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易混易错练
易错点1　忽视零点存在定理的条件或不可逆性致错
1.函数f(x)在区间[1,2]上的图象是连续的,则“f(1)f(2)≥0”是“函数f(x)在区间(1,2)上没有零点”的(　　)
A.充分不必要条件　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
易错点2　忽视函数的定义域致错
2.第三届中国国际进口博览会在上海举行,经过三年的发展,进博会让展品变商品,让展商变投资商,交流创意和理念,联通中国和世界,国际采购、投资促进、人文交流、开放合作四大平台作用不断凸显,成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区,某企业带来了一款新型节能环保产品参展,并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元,每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完,每万台的销售收入为R(x)万元,且R(x)=
(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(利润=销售收入-成本)
(2)当年产量为多少万台时,该企业获得的年利润最大 并求出最大年利润.
3.设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x(x∈R).
(1)求g(x)的解析式;
(2)若方程g(x)-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围.
易错点3　忽视含参函数的分类讨论致错
4.已知函数f(x)=x2-ax+1在(0,1)内有零点,则实数a的取值范围是　　　　.
5.已知函数f(x)=2ln x2-3[x]+3,其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]=1,[-2.1]=-3),则函数f(x)的零点个数是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
6.已知函数f(x)=1-2log3x,g(x)=log3x.
(1)求函数y=[f(x)]2-6g(x)+3的零点;
(2)讨论函数h(x)=-[g(x)]2-f(x)-k在[1,27]上的零点个数.
思想方法练
一、数形结合思想
1.设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有4个不等实根,则a的取值范围是(　　)
A.(0,2]　　　B.[0,2)
C.(0,2)　　　D.[0,2]
2.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个数为(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
二、分类讨论思想
3.已知函数f(x)=ax-1+logax(a>0,且a≠1),则函数f(x)的零点个数为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
4.关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一实根在(0,1)内,求实数m的取值范围.
5.已知函数f(x)=2x,h(x)=x2-4x+5m,φ(x)与f(x)互为反函数.
(1)求φ(x)的解析式;
(2)若函数y=φ(h(x))在区间(3m-2,m+2)内有最小值,求实数m的取值范围;
(3)若函数g(x)=φ(x>0),关于x的方程[g(x)]2+a|g(x)|+a+3=0有三个不同的实数解,求实数a的取值范围.
三、转化与化归思想
6.(多选题)已知函数f(x)=若f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
7.(多选题)已知函数f(x)=-log2x(x>1)的零点分别为α,β,给出以下结论,其中正确的是(　　)
A.α+β=1　　　B.α+β=αβ
C.α-β<-　　　D.α-β>-2
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.B　因为函数f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的,且函数f(x)在区间(1,2)上没有零点,所以f(x)的图象上的所有点均不在x轴上方或均不在x轴下方,可得f(1)f(2)≥0,
而由f(1)f(2)≥0推不出函数f(x)在区间(1,2)上没有零点,
如f(x)=,满足f(1)f(2)≥0,但函数f(x)在区间(1,2)上有零点,
所以“f(1)f(2)≥0”是“函数f(x)在区间(1,2)上没有零点”的必要不充分条件.
故选B.
易错警示　零点存在定理是不可逆的,已知图象连续的函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,不一定能推出f(a)f(b)<0.
2.解析　(1)当0当x>20时,S=xR(x)-(380x+150)=370x+2 140-+1 990,
所以年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式为S=
(2)当0所以函数在(0,20]上单调递增,所以当x=20时,S取得最大值,为1 450;
当x>20时,S=-10x-+1 990=-+1 990≤-2+1 990=-500+1 990=1 490,
当且仅当10x=,即x=25时取等号,此时S取得最大值,为1 490,
因为1 490>1 450,
所以当年产量为25万台时,该企业获得的年利润最大,最大为1 490万元
易错警示　在解决与实际问题有关的函数模型问题时,要注意变量的取值范围不仅要满足题意,还要符合实际意义,若函数解析式为分段的形式,则要注意每段函数的定义域.
3.解析　(1)∵函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,
∴3a+2=18,∴3a=2,∴g(x)=3ax-4x=2x-4x(x∈R).
(2)方程g(x)-b=0,即2x-4x-b=0,
令t=2x,由x∈[-2,2],得≤t≤4,
∴g(x)-b=0在[-2,2]上有两个不同的解等价于方程t-t2-b=0在上有两个不同的解.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=t-t2,t∈的图象及直线y=b.
