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2024~ 2025学年高二下学期教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B C A D C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 AB BCD ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 0.55 13. 144 14.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.解： 的展开式的通项为
（1）因为第三项的系数是第二项系数的 2 倍
，解得 ，因为 ，所以 …………………………………4 分
（2）由 知展开式共有 10 项，二项式系数最大的项为第 5 项和第 6 项.
由（1）知第 5 项为 ，第 6 项为 ，
所以二项式系数最大的项为 和 ；………………………………………………………8 分
（3）由（1）知展开式中 的系数为 ，所
以展开式中含 项的系数为 219. …………………………………………………………………………13 分
16.解：（1）零假设 ：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异.
因为 ， ………………………………………………3 分
依据小概率值 的 独立性检验，没有充分的理由推断 不成立，
所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异．…………………………………………………5 分
所有数据都扩大 10 倍后：
高二数学试题参考答案 第 1页(共 4 页)
．
依据小概率值 的 独立性检验，可以认为 不成立，即学校与数学成绩有关联……………7 分
结论不一样，主要是因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化.…………………………………9 分
（2）由分层随机抽样可知，抽取的 5 名学生中有 2 名来自乙校．…………………………………10 分
所有可能的取值为 0，1，2，
知 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
故 ．……………………………………………………………………15 分
17.解：因为 ，所以 …………………1 分
（1）因为 过点 ，所以 解得
又因为 ， 在点 处的切线方程为 ，所以 ，
所以 ；………………………………………………………………………………………7 分
（2）因为 ，令 得 ，
①当 即 时，
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数； ………………………………………………………………9 分
②当 即 时， ，
在 上为增函数； …………………………………………………………………………11 分
③当 即 时，
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数； ……………………………………………………………13 分
综上：当 时， 的单调递增区间为 和 ，递减区间为 ；
高二数学试题参考答案 第 2页(共 4 页)
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，递减区间为 .……………………………15 分
18.解：（1）设甲队获得冠军为事件 A，甲如果想获得冠军，每轮比赛都要获胜，
则 ………………………………………………………………………………………………2 分
（2）设甲乙第一轮相遇概率为 ，甲乙第二轮相遇概率为 ，甲乙第三轮相遇概率为 ，
设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组，所以甲乙在第一轮相遇的概率 ……4 分
甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为 ，
同时甲乙在第一轮都要获胜则 .……………………………………………………………7 分
甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为 ，
同时甲乙在第一 二轮都要获胜则 .………………………………………………………10 分
（3）解法一：记比赛的轮次为事件 ，甲乙在比赛过程中相遇的事件为 ，要使甲乙能在第
轮相遇，则甲乙必须得在同一个 区内的不同半区的概率为 ，同时甲乙在前 轮都要获胜，
所以 .
所以甲乙相遇的概率为 .……………………………………15 分
要使得甲乙相遇的概率小于 0.001，即 ，即 ，
又因为 为整数，所以最小的 值为 11. ………………………………………………………………………17 分
解法二：设 名选手参赛，甲乙相遇的概率为 ，则当 时，甲乙一定相遇，此时 .
当 名选手参赛，甲乙相遇的概率为 .考虑将 个选手分成上下两个区，每区 名选手，这时有 2 种
情况，
情形一：乙和甲在同一区，此时甲乙相遇的概率为 ，
情形二：乙和甲不在同一区，两人相遇必须都进入决赛，即前 轮比赛均获胜.
