1,+∞),
即a+2≤-1或a≥1,解得a≤-3或a≥1,
故实数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥1}.
(3)由于a的取值范围不同会影响函数f(x)的单调性,进而影响f(x)的最小值,故应对a的取值范围进行分类讨论.
当-1当a>1时, f(x)在区间[a,a+2]上单调递增,所以g(a)=f(a)=a2-2a.
综上可知,g(a)=
思想方法　在解决函数问题时,当条件中变量或参数的取值不同,函数的图象、性质有不同的变化时,要依据题意合理进行分类讨论.涉及分段函数时,要注意自变量的取值范围对解题的影响.在分类讨论时,区间端点应准确把握.
6.答案　
解析　作出f(x)的图象,如图.
易知f(x)为奇函数,且在R上单调递减,
∵ x∈R, f(mx2)+4f(4-3x)≤0恒成立,
∴f(mx2)≤-4f(4-3x)=4f(3x-4),
又∵函数f(x)=-x|x|,
∴4f(3x-4)=-4(3x-4)|3x-4|=f(2(3x-4))=f(6x-8),
将不等式转化为f(x1)≤f(x2)的形式,进而利用单调性解不等式.
则f(mx2)≤f(6x-8),∴mx2≥6x-8,
即mx2-6x+8≥0恒成立,
当m=0时,不等式为-6x+8≥0,不恒成立,故m≠0,
一元二次不等式恒成立转化为二次函数的函数值恒大于等于0,即其图象均在x轴及其上方.
当m≠0时,需∴m≥.
综上,实数m的取值范围为.
7.解析　(1)f(x)在区间[-2,2]上单调递减.
证明如下:
因为f(x)是定义在区间[-2,2]上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x),
又对于任意的m,n∈[-2,2],m+n≠0,都有<0,
所以<0,
所以f(x)在区间[-2,2]上单调递减.
(2)因为存在x∈[-2,2],对于任意的a∈[-2,2],使f(x)≤-2at+2恒成立,
所以f(x)min≤-2at+2恒成立,
因为f(-2)=2,f(x)为奇函数且在[-2,2]上单调递减,
所以f(x)min=f(2)=-f(-2)=-2,
故-2≤-2at+2,即at-2≤0恒成立,
又a∈[-2,2],则解得-1≤t≤1,
故实数t的取值范围为[-1,1].
思想方法　转化与化归思想在本章中的主要应用有:(1)将方程问题转化为函数问题,不等式恒成立(能成立)问题转化为函数最值问题;(2)利用函数的单调性比较大小,解不等式求参数的取值范围等.要注意转化的过程也是一个探索的过程,抓住内在联系,通过一步一步转化才能使结果慢慢显现出来.
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