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浙江省杭州市上城区等5地2024-2025学年高二下学期6月期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·滨江期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·滨江期末）设数列的前项和为．若，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．（2025高二下·滨江期末）若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二下·滨江期末）的展开式中第4项的系数是（　　）
A．20 B．15 C．160 D．120
5．（2025高二下·滨江期末）若随机变量服从正态分布，则（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2025高二下·滨江期末）如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高二下·滨江期末）若，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025高二下·滨江期末）已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（　　）
A．6 B．3 C．5 D．8
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
9．（2025高二下·滨江期末）设样本数据，若，则（　　）
A．的平均数等于的平均数 B．的中位数小于的中位数
C．的极差大于的极差 D．的方差小于的方差
10．（2025高二下·滨江期末）已知函数，下列选项正确的有（　　）
A．若，则函数为奇函数
B．若有极小值0，则
C．若有极大值2，则
D．可能在处有极大值
11．（2025高二下·滨江期末）如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线过点，且曲线上任意一点到和的距离满足，则（　　）
A． B．曲线与单位圆有3个交点
C．的最小值为 D．的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·滨江期末）从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有　 　种不同的选法．
13．（2025高二下·滨江期末）准线方程为x=2的抛物线的标准方程是　 　．
14．（2025高二下·滨江期末）定义：平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数．若点的横、纵坐标均为整数，则称点为“整数点”．已知，则方程的“整数点”为　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·滨江期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若函数的零点为，求．
16．（2025高二下·滨江期末）已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）判断方程的解的个数．
17．（2025高二下·滨江期末）在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2025高二下·滨江期末）若无穷正项数列同时满足以下两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质．
（1）若；
（ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由；
（ⅱ）记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由；
（2）某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，证明：数列具有性质．
19．（2025高二下·滨江期末）已知双曲线的两条渐近线为，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点；
（ⅰ）证明：四点共圆；
（ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：集合，所以.
故答案为：A.
【分析】要解决集合的交集问题，需先明确集合A的具体范围，再依据交集的定义（取两个集合中共同元素组成的集合 ），找出集合A与B的公共部分.
2．【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：当时，，
当时，.
故答案为：D.
【分析】本题已知数列首项和前项和与的关系，要通过取特定值（、 ），利用的定义（是前项和，即 ）建立方程，逐步求出、的值.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：若，由线面平行的性质定理可得，充分性成立；
若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立.
所以是的充要条件.
故答案为：C.
【分析】要判断是的什么条件，需分别验证充分性（ ）和必要性（ ），借助线面平行的性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 ）判断充分性；利用线面平行的判定定理（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 ）判断必要性，根据充分性和必要性的成立情况确定条件关系.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：的展开式的第4项系数是.
故答案为：C.
【分析】先明确二项式展开式的通项公式，再根据通项公式找到第4项对应的参数，进而计算出该项的系数.
5．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，可得正态分布的对称轴为，
A、根据正态分布曲线的对称性，可得，A正确；
B、根据正态分布曲线的对称性，可得，B不正确；
C、根据正态分布曲线的对称性，可得，
且，其中，
所以，C不正确；
D、由，
又由
因为，
所以，D错误.
故答案为：A.
【分析】本题围绕正态分布展开，关键利用正态分布曲线关于均值对称的性质，通过分析各选项中概率对应的区间与对称轴的关系，判断概率大小是否相等或符合相应逻辑.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆C的半径为，由题意得，
则圆内阴影部分的面积为．
记，，则；
，故函数的单调递增区间为，
记，则，故函数在上单调递增，
所以函数在上的图象增加的越来越快，
即S在上的图象增加的越来越快，这4个图中只有B选项具有上述特点.
故答案为：B.
【分析】本题要确定阴影部分面积关于的函数图象，关键是先推导的表达式，再分析其导数判断单调性和增长速率，从而匹配对应的图象。思路为：
1. 推导面积公式：利用扇形面积和三角形面积公式，结合圆与直角三角形的相切关系，得出关于的表达式.
2. 分析函数单调性：对对应的函数求导，通过导数的正负判断原函数单调性，再对导数的导数分析，确定原函数增长速率的变化，进而匹配图象.
7．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由，
两边同乘以，可得，
因为，
可得，
即，
即，
可得，即.
故答案为：A.
【分析】本题需要对给定的三角等式进行变形化简，通过三角恒等变换公式，逐步推导得出与选项相关的结论，关键在于利用角的拆分（如 ）和两角和的余弦公式，将等式转化为可判断选项的形式.
