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湖南省名校联考联合体2025届高考考前仿真联考(三)数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·湖南模拟）已知集合，B=，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：C．
【分析】本题考查集合交集的概念，即求同时属于集合A和集合B的元素组成的集合，解题思路是逐一判断集合A中的元素是否满足集合B的条件，满足的元素构成交集.
2．（2025·湖南模拟）若（a，，i为虚数单位），则的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，，得，，所以．
故答案为：A．
【分析】先利用复数的乘法法则将等式右边的展开，然后根据复数相等的条件（实部与实部相等，虚部与虚部相等 ），列出关于和的方程组，最后解方程组求出和的值，进而计算.
3．（2025·湖南模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为．
故答案为：D．
【分析】先通过诱导公式把转化为 ，再利用二倍角公式将转化为 ，最后用二倍角的余弦公式展开计算.
4．（2025·湖南模拟）在中，点是线段上一点，若，，则实数（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以．
故答案为：D．
【分析】本题考查向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，解题思路是将用和线性表示，再与已知条件对比，求出的值.
5．（2025·湖南模拟）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即．
所以当时，成立，所以p是q的充分条件，
反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】要判断是的什么条件，需先明确曲线是焦点在轴上的椭圆时的取值范围（即成立的充要条件 ），再对比中的范围与该充要条件的关系，若能推出，且不能推出，则是的充分不必要条件；反之同理.
6．（2025·湖南模拟）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（　　）
A．65 B．17 C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，又，所以，
由余弦定理得，，所以．
故答案为：C．
【分析】本题需要先利用三角形面积公式求出边c，再通过余弦定理计算边a，解题关键在于熟练运用面积公式和余弦定理，根据已知条件逐步推导.
7．（2025·湖南模拟）的展开式中的常数项是（　　）
A．12 B．8 C． D．
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的通项公式为，
当时，．当时，，
故的展开式中常数项的值为．
故答案为：B．
【分析】要确定展开式的常数项，需先利用二项式定理求出展开式的通项，再分析与分别和展开式中哪些项相乘能得到常数项，最后计算常数项的值.
8．（2025·湖南模拟）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（　　）
A． B． C．1 D．e
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：设直线与的切点为
对求导，根据求导公式，得
由导数几何意义，切线斜率
又因为切点在切线上，代入得： ，把代入，化简后可求出，进而得 ，设直线（此时 ）与的切点为
对求导，根据求导公式，得
由导数几何意义，切线斜率①
又因为切点在切线上，代入得： ，化简得②
联立①②，把①中代入②，得，解得
把代入①，，解得
综上，实数的值为.
故答案为：B.
【分析】本题要解决直线是两条曲线公切线时求参数 的值，利用导数的几何意义，即曲线在切点处的导数等于切线斜率，同时切点既在曲线上又在切线上，分别对两条曲线设出切点，结合这些条件列方程求解.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2025·湖南模拟）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的振幅为
C．函数在区间上单调递增
D．若函数在区间上恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为，A正确；
B、函数的振幅为2，B错误；
C、因为，所以，所以函数在区间上单调递增，C正确；
D、若函数在区间上恰有两个不同的零点，
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，
令，∵，∴，
作出的图象与直线，如图，
由图知，当时，的图象与直线有两个交点，
所以实数a的取值范围为，D正确．
故答案为：ACD．
【分析】、利用正弦函数在对称轴处取得最值的性质，判断是否为对称轴.
、依据振幅的定义（正弦函数中为振幅 ）判断.
、通过整体代换，将看作一个整体，结合正弦函数单调递增区间求解的范围，判断单调性.
、将函数的零点问题转化为与的交点问题，通过换元法结合正弦函数图象确定的取值范围.
