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山东省临沂市兰陵县2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷
一、单选题
1．下面各数中是无理数的是（ ）
A． B． C．2025 D．
2．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
5．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是某商品月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是（ ）
A．1月 B．2月 C．3月 D．4月
7．，是平面直角坐标系中的两点，当线段的长度最小时，的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是（ ）
A．0 B． C．3 D．9
9．若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为400公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据如图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（ ）
每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤
A．153天 B．154天 C．155天 D．156天
二、填空题
11．“少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是 ．
12．关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的值可以是 ．（填写一个满足题意的值即可）
13．下列表格中给出的几组数都是关于x，y的二元一次方程的解，表格中m的值为 ．
x 0 1 2 5
y 3 1 m
14．如图，在直角中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M，若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为
15．按一定规律排列的代数式：1，，，，，…，第4049个代数式是
三、解答题
16．计算；
(1)；
(2)．
17．（1）解方程组
（2）解不等式组
18．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行与地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点．
(1)求证：；
(2)若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数．
19．某校为了解七年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：A（），B（），C（），D（），将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽样的样本容量为________；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中a的值为________，圆心角β的度数为________；
(4)若该校七年级有1200名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？
20．类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：
①如果，那么x叫做a的四次方根；
②如果，那么x叫做a的五次方根；
请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：
(1)81的四次方根为______；的五次方根为______．
(2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______．
(3)解方程：
①
②
21．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)点的“长距”为________；
(2)若点是“完美点”，求a的值；
(3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”．
22．根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过600元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的6倍，扫把簸箕套装不少于20套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需35元，买2条毛巾和4套扫把簸箕套装共需50元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的9折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打5折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1)直接写出点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ；
(2)当分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使求出点P的坐标．
(3)在的运动过程中，当时，请你直接写出和的数量关系，
参考答案
1．A
解：选项A：；将20分解为，则；由于是无理数，因此也是无理数
选项B：，是整数，属于有理数；
选项C：；2025是整数，属于有理数；
选项D：；分数形式，分子分母均为整数，属于有理数；
故选：A.
2．B
解：如图所示，
∵，，
∴
依题意，，
∴．
故选：B
3．B
解：∵一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，
∴平面直角坐标系如下：
∴原点可能是点B，
故选：B
4．C
解：矩形的面积，
∵，
∴，即，
故在3和4之间，
故选：C．
5．B
图中数轴表示的解集是x<2．
A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意，
B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意，
C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意，
D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意，
故选：B．
6．C
解：1月该商品单个利润为元，
2月该商品单个利润大于元，
3月该商品单个利润小于元，
4月该商品单个利润为元，
∴售出该商品单个利润最小的是3月，
故选：C．
7．D
解：如图，过点作轴于点，
此的长度最小，
∵，，
即当时，线段长度的值最小，
此时线段长度的最小值为，
故选：D．

8．C
解：
①+②，可得，
解得，
把代入①，解得，
∵a，b互为相反数，
∴，
∴，
解得．
故选：C．
9．D
解：，
A、，故错误，该选项不合题意；
B、，故错误，该选项不合题意；
C、无法得出，故错误，该选项不合题意；
D、，故正确，该选项符合题意；
故选：D．
10．B
解：设改搭公交车上下班天，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为154，
至少要改搭公交车上下班154天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量．
故选：B．
11．3
解：由题意得：“强”字出现了3次．
所以，“强”字出现的频数是3，
故答案为：3．
12．（答案不唯一）
解：解不等式得：，
∵关于x的不等式恰有两个负整数解，
∴负整数解为、，
∴，
∴的值可以为．
故答案为：
13．
解：把代入，得，
∴，
则，
把代入，得，
∴，
∴二元一次方程为：，
把代入，得，
∴，
∴．
故答案为：．
14．2
解：∵把沿点A到点E方向平移至处
∴四边形面积 =梯形面积
∵，
∴
∴，解得：
故答案为：2.
15．
解：因为第1个式子为，
第2个式子为，
第3个式子为，
第4个式子为，
所以第4049个式子为
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：原式；
（2）解：原式．
17．（1）；（2）
解：（1）
，得，
解得：，
把代入①，得，
即．
原方程组的解为：．
（2）
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集是．
18．(1)见解析
(2)
（1）证明：
，
；
（2）解：扶手与底座都平行与地面，
，
，
，
平分，
．
由（1）知
．
19．(1)60
(2)见解析
(3)20；144°
(4)600人
（1）解：，
∴本次抽样的样本容量为60；
故答案为：60；
（2）解：C组的人数为，
（3）解：，，
∴.
故答案为：20，；
（4）解：全校低于54分的学生的人数（人）．
答：全校低于54分的学生的人数600人．
20．(1)；
(2)，全体实数
(3)①；②
（1）∵，，
∴81的四次方根是．
∵，
∴的五次方根是．
故答案为：，
（2）若有意义，则，
∴a的取值范围为：．
若有意义，则a的取值范围为全体实数．
故答案为：，全体实数
（3）①∵，又
∴；
②∵
∴，
∵，
∴．
21．(1)4
(2)或
(3)见解析
（1）解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4，
所以点的“长距”为4；
故答案为：4；
（2）解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：点的长距为5，且点C在第三象限内，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为，
点D到x轴、y轴的距离都是8，
∴D是“完美点”．
22．任务1：毛巾单价为5元，扫把簸箕套装的单价为10元；任务2：学校购买扫把簸箕套装20套，毛巾120条
任务1：
解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为5元，扫把簸箕套装的单价为10元．
任务2：
设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：
依题意，得，
解得，
∵扫把簸箕套装不少于20套．
即，
则方案一不符合题意，故舍去；
方案二：
∵扫把簸箕套装不少于20套，即，
∴总费用，
∴根据题意，得，
解得，
∵，
∴，
∴
答：学校选择方案2，购买扫把簸箕套装20套，毛巾120条．
23．(1)BC//AO
(2)点P的坐标为(﹣4，0)
(3)∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠OPQ＝∠PQB﹣30°或∠OPQ＝150°﹣∠PQB；
（1）解：∵（a+8）2+＝0，
∴（a+8）2≥0，≥0，
∴a+8＝0，c+4＝0，
解得：a＝﹣8，b＝﹣4，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣4），
∵B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∴AO∥BC，
故答案为：（﹣4，﹣4）；AO∥BC；
（2）解：由题意可知t秒时P的坐标为（﹣8+2t，0），Q的坐标为（0，﹣t），
∴S△ABP＝×2t×4＝4t，S△QBC＝×（4﹣t）×4＝8﹣2t，
∵S△PAB＝2S△QBC，
∴4t＝2（8﹣2t），
解得：t＝2，
∴﹣8+2t＝﹣4，
∴P（﹣4，0）；
（3）解：过点Q作QH∥x轴，交直线AB与点H，
∵QH∥AO，BC∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠OPQ＝∠PQH，∠CBQ＝∠BQH，
如图（1），当Q在C的上方时，∠PQH＝∠PQB﹣∠HQB，
∴∠OPQ＝∠PQB﹣∠QBC，
当∠QBC＝30°时，∠OPQ＝∠PQB﹣30°，
如图（2）当Q在C的下方时，
∵QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∵∠HQB+∠PQB＝∠HQP＝180°﹣∠OPQ，
∴∠OPQ＝150°﹣∠PQB，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠OPQ＝∠PQB﹣30°或∠OPQ＝150°﹣∠PQB；

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