8．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，所以的图象关于对称，
又，则的图象关于中心对称，
因为，所以，
所以，即．
所以，即，所以，
所以的周期为8，
由，得，当时，，
为了求的最大值，由周期性不妨求在上的最大值即可，
因为在单调递增，结合的图象关于中心对称，
所以在单调递增，即在单调递增，
则在上的最大值为，
又的图象关于对称且周期为8，所以的图象关于对称，
所以在单调递减，所以在上的最大值为，
根据周期函数的性质可知的最大值是6.
故答案为：A
【分析】本题需先根据函数满足的对称条件，推导函数的对称性、周期性，再结合已知区间的函数表达式求出参数a，接着分析函数在不同区间的单调性，进而求出函数的最大值.核心是利用函数的对称性和周期性，将未知区间的函数性质转化为已知区间的性质来研究.
9．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、样本数据的平均数为，
样本数据的平均数为，
所以的平均数等于的平均数，A正确，
B、由，可得数据的中位数为，
数据的中位数为，此时与不一定相等，B不正确；
C、样本数据的极差为，
样本数据的极差为，
因为，可得，C正确，
D、由于，且数据和的平均数相同，
所以，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题需要分别计算样本数据和的平均数、中位数、极差、方差，然后逐一对比判断选项.核心是依据平均数、中位数、极差、方差的定义和计算公式，结合的条件，分析两个样本数据的统计量差异.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、当时，，则，
则，所以是奇函数，A正确.
B、由题意得，
令，解得或，
当，即时，在上，在上单调递增，
在上，在上单调递减，
在上，在上单调递增，可知在处取得极小值，极小值，B错误.
C、由B可知，当，即时，在处取得极大值，极大值，不符合题意，
当，即时，在上，在上单调递增，在上，在上单调递减，
在上，在上单调递增，可知在处取得极大值，极大值，当时，，C正确.
D、由B、C可知，当或都不在处取极大值，
当时，，易知在R上单调递增，无极大值，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题需对函数的性质（奇偶性、极值 ）进行分析，通过求导判断单调性，结合极值存在条件、奇偶性定义逐一验证选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、曲线过点，此时，A正确；
B、曲线的方程为，联立单位圆，
即，平方得，
即，解得或，
由图可知时，曲线的点为，当时，曲线上有2个点，
所以曲线与单位圆有3个交点，B正确；
CD、设，则，，
在中，，
，即时，取得最小值，
又，所以，即，
是的中点，，
，
，所以的最小值为，最大值为，
即的最小值为，最大值为，C错误，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】本题围绕“鸡蛋”曲线展开，需利用曲线过定点求出的值，再通过分析曲线与单位圆的位置关系、的最值（利用距离公式结合曲线方程，或通过几何意义、函数最值求解 ）来判断选项.
12．【答案】6
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动有种不同方法，
故答案为：6.
【分析】要解决从3人中选2人参加两项活动的选法问题，需分两步：第一步先选出参加活动的2个人，第二步对选出的2个人进行两项活动的分配（即排列 ），利用分步乘法计数原理，将两步的方法数相乘得到总的选法数.核心是区分组合选人和排列分配活动这两个步骤，结合计数原理计算.
13．【答案】y2=﹣8x
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意设抛物线y2=mx，则 ，∴m=﹣8，
∴抛物线的标准方程为y2=﹣8x，
故答案为y2=﹣8x
【分析】根据准线方程，可设抛物线y2=mx，利用准线方程为x=2，即可求得m的值，进而求得抛物线的方程．
14．【答案】
【知识点】函数的概念及其构成要素；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由函数
，
由，即，可得，解得，
即方程的“整数点”为.
故答案为：.
【分析】要找到方程的“整数点”，需先对进行变形化简，利用完全平方的非负性（两个非负数相加为，则每个非负数都为 ）建立方程组，求解出和的整数解.
15．【答案】（1）解：，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）得，
因为函数的零点为，所以.

【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简可得，再利用整体法即可求的单调递增区间；
（2）利用题意知，再通过“配角”并运用诱导公式即可求解.
（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）得，
因为函数的零点为，所以.
16．【答案】（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）解：由（1）知，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值.
故极小值，无极大值.
（3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值，
又由时，；时，，
函数的图象如图所示，
又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数，
由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解；
当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解；
当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】本题围绕函数展开，包含切线方程求解、极值计算及方程解的个数判断：
（1）先对函数求导，根据导数的几何意义（函数在某点处的导数为该点处切线的斜率 ），结合已知点坐标，利用点斜式求出切线方程.
