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第26讲 正方形的性质与判定
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中考考点 新课标要求
正方形的有关证明与计算 理解正方形的概念；探索并证明菱形的性质定理及其判定定理；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
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分类研究·深度理解
考点一 正方形
1.正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.正方形的性质：
1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.
2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【补充】
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.
3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.
3.正方形的对称性：
1）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线.
2）正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
4.正方形的判定：
定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形
矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形
菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形
菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形
【典例1】综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
【考点】正方形的性质；展开图折叠成几何体．.
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；空间观念；几何直观；推理能力．
【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）∵A1B1为正方形对角线，
∴∠A1B1C1＝45°，
设每个方格的边长为1，
则AB，
AC＝BC，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠A1B1C1．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，得到△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
【典例2】（2024 广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．10
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质求得四边形MNPQ的边长，从而即可求得四边形MNPQ的面积．
点评
【解答】解：正方形的边长为5，则CD＝5，CF＝2.5，
由勾股定理得，DF＝，
由题意得△DQG∽△DFC，
：．DQ：QG＝CD：CF＝2：1，得
DQ＝2QG＝，
∵E，F，G，H分别为各边中点．
∴DQ＝PQ＝
∴四边形MNPQ的面积＝，
故选：C．
【点评】本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．
【典例3】（2025·安徽）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B．
（1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长；
（2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．
（i）求证：∠CA′F＝45°；
（ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由．
【解答】（1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线，
∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA，
∴BE＝BE，
∴△ABE≌△A'BE（SSS），
∴∠BAE＝∠BA'E＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°，
∴△A'DE是等腰直角三角形，
∴A'D＝A'E＝1，
∴DE，
∴AD＝AE+DE1，
∴AB＝AD＝A'B1；
（2）（i）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC，
∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C，
∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B（180°﹣∠ABA'）（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°；
（ii）解：△A′DG是等腰直角三角形，理由如下：作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N，
∵CN⊥BG，CG＝CB，
∴M为BG的中点，
∵AA′⊥BE，
∴CN∥AF，
∴MN是△ABG的中位线，
∴，
∵∠ABE＝90°﹣∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCN（ASA），
∴，
∵E为AD的中点，AG＝GA′，
∴EG∥A′D，
∴∠DA′G＝∠EGA＝90°，
同理可证△ADA′≌△BAG（ASA），
∴A′D＝AG＝A′G，
∴△A′DG是等腰直角三角形．
专项训练·深度理解
专项训练二十六：正方形的性质与判定
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2024 辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答．
【解答】证明：∵△EBC是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2. （2024 浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　）
A．5 B． C． D．4
【分析】由全等三角形的性质得DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，则EH＝AE﹣AH＝1，而∠DHE＝90°，所以DE＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，
∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE＝90°，
∴DE＝＝＝，
故选：C．
【点评】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，求得DH＝4，EH＝1，并且证明∠DHE＝90°是解题的关键．
3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案.
【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．
∴，在轴上，，
∵，
∴，，
∴，
故选：A
4. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；轴对称的性质；勾股定理．.
【专题】计算题；几何直观．
【答案】A
【分析】要求△BEF的周长，就需要知道三边长，经过观察我们会发现只有BF能求出，BE和EF的长可以是变化的，但是EF＝EC，所以BE+EF＝BE+EC＝BC＝2，进而就可以求出周长．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长是2，
∴BD2，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DC＝DF＝2，EC＝EF，
∴BF＝22，
△BEF的周长＝BF+BE+EF＝BF+BE+EC＝BF+BC＝22+2＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴．
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．
∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），
整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，
所以当x＝6时，y有最大值为4．
故答案为C．
6. （2024 泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】先证明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，进而得到∠DOF＝90°，则由直角三角形的性质可得 ，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，易证明△FBG≌△FBH（SAS），则FH＝FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时，有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出AH＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得，则的最小值为5．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°，
∵点M是DF的中点，
∴，
如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，
∵FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，
∴△FBG≌△FBH（SAS），
∴FH＝FG，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，
∵AG＝2GB，AB＝6，
∴BH＝BG＝2，
∴AH＝8，
在Rt△ADH中，由勾股定理得．
∴的最小值为5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，通过作辅助线可帮助解题．
7. （2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：四边形是边长为6的正方形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
又，
，
设，则，，
，
解得，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
8. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】正方形的性质；勾股定理的应用；三角形中位线定理．.
