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第25讲 菱形的性质与判定
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菱形的有关证明与计算 理解菱形的概念;探索并证明菱形的性质定理及其判定定理.
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考点一 菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等.
2.菱形的性质定理
性质定理 符号语言 图示
边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC
对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD
【补充】
1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；
2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
4）菱形的面积公式：
①菱形的面积=底×高，即
②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.
3.菱形的对称性
1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
4. 菱形的判定
判定定理 符号语言 图示
边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形
对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形
【典例1】（ 2025·黑龙江龙东）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　AC⊥BD（答案不唯一）　 ，使平行四边形ABCD为菱形．
【分析】由菱形的判定方法，即可判断．
【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴添加一个条件AC⊥BD，使平行四边形ABCD为菱形．
故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）．
【点评】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【典例2】如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　　）
A．（﹣4，2） B．（，4） C．（﹣2，4） D．（﹣4，）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．.
【答案】C
【分析】过C作CN⊥x轴于N，由勾股定理求出OC5，由菱形的性质推出AC∥BO，AC＝CO＝5，判定四边形MNCA是矩形，得到MN＝AC＝5，因此OM＝MN﹣ON＝5﹣3＝2，因此点A的坐标为（﹣2，4）．
【解答】解：过C作CN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M，
∵点C的坐标为（3，4），
∴ON＝3，CN＝4，
∴OC5，
∵四边形ABOC是菱形，
∴AC＝OC＝5，AC∥BO，
∴四边形AMNC是矩形，
∴MN＝AC＝5．
∴OM＝MN﹣ON＝2
∴点A的坐标为（﹣2，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出OC的长．
【典例3】（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
(1)求证：是菱形；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形；
（2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解．
【详解】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
专项训练·深度理解
专项训练二十五：菱形的性质与判定
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2023·福建·统考中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．
2. （2024 通辽）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是（　　）
A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2
【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OA2+OB2＝AD2，
∴OA2+OD2＝AD2，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项C不符合题意，
D、∵AD2+OA2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∴不能证得 ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
3. （2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
在菱形中，，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．
4. （2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则EF为（ ）．

A．2 B． QUOTE EMBED Equation.DSMT4 C． D． QUOTE
【答案】B
【分析】根据菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．
【详解】解：在菱形中，，
，
，
，
，
在中，，
同理，，
，
，
在中，
．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5. （2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
在菱形中，，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．
6. （ 2025·河南）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　）
A．2 B．6﹣3 C．2 D．66
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，
∴AB＝BC＝6，
根据折叠的性质得，AE⊥BF，BE＝EF，
∵∠B＝45°，
∴∠BAE＝90°﹣45°＝∠B，
∴AE＝BEAB＝3，
∴BF＝2BE＝6，
∴CF＝BF﹣BC＝66，
故选：D．
7. （2024 长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，根据直角三角形 到现在得到DH＝，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，
在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，
∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，
∴DH＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠EHD＝90°，
∴△ADF∽△DEH，
∴，
∴＝，
∴y＝，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，含30°直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
8. （2024 黑龙江）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先由菱形性质可得对角线AC与BD交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA＝OC＝OM＝2，进而由菱形对角线求出边长，由sin∠MAC＝sin∠OBC＝解三角形即可求出MC＝ACsin∠MAC＝，MN＝BMtan∠OBC＝．
【解答】解：连接AC，如图，
∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
又∵点O是BD的中点，
∴A、O、C三点在同一直线上，
∴OA＝OC，
∵OM＝2，AM⊥BC，
∴OA＝OC＝OM＝2，
∵BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4，
∴BC＝＝＝2，tan∠OBC＝＝＝，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，
∴∠MAC＝∠OBC
∴sin∠MAC＝sin∠OBC＝＝＝，
∴MC＝ACsin∠MAC＝，
∴BM＝BC MC＝2 ＝，
∴MN＝BMtan∠OBC＝×＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．熟练掌握各知识点是解题的关键．
9. （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键
利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解．
【详解】如图：连接，交于点O，
因为、、、分别是四边形边的中点，
∴，；，；，；， ．
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∴，，
∴，
∵四边形面积为，，
∴，
解得 ．
∴
在中
．
故选：B．
10. （2024 泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
【分析】E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AF＝MH，因为AG≥GF，所以求出MH的值即可得解．
【解答】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AF⊥GM于点F，
∵∠EMF+∠EGF＝180°，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
∴MG∥AB，
∴四边形MHAF是矩形，
∴MH＝AF，
∵BE＝8，
∴EM＝BE cos30°＝4，
∴MH＝EM＝2＝AF，
∴AG≥AF＝2，
∴AG最小值是2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·青海·中考真题）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由，分别为，的中点，得，所以，然后根据菱形的面积为即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
12. （ 2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 　 　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO＝BO＝1，CD∥AB，
∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴△DOF的面积＝△BOE的面积，
∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积2×1＝1，
故答案为：1．
13. （2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为_______________．
【答案】
【分析】根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵在菱形中，为菱形的对角线，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵是的中点，点为中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14. （2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则___________________．