（2）通过导数判断函数的单调性（导数大于时函数单调递增，导数小于时函数单调递减 ），进而确定极值点，求出极值.
（3）依据函数的单调性和极值，分析函数在定义域内的取值趋势，将方程解的个数转化为两个函数图象交点个数，结合图象进行判断.
（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）解：由（1）知，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值.
（3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值，
又由时，；时，，
函数的图象如图所示，
又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数，
由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解；
当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解；
当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．
17．【答案】（1）证明：因为为中点，
所以，，
即为等边三角形，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知，为三棱锥的高，
，
所以.
（3）解：由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）通过计算边长，利用余弦定理、勾股定理逆定理证明线线垂直，再依据线面垂直判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线，则垂直于该平面 ）证明.
（2）利用等体积法，先确定三棱锥的底面积和高，再代入体积公式（为底面积，为高 ）计算.
（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量夹角公式（为线面角，为直线方向向量，为平面法向量 ）计算.
（1）因为为中点，
所以，，
即为等边三角形，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知，为三棱锥的高，
，
所以；
（3）由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）（ⅰ）解：不具有，具有，理由如下，
假设存在，使得，
则有，因为，所以数列不具有性质；
因为，且为单调递减数列，所以数列具有性质.
（ⅱ）解：具有，理由如下，
数列具有性质，
两式作差得：
，
所以数列满足条件①；因为，
所以为单调递增数列，满足条件②，所以数列具有性质.
（2）证明：因为，
记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为，
，
，
可得，故随着的增大而增大，
所以数列具有性质．
【知识点】数列的函数特性；数列的应用；二项分布；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）（i）根据性质的两个条件（有界性、单调性 ），分别分析（等差数列 ）和（等比数列 ）的单调性与有界性.
（ii）先通过错位相减法求的范围（验证有界性 ），再分析的单调性，结合性质的条件判断.
（2）利用二项式定理，通过构造奇数项和与偶数项和，求出的表达式，进而分析其有界性和单调性.
（1）解：（ⅰ）假设存在，使得，
则有，因为，所以数列不具有性质；
因为，且为单调递减数列，所以数列具有性质；
（ⅱ）数列具有性质，
两式作差得：
，
所以数列满足条件①；
因为，
所以为单调递增数列，满足条件②，所以数列具有性质；
（2）解：因为，
记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为，
，
，
可得，故随着的增大而增大，
所以数列具有性质．
19．【答案】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即，
又由双曲线经过点，可得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）证明：由题意得，过点的切线方程为，即，
又由，则过三点的圆的圆心为，
因为，即，
所以，
又，
即，所以四点共圆．
（ⅱ）解：方法一：切线的垂线方程为，
令切线交轴于点的角平分线交切线于点，
由角平分线定理得：，
所以，代入坐标得，
故的角平分线方程为，
设点，联立方程组 ，可得，
所以点的轨迹方程为．
方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心，
设圆与延长线、延长线的切点分别为，点，
则
，即，
又由切线的垂线方程为，
代入得，所以，所以点的轨迹方程为．
【知识点】轨迹方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】本题围绕双曲线展开，涵盖方程求解、四点共圆证明及轨迹方程推导，需综合运用双曲线性质、圆的判定、角平分线与轨迹的关系等知识：
（1）求双曲线的方程：利用双曲线渐近线斜率与、的关系，结合双曲线过定点，联立方程求解、.
（2）（i）证明四点共圆：先求出点坐标，确定过三点圆的圆心，通过计算圆心到各点距离，证明到圆心距离等于半径，从而证四点共圆.
（ii）求点的轨迹方程：可通过角平分线定理结合直线方程联立（方法一），或利用双曲线光学性质及旁心性质（方法二），将点坐标与点坐标关联，推导轨迹方程.
（1）解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即，
又由双曲线经过点，可得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）解：（ⅰ）由题意得，过点的切线方程为，即，
又由，则过三点的圆的圆心为，
因为，即，
所以，
又，
即，所以四点共圆．
（ⅱ）方法一：切线的垂线方程为，
令切线交轴于点的角平分线交切线于点，
由角平分线定理得：，
所以，代入坐标得，
故的角平分线方程为，
设点，联立方程组 ，可得，
所以点的轨迹方程为．
方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心，
设圆与延长线、延长线的切点分别为，点，
则
，即，
又由切线的垂线方程为，
代入得，所以，所以点的轨迹方程为．
1 / 1浙江省杭州市上城区等5地2024-2025学年高二下学期6月期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·滨江期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：集合，所以.