10．（2025·湖南模拟）已知动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线C的轨迹方程为
B．曲线C的图象关于y轴对称
C．若点在曲线C上，则
D．曲线C上的点到直线的距离的最大值为12
【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式；与直线有关的动点轨迹方程；曲线与方程
【解析】【解答】解：A、因为曲线C上的点到定点的距离与到定直线的距离之和为4，
则，即，A正确；
B、整理得或，
所以可作出曲线C的图象如图所示：
所以曲线C的图象关于y轴对称，B正确；
C、当时，由，得，
当时，由，得，
所以当点在曲线C上时，，C错误；
D、因为函数过点，且，所以，
所以函数在点处的切线方程为即，
所以该切线与直线即平行，
所以曲线C上的点到直线距离最大为，D正确．
故答案为：ABD．
【分析】、利用距离公式，根据已知条件列出等式，推导曲线的轨迹方程.
、将轨迹方程按的范围分类化简，分析方程是否关于轴对称（即换为方程不变 ）.
、分和两种情况，求解轨迹方程中的取值范围，判断选项表述是否准确.
、找到曲线上与直线平行的切线点，结合点到直线距离公式，计算最大距离.
11．（2025·湖南模拟）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．函数的最小值为
C．为R上的增函数
D．关于x的不等式的解集为
【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：A、令，则，而，解得，A正确；
B、令，则，，假设存在使得，
对任意实数x，有，
此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误；
C、由，得，
，且，则，又当时，，则，
又恒成立，因此
，
即，因此为R上的增函数，C正确；
D、，则，
，不等式
，令，由，即，
解得或，即或，而为R上的增函数，，
于是或，不等式的解集为，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】、通过对、赋特殊值（如 ），代入已知等式求解.
、假设存在使，推导是否与已知条件（如 ）矛盾，判断最值.
、利用已知等式变形，结合单调性定义（设，证明 ）证明函数为增函数.
、先根据已知等式求出，再将不等式变形，结合函数单调性求解解集.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025·湖南模拟）甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】方法一：解：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，
则，，
所以目标至少被击中1次的概率
；
方法二：解：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，
则，，，，
所以目标没有被击中的概率为，
目标至少被击中1次的概率为.
故答案为：.
【分析】本题要计算目标至少被击中 1 次的概率，有两种思路：一是利用概率的加法公式，考虑 “甲击中且乙不击中”“甲不击中且乙击中”“甲和乙都击中” 这几种情况概率之和；二是利用对立事件，先求 “目标都不被击中” 的概率，再用 1 减去该概率得到结果，通过这两种方法可求解出目标至少被击中 1 次的概率 .
13．（2025·湖南模拟）已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又，所以．
故答案为：.
【分析】先利用周期函数的性质，将转化到这个已知解析式的区间内，再代入解析式计算.
14．（2025·湖南模拟）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】球内接多面体；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：因为平面，平面，所以，，
因为，又，所以平面，
又平面，所以，
易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，
即AD为球O的直径，设，因为，，
所以，，因为，，
所以中，，．
以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，设，，
由题可知，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面与平面的夹角为．
因为
，
令，则，，，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
此时即取得最大值．
故答案为：.
【分析】本题求解两个平面夹角余弦值的最大值，核心思路是通过建立空间直角坐标系，利用向量法来处理，先合理设定坐标系，确定相关点坐标，再求出两个平面的法向量，最后依据向量夹角公式结合最值求解方法（如基本不等式 ）得出结果.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2025·湖南模拟）中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表：
技艺展示量x（单位：个） 21 23 24 27 29 32
市场消费收入y（单位：万元） 6 11 20 27 57 77
（1）若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好．
附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数
参考数据：，，，
线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）．
【答案】（1）解：由题意，则，
，
，，
y关于x的线性回归方程为．
（2）解：对于线性回归模型，，，
决定系数为，
因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】本题围绕非遗展示量与消费收入的回归分析展开，分线性和非线性两种模型：
（1）要得到，需先算出、的均值、，再依据最小二乘法公式，用已知的和求出，最后代入算出 .
（2）根据决定系数的公式，先算出线性回归模型的，再和非线性回归模型的对比，越接近，模型对数据的拟合效果越好 .