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段DG长，利用中位线得到MN长即可．
【解答】解：连接DG，EF，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形AEFD是矩形，
∴M是ED的中点，
在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1，
∴BC＝DC＝4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG，
在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，
∴MN是三角形EDG的中位线，
∴MNDG．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
9. （2025·湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图，过G作GH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝AD，∠BCD＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
由对折可得：BC＝BF，CE＝EF，∠BFE＝∠BCE＝90°＝∠DFE，∠FBE＝∠CBE，
∴∠DEF＝∠FDE＝45°，而，
∴DF＝EF＝DE sin45°＝2，
∴，
∴，
∴，
∵∠FBE＝∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD，
∴OG＝HG，
∵BG＝BG，
∴Rt△OBG≌Rt△HBG，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
方法二：设AC与BD交于点O，
∵∠FBE＝∠CBE＝22.5°，∠BOG＝90°，
∴∠OGB＝67.5°＝∠CGE，∠CEG＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠CEG＝∠CGE＝67.5°，
∴CG＝CE＝EF＝2，
故选：B．
10. （ 2025·黑龙江龙东）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN BF＝EC HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【分析】根据题意容易证明△AEB≌△AFB（SAS），从而可得∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，进而可得∠EAH＝∠AHE，从而可得②正确，过点B作BK∥EN，交CD于点K，构造△ABF≌∠BCK（AAS），结合四边形BMNK是平行四边形可得MN＝BK＝AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC﹣△BAF，△AEC﹣△HNC，可得EN BF＝CN AF＝CN AE＝EC HN，从而得出结论③正确，过点F作FP⊥AC，设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，解三角形求出，从而求出 故结论④正确，再判定△CNH不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误．
【解答】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，
在正方形ABCD中，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD，
∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB，
∴△AEB≌△AFB（SAS），
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵EG⊥AF，
∴∠NEC+∠AFE＝90°，
又∵∠BAF+∠AFE＝90°，
∴∠NEC＝∠BAF，
∵BK∥EN，
∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC，
∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE，
设∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，
∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°，
∴∠EAH＝∠AHE，故结论②正确；
∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形，
∵在△ABF和△BCK中，
，
∴△ABF≌∠BCK（AAS），
∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α，
∵BK∥EN，AB∥CD，
∴四边形BMNK是平行四边形，
∴MN＝BK，
∴MN＝AF，故结论①正确，
∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴△NEC﹣△BAF，
∴，
∴EN BF＝CN AF，
∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°，
∴△AEC∽△HNC，
∴，
∴CN AE＝EC HN，
∵AE＝AF，
∴CN AF＝EC HN，
∴EN BF＝EC HN，故结论③正确，
过点F作FP⊥AC，如图2；
设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x，
∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2，
∵
∴AP5，
∴，
故结论④正确，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°，
∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°，
∴△CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形，全等三角形的判定与性质等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为 　　．
【考点】正方形的性质；三角形中位线定理．.
【分析】先证EF∥AD，得出EF是△AOD的中位线，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AD＝BC，
∵∠FEO＝45°，
∴∠FEO＝∠DAC，
∴EF∥AD，
∵点E是OA的中点，
∴点F是OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EFAD，
∴EFBC，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
12. （2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．

【答案】
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【详解】解：的周长为32，
．
为DE的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，O为BD的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键
13. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为 　　．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．.
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】．
【分析】要求△AEF的面积，需要知道AE和EF的边长，先证△CDG≌△DAF（AAS），再证△AFE∽△DFA即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，
∵AF⊥DE，CG⊥DE，
∴∠AFD＝∠CGD＝90°，
∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，
∴∠CDG＝∠DAF，
∴△CDG≌△DAF（AAS），
∴AF＝DG3，DF＝CG＝4，
同理可得∠EAF＝∠ADF，
又∠AFE＝∠AFD，
∴△AFE∽△DFA，
∴，即，
∴EF，
∴S△AEFAE EF．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14. （ 2025·北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为　　 ．
【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，先根据平行线间的距离处处相等得出FN＝BM，继而得出S△ABF＝S△ABM，通过解直角三角形得出，即可求解．
【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠FMC，
∴AB∥FM，
∴FN＝BM，
∵，，
∴S△ABF＝S△ABM，
∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，
∴∠BFC＝90°，，
∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. （2025·浙江模拟）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是 .