【答案】6
【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：连接，交于点O，如图所示：

∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
设，则有，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得，即，
∴，
∴；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15. （2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________．

【答案】
【分析】根据菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．
【详解】解：在菱形中，，
，
，
，
，
在中，，
同理，，
，
，
在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16. （2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是________．

【答案】或
【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答．
【详解】解：∵四边形为菱形，，
∴，
连接，
①当点E在点A上方时，如图，
∵，，
∴，
②当点E在点A下方时，如图，
∵，，
∴，
故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形．
【分析】由，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，进而得到△ABD为等腰三角形，进而得到AB=AD，再由BC=AB，得到对边AD=BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明ABCD为菱形．
【详解】证明：∵，
∴∠ADB=∠DBC，
又BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AB=AD，
又已知AB=BC，
∴AD=BC，
又，即ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考了角平分线性质，平行线的性质，菱形的判定方法，平行四边形的判定方法等，熟练掌握其判定方法及性质是解决此类题的关键．
18. （6分）（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，平分，求的长．
【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形；
（2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵对角线的垂直平分线是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，
∵平分，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
19. （6分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于 AD长为半径做弧，交 于点B,AB∥CD.
（1）求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积.
【答案】（1）证明：由已知得：AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线,
∴∠ACB=∠DCB，
又∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，
又∵AC=CD,AB=DB,
∴AC=CD=DB=BA，
四边形ACDB是菱形，
又∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.
（2）解：设菱形ACDB的边长为x，∵CF=6,CE=12,
∴FA=6-x，
又∵AB∥CE,
∴△FAB∽△FCE,
∴ ,
即 ，
解得：x=4，
过点A作AH⊥CD于点H,
在Rt△ACH中，∠ACH=45°,
∴sin∠ACH= ,
∴AH=4× =2 ,
∴四边形ACDB的面积为： .
20. （8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD=EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCB，
∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，
∴tan∠ABE==3，
∵BF=，
∴EF=，
∴DE=3，
∴S菱形AEBD= AB DE= 3=15．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21. （8分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；
（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；
（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．
【解答】解：（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FGA，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△GPD，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．
22. （8分）（ 2025·黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA，OA的长是一元二次方程x2﹣3x﹣18＝0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P．动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求点P坐标；
（2）连接MN、PM，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式；
（3）当t＝3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程得出OA的长度，由菱形的性质与锐角函数综合，可得OQ和PQ的长度，即可得点P的坐标；
（2）分类讨论，分别由运动时间表示出线段长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可；
（3）根据运动时间，确定点M和点N的坐标，分类讨论，根据等腰三角形的性质即可得点E的坐标．
【解答】解：（1）由x2﹣3x﹣18＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣3，
∵OA的长是x2﹣3x﹣18＝0的根，
∴OA＝6，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝OC＝6，
∵，
∴∠COA＝60°，
又∵CQ⊥OA，
∴∠OCQ＝30°，
∴OQ＝3，
∵四边形OABC为菱形，
∴OB平分∠COA，
∴∠POQ＝30°，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）过点M作MK⊥OB于点K，
由题可知，OM＝t，则，
由（1）得：，则，
当0＜﹣t﹣＜4时，，
∴；
当4＜t≤6时，，
∴；
综上所述，；
（3）如图，
当t＝3时，OM＝3，点M和点Q重合，，，∠ONM＝∠NOM＝30°，
假设在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，
当∠EMN为顶角时，点E1与点O重合，E1（0，0）；
当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合，；
当∠ENM为顶角时，NE1＝NM＝OM＝3，
设，则OE3＝2a，
∵OE3+NE3＝ON，
∴，
∴，
∴，
∴
综上，当t＝3时，在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，E1（0，0），，；
【点评】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握分类讨论的思想方法．
23. （10分）如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．
(1)求证:△AEH≌△AGH；
(2)当AB=12，BE=4时：
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②存在，或
【解析】
【分析】
（1）证明△ABE≌△ACG得到AE=AG，再结合角平分线，即可利用SAS证明△AEH≌△AGH；
（2）①根据题意可得点E和点G关于AF对称，从而连接ED，与AF交于点H，连接HG，得到△DGH周长最小时即为DE+DG，构造三角形DCM进行求解即可；
②分当OH与AE相交时，当OH与CE相交时两种情况分别讨论，结合中位线，三角形面积进行求解即可.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠ACD=60°，
∵BE=CG，AB=AC，
∴△ABE≌△ACG，
∴AE=AG，
∵AF平分∠EAG，
∴∠EAH=∠GAH，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AGH；
（2）①如图，连接ED，与AF交于点H，连接HG，
∵点H在AF上，AF平分∠EAG，且AE=AG，
∴点E和点G关于AF对称，
∴此时△DGH的周长最小，
过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，
由（1）得：∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，
∴∠DCM=60°，∠CDM=30°，
∴CM=CD=6，
∴DM=，
∵AB=12=BC，BE=4，
∴EC=DG=8，EM=EC+CM=14，
∴DE==DH+EH=DH+HG，
∴DH+HG+DG=
∴△DGH周长的最小值为；
②当OH与AE相交时，如图，AE与OH交于点N，
可知S△AON：S四边形HNEF=1:3，
即S△AON：S△AEC=1:4，
∵O是AC中点，
∴N为AE中点，此时ON∥EC，
∴，
当OH与EC相交时，如图，EC与OH交于点N，
同理S△NOC：S四边形ONEA=1:3，
∴S△NOC：S△AEC=1:4，
∵O为AC中点，
∴N为EC中点，则ON∥AE，
∴，
∵BE=4，AB=12，
∴EC=8，EN=4，
过点G作GP⊥BC，交BNC延长线于点P，
∵∠BCD=120°，
∴∠GCP=60°，∠CGP=30°，
∴CG=2CP，
∵CG=BE=4，
∴CP=2，GP=，
∵AE=AG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
设EF=FG=x，则FC=8-x，FP=10-x，
在△FGP中，，
解得：x=，
∴EF=，
∴，
综上：存在直线OH，的值为或.
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，中位线，最短路径问题，知识点较多，难度较大，解题时要注意分情况讨论.
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第25讲 菱形的性质与判定
考点展示·课标透视
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菱形的有关证明与计算 理解菱形的概念;探索并证明菱形的性质定理及其判定定理.
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等.
2.菱形的性质定理
性质定理 符号语言 图示
边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC
对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD
【补充】
1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；
2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
4）菱形的面积公式：
①菱形的面积=底×高，即
②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.
3.菱形的对称性
1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
4. 菱形的判定
判定定理 符号语言 图示
边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形
对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形
【典例1】（ 2025·黑龙江龙东）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　 　 ，使平行四边形ABCD为菱形．
【典例2】如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　　）
A．（﹣4，2） B．（，4） C．（﹣2，4） D．（﹣4，）
【典例3】（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
(1)求证：是菱形；
(2)若，求的面积．
专项训练·深度理解
专项训练二十五：菱形的性质与判定
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2023·福建·统考中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10
2. （2024 通辽）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是（　　）
A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2
3. （2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4. （2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则EF为（ ）．

A．2 B． QUOTE EMBED Equation.DSMT4 C． D． QUOTE
5. （2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6. （ 2025·河南）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　）
A．2 B．6﹣3 C．2 D．66
7. （2024 长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
8. （2024 黑龙江）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
9. （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
10. （2024 泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·青海·中考真题）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为 ．
12. （ 2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 　 　 ．
13. （2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为_______________．
14. （2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则___________________．

15. （2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________．

16. （2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是________．

三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形．
18. （6分）（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，平分，求的长．
19. （6分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于 AD长为半径做弧，交 于点B,AB∥CD.
（1）求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积.
20. （8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．
21. （8分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
22. （8分）（ 2025·黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA，OA的长是一元二次方程x2﹣3x﹣18＝0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P．动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求点P坐标；
（2）连接MN、PM，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式；
（3）当t＝3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23. （10分）如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．
(1)求证:△AEH≌△AGH；
(2)当AB=12，BE=4时：
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
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