（1）由题意，则，
，
，，
y关于x的线性回归方程为．
（2）对于线性回归模型，，，
决定系数为，
因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好．
16．（2025·湖南模拟）如图，在长方体中，，点E是棱的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线与平面BDE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．
则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．
（2）解法一：解：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则点，，，，
则，，，
设平面BDE的法向量为，
则得，
令，得平面BDE的一个法向量为，
设直线与平面BDE所成角的大小为，则，
故直线与平面BDE所成角的正弦值是．
解法二：解：（几何法）
设直线与平面BDE所成角为，则，
其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．
设，过C作于点H，则平面BDE，所以．
在中，易求得，又，∴．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用长方体中对角线交点性质，找到与平行的线段，依据线面平行判定定理（若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行 ）来证明.
（2）向量法：通过建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，再利用线面角与向量夹角的关系（线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值 ）计算.
几何法：通过作垂线找到直线与平面所成角的平面角，结合长方体棱长关系，在直角三角形中计算线面角的正弦值 .
（1）证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．
则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．
（2）解法一：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则点，，，，
则，，，
设平面BDE的法向量为，
则得，
令，得平面BDE的一个法向量为，
设直线与平面BDE所成角的大小为，则，
故直线与平面BDE所成角的正弦值是．
解法二：（几何法）
设直线与平面BDE所成角为，则，
其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．
设，过C作于点H，则平面BDE，所以．
在中，易求得，又，∴．
17．（2025·湖南模拟）已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若为函数的极值点，求a的值；
（3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围．
【答案】（1）解：的定义域为，，
令，得，故函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故实数a的取值范围是．
（2）解：令，得；令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．
（3）解：由（1）知：当时，函数有最小值，
若，则，
又因为对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，则在上单调递增，
故的最小值为，
解得，故；
当，即时，则在上单调递减，
故的最小值为，解得，故；
当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，解得或．
故或，
综上所述，实数b的取值范围是．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）要确定在上单调递增时的范围，需先求的导数，找到其单调递增区间，再结合已知区间建立不等式求解.
（2）已知是极值点，通过求导得出函数单调性，根据极值点与单调区间的关系列方程求.
（3）当时，先求出的最小值，再将问题转化为在上的最小值小于等于的最小值，对的对称轴位置分类讨论，求出的取值范围.
（1）的定义域为，，
令，得，故函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故实数a的取值范围是．
（2）令，得；令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．
（3）由（1）知：当时，函数有最小值，
若，则，
又因为对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，则在上单调递增，
故的最小值为，
解得，故；
当，即时，则在上单调递减，
故的最小值为，解得，故；
当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，解得或．
故或，
综上所述，实数b的取值范围是．
18．（2025·湖南模拟）已知非零等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和；
（3）在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，因为，
由，得，
当时，由，得，
得，得．
所以，所以．
（2）解：因为是和的等差中项，所以，又，
所以，得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即；
令，可知，
因为，
所以，
两式相减得，
所以．
（3）证明：由（2）可得，由于，
所以．
因为，所以，
当时，，
综上，成立．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列与等比数列的综合；反证法与放缩法；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合已知条件，通过代入的值（如 ）建立方程，求解首项和公差，进而得到通项公式.
（2）先根据等差中项条件推出是等比数列，求出，进而确定的表达式，最后用错位相减法求前项和.
（3）通过对进行放缩（大于一个等比数列通项、小于另一个等比数列通项 ），再分别对放缩后的数列求和，从而证明不等式.
（1）设等差数列的公差为d，因为，
由，得，
当时，由，得，
得，得．
所以，所以．
（2）因为是和的等差中项，所以，又，
所以，得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即；
令，可知，
因为，
所以，
两式相减得，
所以．
（3）由（2）可得，由于，
所以．
因为，所以，
当时，，
综上，成立．
19．（2025·湖南模拟）已知双曲线的左、右顶点分别是，，点在双曲线上，且直线，的斜率之积为1．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点G是圆上的动点，若K是双曲线左支上一动点，求的最小值；
（3）已知两平行直线和，直线过点交双曲线的右支于A，B两点，直线过点交双曲线的右支于C，D两点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N．求四边形PMQN面积的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得，，
则直线的斜率，直线的斜率．
因为直线，的斜率之积为1，所以，解得．
因为点在双曲线上，所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
（2）解：设点G所在圆的圆心为H，则，
由双曲线的定义可得，，
所以，因为，
所以当K，G，三点共线且K位于点G和之间时，取得最小值，
又因为的最小值为，所以的最小值是.