所以 ，
于是 ， ，
累加得 ，所以 .……………………………………15 分
高二数学试题参考答案 第 3页(共 4 页)
要使得甲乙相遇的概率小于 0.001，即 ，即
又因为 为整数，所以 ，所以最小的 值为 11. …………………………………………………17 分
19. （1）因为 所以
令 得 ， 的变化情况列表如下：
增函数 极大值 减函数
所以 ，因为 ，所以 ，
令 得 ， 的变化情况列表如下：
增函数 极大值 减函数
所以 ，
所以由已知得 ，所以 ，即 .……………………………4 分
（2）由题意可知： ，即
所以 即 且 …………………………………………………………………6 分
又因为
设 在 上单调递增，所以 ………………………………………8 分
令 ，
在 上， ， 单调递减，在 上， ， 单调递增，所以
…………………………………………………………………………………10 分
（3） 存在唯一的点对关于 对称，………………………………………………………………11 分
证明：假设存在，设 ，于是
得 ，即 …………………………………………………………14 分
令 ， ， 所 以 在 上 单 调 递 减 ，
，由零点存在定理 ，使得
即存在唯一的点对 关于 对称. ……………………………………………………………………17 分
高二数学试题参考答案 第 4页(共 4 页)保密★启用前
2024—2025 学年高二下学期教学质量检测
数学试题
2025.07
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题
卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
1．
A．10 B．15 C．20 D．25
2．两个正态分布 和
的密度函数图象如图所示，则
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
3．某质点沿直线运动，位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 ，
则物体在 2s 时的瞬时加速度（单位：m/s2）是
A．5 B．10 C．11 D．20
4．已知函数 在(0, +∞)上单调递增，则 a 的取值范围是
A． B． C． D．
5．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，
则两个小孩都是女孩的概率是
A． B． C． D．
6．已知函数 ，则 的大致图象是
A B C D
高二数学试题 第 1页（共 4 页）
7．离散型随机变量 X 的取值为 0，1，2，若 P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，E(X)＝1，
则 D(2X－1)＝
A．-0.2 B．0.6 C．0.8 D．1.6
8．用 1,2,3 组成三位数，数字 最多用 次，其中 ，则满足条件的三位数个数是
A．15 个 B．18 个 C．19 个 D．27 个
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知 ，则
A． 的值为-32
B． 的值为 30
C． 的值为-2
D．
10．下列命题正确的有
A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数 r 越大，则样本的线性相关性越强
B．若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
C．若以 模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得
到线性方程 ，则 a，b 的值分别为 3，4
D．一组成对数据 ，增加一对数据 ，其中 ，
，线性回归方程 不变（其中 ）
11．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 0 出发，每隔 1s 向左或向右移动一个单
位．向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 ，设移动 次后质点位于位置 Xn，则下
列结论正确的有
A．当 ，则
B．当 ，则
C．当 ，该质点共经过两次 3 的概率为
D．当 ， 的期望
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．在数字通信中，信号是由数字 0 和 1 组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号 0
或 1 有可能被错误地接收为 1 或 0．已知发送信号 0 时，接收为 0 和 1 的概率分别为 0.8
和 0.2；发送信号 1 时，接收为 1 和 0 的概率分别为 0.9 和 0.1．假设发送信号 0 和 1 是等
可能的，则接收信号为 1 的概率是________．
13．把 6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多
分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有________种（用数值表示）．
14．已知 是定义域为(0, +∞)的函数，且满足 ， ，则不等式
的解集是________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）已知 的展开式中第三项的系数是第二项系数的 2 倍.
（1）求 n 的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求 的展开式中含 项的系数（结果用数值表示）.
16.（15 分）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取 80 名学
生．通过测试得到了表中数据：
学校 数学成绩 不优秀 优秀 合计
甲校 10 30 40
乙校 20 20 40
合计 30 50 80
（1）依据小概率值α＝0.01 的χ2 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有
差异？如果表中所有数据都扩大为原来的 10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性
检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因；
（2）现从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机
选取 3 人，设这 3 人中来自乙校的人数为 X，求 X 的分布列和期望．
附：① ，其中 .
②临界值表
α 0.1 0.01 0.005
xα 2.706 6.635 7.879
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17.（15 分）已知函数 .
（1）若 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）求 的单调区间.
18.（17 分）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次
即被淘汰出局.现有 8 支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概
率均为 .已知甲、乙两队参赛.
（1）求甲队获得冠军的概率；
（2）求甲、乙在第 轮（其中 ）相遇的概率；
（3）为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于 0.001，组委会计划增加球队支数到
支，对阵图和上图类似，求 n 的最小值.
19.（17 分）已知函数 ， .
（1）若函数 的极大值与 的极大值之和为 ，求 a 的值；
（2）若 ，当 时，求 的最小值；
（3）判断 图象上存在多少组关于点 对称的点对，说明你的结论和理由.
高二数学试题 第 4页（共 4 页）

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