【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，且，
设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
同理，即，
∴，
同理，
∴，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
16. （2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】过作，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到，证明，推出为等腰直角三角形，进而得到，进而得到，判断①；延长至点，使，连接，证明，再证明，得到，判断②；设，则：，，将的面积转化为二次函数求最值，判断③；设，得到，在中，由勾股定理，求出的值，判断④即可．
【详解】解：过作，交的延长线于点，则：，
∵正方形，边长为4，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，故①正确；
延长至点，使，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；故②错误；
设，则：，，
∴的面积，
∴当时，的面积最大为2；故③正确；
∵，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴点G是线段的中点；故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，据此可利用证明；
（2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18. （6分）（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°．
19. （6分）（ 2025·福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．
（1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长．
【解答】解：（1）正方形EFGH即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD2，
∴OB＝OD，
∵tan∠ADB，
∴OE，
∵四边形EFGH是正方形，
∴OE＝OH，EO⊥OH，
∴EHOE，
∴正方形EFGH的边长为．
20. （8分）（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接．
(1)求证：．
(2)若四边形的周长为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为6
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．
（1）正方形的性质，得到，，结合，即可证明；
（2）连接交于点O，根据正方形的性质结合中垂线的性质，推出，，由，可得：，根据周长求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可．
【详解】（1）证明：四边形为正方形
，
在和中，
，
；
（2）解：连接交于点O，
四边形为正方形，，
垂直平分，，
，，
由（1）知，
，
四边形的周长为，
在中，
，
；
答：的长为6．
21. （8分）（ 2025·甘肃）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并将明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）BF＝DG，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△EFG是直角三角形，EG＝EF，
∴∠FEG＝90°，
当点E与点A重合时，
则∠FAG＝90°＝∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAF＝90°﹣∠DAF，
又∵AB＝AD，AG＝AF，
∴△ADG≌ABF，
∴BF＝DG；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线交于点P，
∴∠PAE＝∠EDG＝90°，
∴∠P+∠AEP＝90°，
∵∠FEG＝∠DEF+∠DEG＝90°，∠AEP＝∠DEF，
∴∠P＝∠DEG，
∵EG＝EF，EF＝EP，
∴EG＝EP，
在△APE和△DEG中，
，
∴△PAE≌△EDG，
∴AE＝DG；
（3），理由如下：
由（2）可知：△PAE≌△EDG，
∴AE＝DG，AP＝DE，
作FH⊥AB于点H，
则∠FHB＝∠FHA＝90°＝∠PAE，
∴AE∥FH，
∴，
∴PA＝AH，
∵PE＝EF，
∴AE为△PHF 的中位线，
∴HF＝2AE，
∵AP＝DE，PA＝AH，
∴DE＝AH，
又∵AD＝AB，
∴AE＝BH，
在Rt△BHF中，由勾股定理，得：，
∵AE＝DG，
∴．
22. （8分）（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
(2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
【答案】(1)这两条路与等长，且它们相互垂直；
(2)如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析．
【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解；
（）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴这两条路与等长，且它们相互垂直；
（2）解：能修建一条这样的直路，理由如下：
由（）得，，
∵米，米，
∴米，米，米，
∴，
∴，
∴，
又∵在中有，
∴，
∴，
∴，
如果另一端点在路段上，
则在中，，
∴此种情况不成立；
如果另一端点在花园边界上时，
设，则在中，有，
∴，
∴，
∵，
∴能修建成这样的一条直路．
23. （10分）（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点．
【活动猜想】
（1）与的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若，，求的长；
【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小．
【答案】（1）相等，垂直
（2）证明见解析
（3）
（4）
【分析】（1）根据图形进行猜想即可；
（2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明；
（3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解；
（4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可．
【详解】解：（1）相等，垂直；
（2）过点作于，过点作分别交、于、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）在正方形中，由，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
得，
由等面积法得，
即，
∴，
在中，，
由（2）可知，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵正方形中，，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴当最小时，的面积最小，
∴最小时，的面积最小，
∵，
∴当最小时，的面积最小，
由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，
此时如图，点与重合，
则，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
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第26讲 正方形的性质与判定
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
正方形的有关证明与计算 理解正方形的概念；探索并证明菱形的性质定理及其判定定理；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 正方形
1.正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.正方形的性质：
1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.
2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【补充】
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.
3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.
3.正方形的对称性：
1）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线.
2）正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
4.正方形的判定：
定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形
矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形
菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形
菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形
【典例1】综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
【典例2】（2024 广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．10
【典例3】（2025·安徽）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B．
（1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长；
（2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．
（i）求证：∠CA′F＝45°；
（ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由．
专项训练·深度理解
专项训练二十六：正方形的性质与判定
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2024 辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
2. （2024 浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　）
A．5 B． C． D．4
3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　）
A． B． C． D．
5. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. （2024 泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
7. （2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
8. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
9. （2025·湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（　　）
A． B．2 C． D．
10. （ 2025·黑龙江龙东）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN BF＝EC HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为 　　．
12. （2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．

13. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为 　　．
14. （ 2025·北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为　　 ．
15. （2025·浙江模拟）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是 .
16. （2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，据此可利用证明；
（2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
18. （6分）（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
19. （6分）（ 2025·福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．
（1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长．
20. （8分）（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接．
(1)求证：．
(2)若四边形的周长为，求的长．
21. （8分）（ 2025·甘肃）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并将明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．
22. （8分）（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
(2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
23. （10分）（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点．
【活动猜想】
（1）与的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若，，求的长；
【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小．
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