（3）解：由题意可知直线和直线斜率若存在，则斜率大于1或小于，且双曲线的渐近线方程为，故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立，得，则，
设，，则，，
故，
因为P是AB的中点，所以，即，
同理可得，
所以P到双曲线的两渐近线的距离分别为，
，
Q到双曲线的两渐近线的距离分别为，
，
由上知双曲线的两渐近线垂直，故四边形OMQN是矩形，连接OP，
则四边形PMQN面积为
，
因为，所以，所以，
所以四边形PMQN面积的取值范围为.
【知识点】斜率的计算公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用双曲线顶点坐标，，结合直线、斜率之积为建立方程求，再将点代入双曲线方程求，进而得到标准方程.
（2）依据双曲线定义转化，结合三角形三边关系（ ），再利用圆的性质（最小值为圆心到距离减半径 ）求解.
（3）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理求出中点、坐标，再根据点到直线距离公式求出、到渐近线的距离，进而得到四边形面积表达式，结合的范围确定面积取值范围.
（1）由题意可得，，
则直线的斜率，直线的斜率．
因为直线，的斜率之积为1，所以，解得．
因为点在双曲线上，所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
（2）设点G所在圆的圆心为H，则，
由双曲线的定义可得，，
所以，因为，
所以当K，G，三点共线且K位于点G和之间时，取得最小值，
又因为的最小值为，所以的最小值是．
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在，则斜率大于1或小于，且双曲线的渐近线方程为，故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立，得，则，
设，，则，，
故，
因为P是AB的中点，所以，即，
同理可得，
所以P到双曲线的两渐近线的距离分别为，
，
Q到双曲线的两渐近线的距离分别为，
，
由上知双曲线的两渐近线垂直，故四边形OMQN是矩形，连接OP，
则四边形PMQN面积为
，
因为，所以，所以，
所以四边形PMQN面积的取值范围为．
1 / 1湖南省名校联考联合体2025届高考考前仿真联考(三)数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·湖南模拟）已知集合，B=，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·湖南模拟）若（a，，i为虚数单位），则的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
3．（2025·湖南模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南模拟）在中，点是线段上一点，若，，则实数（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·湖南模拟）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025·湖南模拟）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（　　）
A．65 B．17 C． D．
7．（2025·湖南模拟）的展开式中的常数项是（　　）
A．12 B．8 C． D．
8．（2025·湖南模拟）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（　　）
A． B． C．1 D．e
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2025·湖南模拟）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的振幅为
C．函数在区间上单调递增
D．若函数在区间上恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为
10．（2025·湖南模拟）已知动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线C的轨迹方程为
B．曲线C的图象关于y轴对称
C．若点在曲线C上，则
D．曲线C上的点到直线的距离的最大值为12
11．（2025·湖南模拟）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．函数的最小值为
C．为R上的增函数
D．关于x的不等式的解集为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025·湖南模拟）甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为　 　．
13．（2025·湖南模拟）已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为　 　．
14．（2025·湖南模拟）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为　 　．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2025·湖南模拟）中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表：
技艺展示量x（单位：个） 21 23 24 27 29 32
市场消费收入y（单位：万元） 6 11 20 27 57 77
（1）若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好．
附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数
参考数据：，，，
线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）．
16．（2025·湖南模拟）如图，在长方体中，，点E是棱的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线与平面BDE所成角的正弦值．
17．（2025·湖南模拟）已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若为函数的极值点，求a的值；
（3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围．
18．（2025·湖南模拟）已知非零等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和；
（3）在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：．
19．（2025·湖南模拟）已知双曲线的左、右顶点分别是，，点在双曲线上，且直线，的斜率之积为1．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点G是圆上的动点，若K是双曲线左支上一动点，求的最小值；
（3）已知两平行直线和，直线过点交双曲线的右支于A，B两点，直线过点交双曲线的右支于C，D两点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N．求四边形PMQN面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：C．
【分析】本题考查集合交集的概念，即求同时属于集合A和集合B的元素组成的集合，解题思路是逐一判断集合A中的元素是否满足集合B的条件，满足的元素构成交集.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，，得，，所以．
故答案为：A．
【分析】先利用复数的乘法法则将等式右边的展开，然后根据复数相等的条件（实部与实部相等，虚部与虚部相等 ），列出关于和的方程组，最后解方程组求出和的值，进而计算.