故答案为：A.
【分析】要解决集合的交集问题，需先明确集合A的具体范围，再依据交集的定义（取两个集合中共同元素组成的集合 ），找出集合A与B的公共部分.
2．（2025高二下·滨江期末）设数列的前项和为．若，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：当时，，
当时，.
故答案为：D.
【分析】本题已知数列首项和前项和与的关系，要通过取特定值（、 ），利用的定义（是前项和，即 ）建立方程，逐步求出、的值.
3．（2025高二下·滨江期末）若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：若，由线面平行的性质定理可得，充分性成立；
若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立.
所以是的充要条件.
故答案为：C.
【分析】要判断是的什么条件，需分别验证充分性（ ）和必要性（ ），借助线面平行的性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 ）判断充分性；利用线面平行的判定定理（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 ）判断必要性，根据充分性和必要性的成立情况确定条件关系.
4．（2025高二下·滨江期末）的展开式中第4项的系数是（　　）
A．20 B．15 C．160 D．120
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：的展开式的第4项系数是.
故答案为：C.
【分析】先明确二项式展开式的通项公式，再根据通项公式找到第4项对应的参数，进而计算出该项的系数.
5．（2025高二下·滨江期末）若随机变量服从正态分布，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，可得正态分布的对称轴为，
A、根据正态分布曲线的对称性，可得，A正确；
B、根据正态分布曲线的对称性，可得，B不正确；
C、根据正态分布曲线的对称性，可得，
且，其中，
所以，C不正确；
D、由，
又由
因为，
所以，D错误.
故答案为：A.
【分析】本题围绕正态分布展开，关键利用正态分布曲线关于均值对称的性质，通过分析各选项中概率对应的区间与对称轴的关系，判断概率大小是否相等或符合相应逻辑.
6．（2025高二下·滨江期末）如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆C的半径为，由题意得，
则圆内阴影部分的面积为．
记，，则；
，故函数的单调递增区间为，
记，则，故函数在上单调递增，
所以函数在上的图象增加的越来越快，
即S在上的图象增加的越来越快，这4个图中只有B选项具有上述特点.
故答案为：B.
【分析】本题要确定阴影部分面积关于的函数图象，关键是先推导的表达式，再分析其导数判断单调性和增长速率，从而匹配对应的图象。思路为：
1. 推导面积公式：利用扇形面积和三角形面积公式，结合圆与直角三角形的相切关系，得出关于的表达式.
2. 分析函数单调性：对对应的函数求导，通过导数的正负判断原函数单调性，再对导数的导数分析，确定原函数增长速率的变化，进而匹配图象.
7．（2025高二下·滨江期末）若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由，
两边同乘以，可得，
因为，
可得，
即，
即，
可得，即.
故答案为：A.
【分析】本题需要对给定的三角等式进行变形化简，通过三角恒等变换公式，逐步推导得出与选项相关的结论，关键在于利用角的拆分（如 ）和两角和的余弦公式，将等式转化为可判断选项的形式.
8．（2025高二下·滨江期末）已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（　　）
A．6 B．3 C．5 D．8
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，所以的图象关于对称，
又，则的图象关于中心对称，
因为，所以，
所以，即．
所以，即，所以，
所以的周期为8，
由，得，当时，，
为了求的最大值，由周期性不妨求在上的最大值即可，
因为在单调递增，结合的图象关于中心对称，
所以在单调递增，即在单调递增，
则在上的最大值为，
又的图象关于对称且周期为8，所以的图象关于对称，
所以在单调递减，所以在上的最大值为，
根据周期函数的性质可知的最大值是6.
故答案为：A
【分析】本题需先根据函数满足的对称条件，推导函数的对称性、周期性，再结合已知区间的函数表达式求出参数a，接着分析函数在不同区间的单调性，进而求出函数的最大值.核心是利用函数的对称性和周期性，将未知区间的函数性质转化为已知区间的性质来研究.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
9．（2025高二下·滨江期末）设样本数据，若，则（　　）
A．的平均数等于的平均数 B．的中位数小于的中位数
C．的极差大于的极差 D．的方差小于的方差
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、样本数据的平均数为，
样本数据的平均数为，
所以的平均数等于的平均数，A正确，
B、由，可得数据的中位数为，
数据的中位数为，此时与不一定相等，B不正确；
C、样本数据的极差为，
样本数据的极差为，
因为，可得，C正确，
D、由于，且数据和的平均数相同，
所以，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题需要分别计算样本数据和的平均数、中位数、极差、方差，然后逐一对比判断选项.核心是依据平均数、中位数、极差、方差的定义和计算公式，结合的条件，分析两个样本数据的统计量差异.
