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山东省青岛市李沧区、城阳区、西海岸、平度市、胶州市五区2024-2025学年 七年级下学期期末联考数学试题
一、单选题
1．下列新能源汽车标志中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践．二十四节气可分为四类，象征气温变化的有小暑、小寒等五个节气；表示寒来暑往变化的有立春、夏至等八个节气；反映降水量的有雨水、霜降等七个节气；反映物候现象或农事活动的有惊蛰、芒种等四个节气．若从二十四节气中任选一个节气，则选到的节气恰好象征气温变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四条线段的端点均在正方形网格的格点上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线c分别与直线a，b相交于A，C两点，，交直线b于点B．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是
A． B． C． D．
6．数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．21米
7．如图，是的一条角平分线，，垂足为．已知，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．为庆祝五一国际劳动节，某公司用花卉在小广场摆出了如图所示的图案，其中小黑点表示花卉．第一层需要1盆；第二层需要3盆；第三层需要5盆；第四层需要7盆……工作人员按照以上规律摆放完n层时，恰好共用100盆花卉，则第层的花卉盆数是（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
二、填空题
11．在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．我国约的陆地，一年从太阳得到的能量相当于燃烧 的煤所产生的能量．（结果用科学记数法表示）
12．某快递公司同城快递的收费标准如下表（交寄物品的质量不足按计）：
质量 1 2 3 4 5 …
费用元 …
若小明交寄了的物品，则他需要支付的快递费用为 元．
13．如图，，，且，要使，则可以添加的条件是 ，（写出一个你认为正确的即可）
14．如图所示是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是 ．
15．如图，四边形是边长为2的正方形，以点B为圆心、的长为半径的圆与正方形交于A，C两点，以点C为圆心、的长为半径的圆与正方形交于B，D两点，两个阴影部分的面积分别记为和，则 ．（结果保留）
16．如图，在中，，分别是边，上的高线，两条高线相交于点H，连接，过点D作，交于点F．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（只填写序号）
三、解答题
17．已知：四边形．求作：点P，使点P在四边形内部，且到边，的距离相等，．
18．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）先化简，再求值：，其中，，．
19．儿童节期间，某游乐场为了吸引顾客，举行了一场游戏活动．游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有红、白两种颜色的球共60个，每个球除颜色外完全相同，游戏者依次从中任意摸出一个球（每人摸完后都把球放回盒子中），如果摸到红球就可以得到一个小熊玩具，如果摸到白球就可以得到一个创意气球．已知参加该活动的游戏者共3000人，游乐场共发放小熊玩具200个．
(1)参加此游戏得到小熊玩具的频率是______；
(2)请估计从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______；
(3)求该盒子中大约有多少个白球．
20．如图，，，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若，求的度数．
21．在有理数范围内定义一种新运算，规定．例如：．
(1)求的值；
(2)已知，求y的值；
(3)若无论n取何值，（t为常数）永远成立，求t的值．
22．如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F，连接；以点F为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点D．请你判断与的位置关系和数量关系，并说明理由．
23．一条笔直的公路上有A，B两地，一辆快车匀速从A地开往B地，一辆慢车匀速从B地开往A地．两车同时出发，设两车离B地的距离，随行驶时间的变化情况如图1所示；两车之间的距离随行驶时间的变化情况如图2所示．观察图象，回答下列问题：
(1)在图1中，______（填或）表示慢车离B地的距离随行驶时间的变化情况；
(2)快车的速度是______；
(3)在图2中，P点表示什么？
(4)______，______；
(5)请直接写出在相遇之前，两车之间的距离与行驶时间之间的关系式．
24．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）．
解答下列问题：
(1)的长为______；（用含t的代数式表示）
(2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
(4)设点P到的距离为，求y与t之间的关系式．
参考答案
1．B
A.该选项不是轴对称图形，故不符合题意；
B. 该选项是轴对称图形，故符合题意；
C. 该选项不是轴对称图形，故不符合题意；
D. 该选项不是轴对称图形，故不符合题意，
故选：B．
2．C
解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气象征气温变化的有5个，
则抽到的节气象征气温变化的概率为，
故选：C．
3．D
解：A、通过观察可知，和不垂直，故该选项错误；
B、通过观察可知，和不平行，故该选项错误；
C、通过观察可知，和不平行，故该选项错误；
通过排除法可知答案选D，
故选：D．
4．D
解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
5．C
解：∵，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．A
解：∵，
，
，
，
在和中
，
，
米，
答：该旗杆的高度是米，
故选：A．
7．B
解：如图所示，过点作，
是的平分线，
，
，，
，，
．
故选：B．
8．C
解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，
则小桌的长是，中桌的长，大桌的长，根据题意得
，
故选：C．
9．B
解：如图：连接，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴，
∵，．
∴,
∴的最小值为6，
故选B．
10．A
解：∵第一层需要盆；第二层需要盆；第三层需要盆；第四层需要盆…，
∴前层共有(盆) ,
∵工作人员按照以上规律摆放完层时，恰好共用盆花卉,
，
，
，
层的花卉盆数是，
故选: A．
11．
解：，
一年从太阳得到的能量相当于燃烧千克的煤所产生的能量．
故答案为：．
12．
解：根据表格可知：所寄物品的质量每增加，需要多付元，则寄的物品，他需要支付的快递费用为：
（元）．
故答案为：．
13．（答案不唯一）
解： ∵，
∴，
∴，
∵
∴，
故添加条件为，
故答案为：（答案不唯一）．
14．
解：红色区域的圆心角为，
指针落在红色区域的概率是，
故答案为：
15．/
解：设一个空白的面积的x，
根据题意，得，，
故，
整理，得，
故答案为：．
16．①②
解：∵，分别是边，上的高线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（），故②正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④错误；
故答案为：①②．
17．见解析
解：如图，点P就是求作的点．
证明：连接，如下图所示，
∵平分，点P在上，
∴点P到，的距离相等，
∵是的垂直平分线，点P在上，
∴，
∴，
18．（1）；（2）；（3）；（4），
解：（1）；
（2）
（3）
；
（4）
，
当，时，原式．
19．(1)
(2)
(3)56个
（1）解：参加此游戏得到小熊玩具的频率是，
故答案为：；
（2）从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，
故答案为：；
（3）由题意知，摸出白球的概率约为，
所以盒子中白球的个数约为，
则该盒子中大约有56个白球．
20．(1)，理由见解析
(2)
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．(1)
(2)
(3)
（1）解：，
；
（2），
，
，
解得：；
（3），
，
整理得，，
因为无论n取何值，永远成立，
所以，所以，
将代入，得，，
综上，．
22．，证明见解析
解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
23．(1)
(2)120
(3)当行驶时间为时，两车相遇
(4)，
(5)
（1）解：∵慢车离地的距离逐渐增大，
∴图1中，表示慢车离地的距离随行驶时间的变化情况．
故答案为：；
（2）解：快车的速度是．
故答案为：120；
（3）解：∵点的纵坐标为0，即两车之间的距离，
∴点表示两车相遇，
∵快车的速度是
慢车的速度为，
当两车相遇时，可得，
解得，
，
∴在图2中，点表示当行驶时间为时，两车相遇；
（4）解：由行驶过程可知，当时，快车到达B地，
∴，
∵当行驶时间为时，两车相遇，
∴当时，两车之间的距离，
，
故答案为：3，240；
（5）解：在相遇之前，两车之间的距离与行驶时间之间的关系式为．
24．(1)
(2)
(3)存在，
(4)
（1）解：∵， ，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
∵点B在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∵点D，E关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：连接，过点C作，垂足为F，
∵，
∴，
∵，
∴．

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