3．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为．
故答案为：D．
【分析】先通过诱导公式把转化为 ，再利用二倍角公式将转化为 ，最后用二倍角的余弦公式展开计算.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以．
故答案为：D．
【分析】本题考查向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，解题思路是将用和线性表示，再与已知条件对比，求出的值.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即．
所以当时，成立，所以p是q的充分条件，
反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】要判断是的什么条件，需先明确曲线是焦点在轴上的椭圆时的取值范围（即成立的充要条件 ），再对比中的范围与该充要条件的关系，若能推出，且不能推出，则是的充分不必要条件；反之同理.
6．【答案】C
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，又，所以，
由余弦定理得，，所以．
故答案为：C．
【分析】本题需要先利用三角形面积公式求出边c，再通过余弦定理计算边a，解题关键在于熟练运用面积公式和余弦定理，根据已知条件逐步推导.
7．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的通项公式为，
当时，．当时，，
故的展开式中常数项的值为．
故答案为：B．
【分析】要确定展开式的常数项，需先利用二项式定理求出展开式的通项，再分析与分别和展开式中哪些项相乘能得到常数项，最后计算常数项的值.
8．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：设直线与的切点为
对求导，根据求导公式，得
由导数几何意义，切线斜率
又因为切点在切线上，代入得： ，把代入，化简后可求出，进而得 ，设直线（此时 ）与的切点为
对求导，根据求导公式，得
由导数几何意义，切线斜率①
又因为切点在切线上，代入得： ，化简得②
联立①②，把①中代入②，得，解得
把代入①，，解得
综上，实数的值为.
故答案为：B.
【分析】本题要解决直线是两条曲线公切线时求参数 的值，利用导数的几何意义，即曲线在切点处的导数等于切线斜率，同时切点既在曲线上又在切线上，分别对两条曲线设出切点，结合这些条件列方程求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为，A正确；
B、函数的振幅为2，B错误；
C、因为，所以，所以函数在区间上单调递增，C正确；
D、若函数在区间上恰有两个不同的零点，
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，
令，∵，∴，
作出的图象与直线，如图，
由图知，当时，的图象与直线有两个交点，
所以实数a的取值范围为，D正确．
故答案为：ACD．
【分析】、利用正弦函数在对称轴处取得最值的性质，判断是否为对称轴.
、依据振幅的定义（正弦函数中为振幅 ）判断.
、通过整体代换，将看作一个整体，结合正弦函数单调递增区间求解的范围，判断单调性.
、将函数的零点问题转化为与的交点问题，通过换元法结合正弦函数图象确定的取值范围.
10．【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；平面内点到直线的距离公式；与直线有关的动点轨迹方程；曲线与方程
【解析】【解答】解：A、因为曲线C上的点到定点的距离与到定直线的距离之和为4，
则，即，A正确；
B、整理得或，
所以可作出曲线C的图象如图所示：
所以曲线C的图象关于y轴对称，B正确；
C、当时，由，得，
当时，由，得，
所以当点在曲线C上时，，C错误；
D、因为函数过点，且，所以，
所以函数在点处的切线方程为即，
所以该切线与直线即平行，
所以曲线C上的点到直线距离最大为，D正确．
故答案为：ABD．
【分析】、利用距离公式，根据已知条件列出等式，推导曲线的轨迹方程.
、将轨迹方程按的范围分类化简，分析方程是否关于轴对称（即换为方程不变 ）.
、分和两种情况，求解轨迹方程中的取值范围，判断选项表述是否准确.
、找到曲线上与直线平行的切线点，结合点到直线距离公式，计算最大距离.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：A、令，则，而，解得，A正确；
B、令，则，，假设存在使得，
对任意实数x，有，
此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误；
C、由，得，
，且，则，又当时，，则，
又恒成立，因此
，
即，因此为R上的增函数，C正确；
D、，则，
，不等式
，令，由，即，
解得或，即或，而为R上的增函数，，
于是或，不等式的解集为，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】、通过对、赋特殊值（如 ），代入已知等式求解.