10．（2025高二下·滨江期末）已知函数，下列选项正确的有（　　）
A．若，则函数为奇函数
B．若有极小值0，则
C．若有极大值2，则
D．可能在处有极大值
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、当时，，则，
则，所以是奇函数，A正确.
B、由题意得，
令，解得或，
当，即时，在上，在上单调递增，
在上，在上单调递减，
在上，在上单调递增，可知在处取得极小值，极小值，B错误.
C、由B可知，当，即时，在处取得极大值，极大值，不符合题意，
当，即时，在上，在上单调递增，在上，在上单调递减，
在上，在上单调递增，可知在处取得极大值，极大值，当时，，C正确.
D、由B、C可知，当或都不在处取极大值，
当时，，易知在R上单调递增，无极大值，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题需对函数的性质（奇偶性、极值 ）进行分析，通过求导判断单调性，结合极值存在条件、奇偶性定义逐一验证选项.
11．（2025高二下·滨江期末）如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线过点，且曲线上任意一点到和的距离满足，则（　　）
A． B．曲线与单位圆有3个交点
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、曲线过点，此时，A正确；
B、曲线的方程为，联立单位圆，
即，平方得，
即，解得或，
由图可知时，曲线的点为，当时，曲线上有2个点，
所以曲线与单位圆有3个交点，B正确；
CD、设，则，，
在中，，
，即时，取得最小值，
又，所以，即，
是的中点，，
，
，所以的最小值为，最大值为，
即的最小值为，最大值为，C错误，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】本题围绕“鸡蛋”曲线展开，需利用曲线过定点求出的值，再通过分析曲线与单位圆的位置关系、的最值（利用距离公式结合曲线方程，或通过几何意义、函数最值求解 ）来判断选项.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·滨江期末）从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有　 　种不同的选法．
【答案】6
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动有种不同方法，
故答案为：6.
【分析】要解决从3人中选2人参加两项活动的选法问题，需分两步：第一步先选出参加活动的2个人，第二步对选出的2个人进行两项活动的分配（即排列 ），利用分步乘法计数原理，将两步的方法数相乘得到总的选法数.核心是区分组合选人和排列分配活动这两个步骤，结合计数原理计算.
13．（2025高二下·滨江期末）准线方程为x=2的抛物线的标准方程是　 　．
【答案】y2=﹣8x
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意设抛物线y2=mx，则 ，∴m=﹣8，
∴抛物线的标准方程为y2=﹣8x，
故答案为y2=﹣8x
【分析】根据准线方程，可设抛物线y2=mx，利用准线方程为x=2，即可求得m的值，进而求得抛物线的方程．
14．（2025高二下·滨江期末）定义：平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数．若点的横、纵坐标均为整数，则称点为“整数点”．已知，则方程的“整数点”为　 　．
【答案】
【知识点】函数的概念及其构成要素；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由函数
，
由，即，可得，解得，
即方程的“整数点”为.
故答案为：.
【分析】要找到方程的“整数点”，需先对进行变形化简，利用完全平方的非负性（两个非负数相加为，则每个非负数都为 ）建立方程组，求解出和的整数解.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·滨江期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若函数的零点为，求．
【答案】（1）解：，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）得，
因为函数的零点为，所以.

【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简可得，再利用整体法即可求的单调递增区间；
（2）利用题意知，再通过“配角”并运用诱导公式即可求解.
（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）得，
因为函数的零点为，所以.
16．（2025高二下·滨江期末）已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）判断方程的解的个数．
【答案】（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）解：由（1）知，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值.
故极小值，无极大值.
（3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值，
又由时，；时，，
函数的图象如图所示，
又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数，
由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解；
当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解；
当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】本题围绕函数展开，包含切线方程求解、极值计算及方程解的个数判断：
（1）先对函数求导，根据导数的几何意义（函数在某点处的导数为该点处切线的斜率 ），结合已知点坐标，利用点斜式求出切线方程.
（2）通过导数判断函数的单调性（导数大于时函数单调递增，导数小于时函数单调递减 ），进而确定极值点，求出极值.
（3）依据函数的单调性和极值，分析函数在定义域内的取值趋势，将方程解的个数转化为两个函数图象交点个数，结合图象进行判断.