当t=时,y=;当t=时,y=.
由图知,当b∈时,
函数y=t-t2,t∈的图象与直线y=b有两个交点,即方程有两个不同的解.
因此实数b的取值范围是.
4.答案　(2,+∞)
解析　易得f(x)至多有两个零点.
当f(x)在(0,1)内有一个零点时,
或f(0)f(1)<0,解得a>2;
当f(x)在(0,1)内有两个零点时,
无解.
综上,实数a的取值范围为(2,+∞).
5.D　设函数g(x)=2ln x2,h(x)=3[x]-3,x≠0,易知g(x)为偶函数,
在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)=2ln x2与h(x)=3[x]-3的图象,如图所示,
当x≤-1时,两函数图象没有交点,即f(x)没有零点;
当-1当0当x=1时,g(x)=h(x)=0,两函数图象有1个交点,即f(x)有1个零点;
当2≤x<3时,h(x)=3,4ln 2≤g(x)<4ln 3,两函数图象有1个交点,即f(x)有1个零点;
当x≥3时,两函数图象没有交点,即f(x)没有零点.
综上,函数f(x)=2ln x2-3[x]+3共有4个零点.
故选D.
6.解析　(1)由[f(x)]2-6g(x)+3=0,得(1-2log3x)2-6log3x+3=0,化简为2(log3x)2-5log3x+2=0,
所以log3x=2或log3x=,
所以x=9或x=.
所以y=[f(x)]2-6g(x)+3的零点为9和.
(2)由题意得h(x)=-(log3x)2+2log3x-1-k,
令h(x)=0,得-(log3x)2+2log3x-1=k,
令t=log3x,x∈[1,27],则t∈[0,3],所以-t2+2t-1=k,
令F(t)=-t2+2t-1,t∈[0,3],
h(x)在[1,27]上的零点个数即函数F(t)=-t2+2t-1在[0,3]上的图象与直线y=k的交点个数.
F(t)=-t2+2t-1在[0,3]上的图象如图所示.
当k>0或k<-4时,F(t)在[0,3]上的图象与直线y=k无交点,
此时h(x)在[1,27]上的零点个数为0;
当k=0或-4≤k<-1时,F(t)在[0,3]上的图象与直线y=k有1个交点,
此时h(x)在[1,27]上的零点个数为1;
当-1≤k<0时,F(t)在[0,3]上的图象与直线y=k有2个交点,
此时h(x)在[1,27]上的零点个数为2.
对应主书P96
1.A　函数f(x)的图象如图所示,
方程f(x)=a的根的个数问题,转化为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数问题,应用了数形结合思想.
关于x的方程f(x)=a有4个不等实根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有4个交点,所以02.B　通过画出函数f(x)的图象,将零点个数问题通过图象转化为判断相应函数图象的交点个数问题,体现了数形结合思想.
作出函数y=f(x)的图象,如图中粗线所示,
令t=f(x),则t≥e-1-2=-2,
令g(x)=0,则f(t)-2t+1=0,即f(t)=2t-1,
在图中作出直线y=2x-1,由图象可知f(x)的图象与直线y=2x-1有两个交点,其横坐标分别设为t1,t2,且t1当t=0时,结合图象可知t=f(x)有2个不等实根;
当1所以方程g(x)=0的实根个数为5,
即函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个数是5.故选B.
思想方法　数形结合思想在本章中主要体现在把函数的零点转化为对应方程的解,再转化成两个函数图象的交点横坐标,利用图象求解,即代数问题几何化.
3.B　求函数f(x)=ax-1+logax(a>0,且a≠1)的零点个数,即求方程ax-1+logax=0(a>0,且a≠1)的实根的个数,即求方程ax-1=-logax(a>0,且a≠1)的实根的个数.在同一平面直角坐标系中,作出y=ax-1和y=-logax(a>0,且a≠1)的大致图象.
对底数a按照a>1和0当a>1时,其图象如图1所示,
观察图象知,两函数图象有且仅有一个交点;
当0观察图象知,两函数图象有且仅有一个交点.
图1
图2
综上可知,函数f(x)=ax-1+logax(a>0,且a≠1)仅有一个零点.故选B.
4.解析　设f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,则原方程恰有一实根在(0,1)内有以下两种情况:
针对函数f(x)的零点情况分类,体现了分类讨论思想.