、假设存在使，推导是否与已知条件（如 ）矛盾，判断最值.
、利用已知等式变形，结合单调性定义（设，证明 ）证明函数为增函数.
、先根据已知等式求出，再将不等式变形，结合函数单调性求解解集.
12．【答案】
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】方法一：解：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，
则，，
所以目标至少被击中1次的概率
；
方法二：解：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，
则，，，，
所以目标没有被击中的概率为，
目标至少被击中1次的概率为.
故答案为：.
【分析】本题要计算目标至少被击中 1 次的概率，有两种思路：一是利用概率的加法公式，考虑 “甲击中且乙不击中”“甲不击中且乙击中”“甲和乙都击中” 这几种情况概率之和；二是利用对立事件，先求 “目标都不被击中” 的概率，再用 1 减去该概率得到结果，通过这两种方法可求解出目标至少被击中 1 次的概率 .
13．【答案】
【知识点】函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又，所以．
故答案为：.
【分析】先利用周期函数的性质，将转化到这个已知解析式的区间内，再代入解析式计算.
14．【答案】
【知识点】球内接多面体；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：因为平面，平面，所以，，
因为，又，所以平面，
又平面，所以，
易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，
即AD为球O的直径，设，因为，，
所以，，因为，，
所以中，，．
以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，设，，
由题可知，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面与平面的夹角为．
因为
，
令，则，，，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
此时即取得最大值．
故答案为：.
【分析】本题求解两个平面夹角余弦值的最大值，核心思路是通过建立空间直角坐标系，利用向量法来处理，先合理设定坐标系，确定相关点坐标，再求出两个平面的法向量，最后依据向量夹角公式结合最值求解方法（如基本不等式 ）得出结果.
15．【答案】（1）解：由题意，则，
，
，，
y关于x的线性回归方程为．
（2）解：对于线性回归模型，，，
决定系数为，
因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】本题围绕非遗展示量与消费收入的回归分析展开，分线性和非线性两种模型：
（1）要得到，需先算出、的均值、，再依据最小二乘法公式，用已知的和求出，最后代入算出 .
（2）根据决定系数的公式，先算出线性回归模型的，再和非线性回归模型的对比，越接近，模型对数据的拟合效果越好 .
（1）由题意，则，
，
，，
y关于x的线性回归方程为．
（2）对于线性回归模型，，，
决定系数为，
因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好．
16．【答案】（1）证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．
则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．
（2）解法一：解：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则点，，，，
则，，，
设平面BDE的法向量为，
则得，
令，得平面BDE的一个法向量为，
设直线与平面BDE所成角的大小为，则，
故直线与平面BDE所成角的正弦值是．
解法二：解：（几何法）
设直线与平面BDE所成角为，则，
其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．
设，过C作于点H，则平面BDE，所以．
在中，易求得，又，∴．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用长方体中对角线交点性质，找到与平行的线段，依据线面平行判定定理（若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行 ）来证明.
（2）向量法：通过建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，再利用线面角与向量夹角的关系（线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值 ）计算.
几何法：通过作垂线找到直线与平面所成角的平面角，结合长方体棱长关系，在直角三角形中计算线面角的正弦值 .
（1）证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．
则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．
（2）解法一：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则点，，，，
则，，，
设平面BDE的法向量为，
则得，
令，得平面BDE的一个法向量为，
设直线与平面BDE所成角的大小为，则，
故直线与平面BDE所成角的正弦值是．
解法二：（几何法）
设直线与平面BDE所成角为，则，
其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．
设，过C作于点H，则平面BDE，所以．
在中，易求得，又，∴．
17．【答案】（1）解：的定义域为，，
令，得，故函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故实数a的取值范围是．
（2）解：令，得；令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．
（3）解：由（1）知：当时，函数有最小值，
若，则，
又因为对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，则在上单调递增，
故的最小值为，
解得，故；
当，即时，则在上单调递减，
故的最小值为，解得，故；
当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，解得或．
故或，
综上所述，实数b的取值范围是．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）要确定在上单调递增时的范围，需先求的导数，找到其单调递增区间，再结合已知区间建立不等式求解.