（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）解：由（1）知，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值.
（3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值，
又由时，；时，，
函数的图象如图所示，
又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数，
由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解；
当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解；
当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．
17．（2025高二下·滨江期末）在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为为中点，
所以，，
即为等边三角形，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知，为三棱锥的高，
，
所以.
（3）解：由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）通过计算边长，利用余弦定理、勾股定理逆定理证明线线垂直，再依据线面垂直判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线，则垂直于该平面 ）证明.
（2）利用等体积法，先确定三棱锥的底面积和高，再代入体积公式（为底面积，为高 ）计算.
（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量夹角公式（为线面角，为直线方向向量，为平面法向量 ）计算.
（1）因为为中点，
所以，，
即为等边三角形，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知，为三棱锥的高，
，
所以；
（3）由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．（2025高二下·滨江期末）若无穷正项数列同时满足以下两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质．
（1）若；
（ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由；
（ⅱ）记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由；
（2）某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，证明：数列具有性质．
【答案】（1）（ⅰ）解：不具有，具有，理由如下，
假设存在，使得，
则有，因为，所以数列不具有性质；
因为，且为单调递减数列，所以数列具有性质.
（ⅱ）解：具有，理由如下，
数列具有性质，
两式作差得：
，
所以数列满足条件①；因为，
所以为单调递增数列，满足条件②，所以数列具有性质.
（2）证明：因为，
记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为，
，
，
可得，故随着的增大而增大，
所以数列具有性质．
【知识点】数列的函数特性；数列的应用；二项分布；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）（i）根据性质的两个条件（有界性、单调性 ），分别分析（等差数列 ）和（等比数列 ）的单调性与有界性.
（ii）先通过错位相减法求的范围（验证有界性 ），再分析的单调性，结合性质的条件判断.
（2）利用二项式定理，通过构造奇数项和与偶数项和，求出的表达式，进而分析其有界性和单调性.
（1）解：（ⅰ）假设存在，使得，
则有，因为，所以数列不具有性质；
因为，且为单调递减数列，所以数列具有性质；
（ⅱ）数列具有性质，
两式作差得：
，
所以数列满足条件①；
因为，
所以为单调递增数列，满足条件②，所以数列具有性质；
（2）解：因为，
记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为，
，
，
可得，故随着的增大而增大，
所以数列具有性质．
19．（2025高二下·滨江期末）已知双曲线的两条渐近线为，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点；
（ⅰ）证明：四点共圆；
（ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程．
【答案】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即，
又由双曲线经过点，可得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）证明：由题意得，过点的切线方程为，即，
又由，则过三点的圆的圆心为，
因为，即，
所以，
又，
即，所以四点共圆．
（ⅱ）解：方法一：切线的垂线方程为，
令切线交轴于点的角平分线交切线于点，
由角平分线定理得：，
所以，代入坐标得，
故的角平分线方程为，
设点，联立方程组 ，可得，
所以点的轨迹方程为．
方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心，
设圆与延长线、延长线的切点分别为，点，
则
，即，
又由切线的垂线方程为，
代入得，所以，所以点的轨迹方程为．
【知识点】轨迹方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】本题围绕双曲线展开，涵盖方程求解、四点共圆证明及轨迹方程推导，需综合运用双曲线性质、圆的判定、角平分线与轨迹的关系等知识：
（1）求双曲线的方程：利用双曲线渐近线斜率与、的关系，结合双曲线过定点，联立方程求解、.
（2）（i）证明四点共圆：先求出点坐标，确定过三点圆的圆心，通过计算圆心到各点距离，证明到圆心距离等于半径，从而证四点共圆.
（ii）求点的轨迹方程：可通过角平分线定理结合直线方程联立（方法一），或利用双曲线光学性质及旁心性质（方法二），将点坐标与点坐标关联，推导轨迹方程.
（1）解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即，
又由双曲线经过点，可得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）解：（ⅰ）由题意得，过点的切线方程为，即，
又由，则过三点的圆的圆心为，
因为，即，
所以，
又，
即，所以四点共圆．
（ⅱ）方法一：切线的垂线方程为，
令切线交轴于点的角平分线交切线于点，
由角平分线定理得：，
所以，代入坐标得，
故的角平分线方程为，
设点，联立方程组 ，可得，
所以点的轨迹方程为．
方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心，
设圆与延长线、延长线的切点分别为，点，
则
，即，
又由切线的垂线方程为，
代入得，所以，所以点的轨迹方程为．
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