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专题强化练5　函数零点的综合运用
1.对函数f(x)=log3x+x-3的零点附近的函数值用二分法逐次计算,其参考数据如下表:
f(2)≈-0.369 1 f(2.5)≈0.334 0
f(2.25)≈-0.011 9 f(2.375)≈0.162 4
f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.281 25)≈0.031 9
那么方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度为0.1)为(　　)
A.2.1　　　　B.2.2　　　　C.2.3　　　　D.2.4
2.已知函数f(x)=则“-5A.充要条件　　　B.必要不充分条件
C.充分不必要条件　　　D.既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)=|lg x-1|,若f(a)=f(b),且aA.-3　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
4.若平面直角坐标系内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数f(x)的一个“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有(　　)
A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个
5.(多选题)已知函数f(x)=则以下判断正确的是(　　)
A.若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是(0,1)
B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增
C.直线y=1与函数y=f(x)的图象有2个公共点
D.函数f(x)的图象与直线y=x+2有且只有一个公共点
6.(多选题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,若函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>0且a≠1)在(-1,7)上恰有4个不同的零点,则实数a的值可以是(　　)
A.log32　　　B.log32
C.3log23　　　D.9log23
7.已知函数f(x)=若f(x)是单调函数,则实数a的取值范围是　　　　;若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
8.已知函数f(x)=x2-2mx+m-1,g(x)=e-x-1.
(1)若m=0,求证:函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点;
(2)若函数φ(x)=f(|g(x)|)恰有三个零点,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　函数零点的综合运用
1.C　由题表可知f(2.25)·f(2.312 5)<0,且|2.312 5-2.25|=0.062 5<0.1,因此区间[2.25,2.312 5]内的任意值都可作为方程的近似解,结合选项知选C.
2.B　当x<0时,令f(x)=0,得2×3x-a-5=0,故a=2×3x-5,
当x≥0时,令f(x)=0,得x2-4x-a=1,则a=x2-4x-1,
令g(x)=画出y=g(x)的图象,如图所示,
由图可知,当a∈(-5,-3)时,直线y=a与g(x)的图象有3个交点.
因为x2-4x-a>0对x≥0恒成立,所以(x-2)2-4>a对x≥0恒成立,所以a<-4.
故当f(x)有3个零点时,a∈(-5,-4).
因为(-5,-4) (-5,-3),
所以“-53.B　f(x)=|lg x-1|=作出f(x)的图象如图所示,
由f(a)=f(b),且a所以[f(a)]2-f(10b)=(1-lg a)2-[lg(10b)-1]=1-2lg a+(lg a)2-lg b=(lg a)2-lg(a2b)+1=(lg a)2-lg(100a)+1=(lg a)2-lg a-1=,故当lg a=,即a=时,[f(a)]2-f(10b)取得最小值,为-.故选B.
4.C　与函数y=-x2-4x(x≤0)的图象关于原点对称的是函数y=x2-4x(x≥0)的图象,
作出函数y=x2-4x(x≥0)及y=log2x(x>0)的图象,如图所示,
根据图象可得两个函数的图象有2个交点,故函数f(x)的“友好点对”有2个.
故选C.
解后反思　根据“友好点对”的定义,将问题转化为函数y=-x2-4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象与函数y=log2x(x>0)的图象的交点的个数问题,结合图象求解.
5.AC　函数f(x)=的图象如图所示,
若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则函数f(x)的图象与直线y=m有3个交点,
故m的取值范围是(0,1),故A正确;
函数f(x)在(-∞,0)上先增后减,故B错误;
作出直线y=1,则直线y=1与函数f(x)的图象有两个公共点,故C正确;
作出直线y=x+2,则直线y=x+2与f(x)的图象有3个交点,故D错误.
故选AC.
6.AD　∵ f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,
∴当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],∴f(x)=-f(-x)=-2-x+1,
∵对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(-x)=f(2+x)=-f(x),
∴f(x)=f(x+4),
函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>0且a≠1)在(-1,7)上恰有4个不同的零点,等价于y=f(x)与y=loga(x+2)的图象在(-1,7)上有4个不同的交点,
易求得f(1)=f(5)=1,f(-1)=f(3)=f(7)=-1,
当a>1时,由图1可得loga(5+2)<1=logaa,解得a>7;
当0-1=logaa-1,解得0综上可得,a∈∪(7,+∞).
∵0∵1>log32>log3.
∵1∵log23>log22=1,∴9log23>9.
故选AD.
导师点睛　解决求函数零点的个数、函数零点的范围等问题,数形结合是最有效的方法,解题时要注意含参数的函数图象是变化的,要对各种情况进行分析.
7.答案　[2,4];(-∞,0)
解析　因为函数y=2x在定义域内是增函数,所以函数f(x)为增函数,
所以a≥0且2a≤a2,
在同一坐标系下作出函数y=2x与y=x2的图象,如图1所示,
由图1可知,实数a的取值范围是[2,4].
函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)与y=b的图象有三个交点,
在同一坐标系下作出函数y=f(x)与y=b的图象,如图2所示,
由图2可知,当a<0时,存在实数b,使得两函数的图象有三个交点,
所以要使函数g(x)有三个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0).
8.解析　(1)证明:若m=0,则h(x)=f(x)-g(x)=x2-e-x.
因为当x>0时,y=x2,y=-e-x都单调递增,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为h(x)的图象是一条连续的曲线,且h(0)=-1<0,h(2)=4-e-2>0,
所以存在唯一的x0∈(0,2),使得h(x0)=0,
所以函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点.
(2)设t=|g(x)|,作出函数t=|g(x)|的图象,如图所示:
对于方程t2-2mt+m-1=0,
Δ=(-2m)2-4(m-1)=4+3>0,所以方程t2-2mt+m-1=0必有两个不相等的实数根t1,t2,不妨设t1当01;
当t1=0时,m=1,此时t2=2 (0,1),不符合题意,舍去.
综上所述,实数m的取值范围为(1,+∞).
方法点睛　解决函数的零点问题的常用方法:(1)方程法(直接解方程得到函数的零点);(2)图象法(画出函数的图象分析得解);(3)方程+图象法(令函数值为零,再重新构造两个函数,利用数形结合分析得解).
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