（2）已知是极值点，通过求导得出函数单调性，根据极值点与单调区间的关系列方程求.
（3）当时，先求出的最小值，再将问题转化为在上的最小值小于等于的最小值，对的对称轴位置分类讨论，求出的取值范围.
（1）的定义域为，，
令，得，故函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故实数a的取值范围是．
（2）令，得；令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．
（3）由（1）知：当时，函数有最小值，
若，则，
又因为对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，则在上单调递增，
故的最小值为，
解得，故；
当，即时，则在上单调递减，
故的最小值为，解得，故；
当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，解得或．
故或，
综上所述，实数b的取值范围是．
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，因为，
由，得，
当时，由，得，
得，得．
所以，所以．
（2）解：因为是和的等差中项，所以，又，
所以，得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即；
令，可知，
因为，
所以，
两式相减得，
所以．
（3）证明：由（2）可得，由于，
所以．
因为，所以，
当时，，
综上，成立．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列与等比数列的综合；反证法与放缩法；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合已知条件，通过代入的值（如 ）建立方程，求解首项和公差，进而得到通项公式.
（2）先根据等差中项条件推出是等比数列，求出，进而确定的表达式，最后用错位相减法求前项和.
（3）通过对进行放缩（大于一个等比数列通项、小于另一个等比数列通项 ），再分别对放缩后的数列求和，从而证明不等式.
（1）设等差数列的公差为d，因为，
由，得，
当时，由，得，
得，得．
所以，所以．
（2）因为是和的等差中项，所以，又，
所以，得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即；
令，可知，
因为，
所以，
两式相减得，
所以．
（3）由（2）可得，由于，
所以．
因为，所以，
当时，，
综上，成立．
19．【答案】（1）解：由题意可得，，
则直线的斜率，直线的斜率．
因为直线，的斜率之积为1，所以，解得．
因为点在双曲线上，所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
（2）解：设点G所在圆的圆心为H，则，
由双曲线的定义可得，，
所以，因为，
所以当K，G，三点共线且K位于点G和之间时，取得最小值，
又因为的最小值为，所以的最小值是.
（3）解：由题意可知直线和直线斜率若存在，则斜率大于1或小于，且双曲线的渐近线方程为，故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立，得，则，
设，，则，，
故，
因为P是AB的中点，所以，即，
同理可得，
所以P到双曲线的两渐近线的距离分别为，
，
Q到双曲线的两渐近线的距离分别为，
，
由上知双曲线的两渐近线垂直，故四边形OMQN是矩形，连接OP，
则四边形PMQN面积为
，
因为，所以，所以，
所以四边形PMQN面积的取值范围为.
【知识点】斜率的计算公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用双曲线顶点坐标，，结合直线、斜率之积为建立方程求，再将点代入双曲线方程求，进而得到标准方程.
（2）依据双曲线定义转化，结合三角形三边关系（ ），再利用圆的性质（最小值为圆心到距离减半径 ）求解.
（3）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理求出中点、坐标，再根据点到直线距离公式求出、到渐近线的距离，进而得到四边形面积表达式，结合的范围确定面积取值范围.
（1）由题意可得，，
则直线的斜率，直线的斜率．
因为直线，的斜率之积为1，所以，解得．
因为点在双曲线上，所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
（2）设点G所在圆的圆心为H，则，
由双曲线的定义可得，，
所以，因为，
所以当K，G，三点共线且K位于点G和之间时，取得最小值，
又因为的最小值为，所以的最小值是．
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在，则斜率大于1或小于，且双曲线的渐近线方程为，故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立，得，则，
设，，则，，
故，
因为P是AB的中点，所以，即，
同理可得，
所以P到双曲线的两渐近线的距离分别为，
，
Q到双曲线的两渐近线的距离分别为，
，
由上知双曲线的两渐近线垂直，故四边形OMQN是矩形，连接OP，
则四边形PMQN面积为
，
因为，所以，所以，
所以四边形PMQN面积的取值范围为．
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