(1)f(0)·f(1)<0,此时有(2m-1)(3m-2)<0,解得;
(2)f(x)有一个零点恰好为0或1,另一个零点在区间(0,1)内,
分f(0)=0和f(1)=0两种情况分别求解,体现了分类讨论思想.
令f(0)=0,得2m-1=0,得m=,此时方程为x2-x=0,解得x=0或x=,而 (0,1),不符合题意,舍去;
令f(1)=0,得3m-2=0,解得m=,此时方程为3x2-4x+1=0,解得x=1或x=,而∈(0,1),故符合题意.
综上,实数m的取值范围为.
5.解析　(1)由题意得φ(x)=log2x(x>0).
(2)函数y=φ(h(x))=log2(x2-4x+5m)在区间(3m-2,m+2)内有最小值,
则h(x)=x2-4x+5m在(3m-2,m+2)内先减后增,且h(x)min>0,
∴解得.
故m的取值范围为.
(3)∵x>0,∴∈(0,4),∴g(x)<2,
g(x)=log2在x>0时单调递增,且g=0,y=|g(x)|的图象如图所示,
设|g(x)|=t,由y=|g(x)|的图象可得,当t=0或t≥2时,对于一个确定的t值,有唯一一个x值与之对应,当0所以[g(x)]2+a|g(x)|+a+3=0有三个不同的实数解即t2+at+a+3=0有三个不同的实数解,且对应以下两种情况:
一根在(0,2)上,一根为0;一根在(0,2)上,一根在[2,+∞)上,按这两种情况分类讨论求解.
①t2+at+a+3=0有两个根,且一个根在(0,2)上,另一个根为0,把t=0代入方程,得a=-3,则t2+at+a+3=t2-3t=0,另一个根为3,又3 (0,2),故舍去;
②t2+at+a+3=0有两个根,且一个根在(0,2)上,另一个根在[2,+∞)上,令k(t)=t2+at+a+3,
(i)当一个根在(0,2)上,另一个根在(2,+∞)上时,
解得;
(ii)当一个根在(0,2)上,另一个根为2时,则k(2)=0,解得a=-,
此时t2-=0的两根分别为,2,满足题意.
综上,a的取值范围为.
思想方法　应用分类讨论思想解题的关键是要确定分类标准,在本章中常见的分类标准如下:与指数、对数有关的函数零点问题,若底数a不确定,需分a>1和06.BC　作出函数f(x)的图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点问题,体现了转化与化归思想.
当x≤0时,f(x)=(x+1)2,
当0当x≥1时,f(x)=log4x,
作出f(x)的图象如图所示,
f(x)的图象与直线y=1有4个交点,分别为(-2,1),(0,1),,(4,1),
因为f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1所以0又因为f(x3)=-log4x3,f(x4)=log4x4,所以-log4x3=log4x4,即log4x4+log4x3=0,所以x3x4=1,所以x4(x1+x2)+,1构造函数g(x)=-2x+,x∈(1,4],
因为y=-2x,y=在x∈(1,4]上均单调递减,所以函数g(x)=-2x+在x∈(1,4]上单调递减,
所以g(4)≤g(x)所以x4(x1+x2)+∈.
故选BC.
7.BD　由函数y=得x=,所以函数y=的图象关于直线y=x对称,
将零点α,β转化为函数图象交点的横坐标,通过函数图象解决问题.
易知α为y=,y=2x(x>1)的图象的交点的横坐标,
β为y=,y=log2x(x>1)的图象的交点的横坐标,
如图所示, A(α,2α),B(β,log2β),且A,B关于直线y=x对称,
则α=log2β,β=2α,且β=2α=,
故β(α-1)-α=0,即α+β=αβ,故B正确;
由图可知α>1,∴α-1>0,
所以α+β=α-1++2≥2+2=4,当且仅当α=2时等号成立,
∵f(2)=-22=-2≠0,∴α≠2,即α+β>4,故A错误;
因为f>0,f(2)=-2<0,且f(x)=-2x+1(x>1)为单调递减函数,
所以f(x)=-2x(x>1)在上存在唯一的零点,即<α<2,故α-β=α-,
设h(x)=x-1-,则h(x)为单调递增函数,
故h(x)>h=0,故-2<α-β<0,故C错误,D正确.故选BD.
思想方法　在本章中转化与化归思想主要体现在函数的零点、相应方程的解、相应函数图象交点的横坐标之间的相互转化上,这也是解决函数零点问题最基本、最常见的思想.
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