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浙江省瑞安市安阳实验中学2024-2025学年九年级上开学考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2024九上·瑞安开学考）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是，
故答案为：D
【分析】根据题意结合相反数的定义写出的相反数即可求解。
2．（2024九上·瑞安开学考）下列银行图标，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：由中心对称图形的定义：一个平面图形绕一点旋转180°，与原图形完全重合可知，A、B、C、D四个选项中，只有B符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形绕一点旋转180°，与原图形完全重合，这样的图形才是中心对称图形，进行判断即可．
3．（2024九上·瑞安开学考）2024年巴黎奥运会开幕式选择在塞纳河举行．塞纳河包括支流在内的流域总面积为平方公里．其中数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示为：
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2024九上·瑞安开学考）某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示．若九年级学生共有1000人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（　　）
A．350人 B．300人 C．200人 D．150人
【答案】A
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：（人），
故答案为：A．
【分析】根据九年全体学生数乘以选择跳远、游泳、篮球项目组合人数所占的百分比，即可求解．
5．（2024九上·瑞安开学考）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的顶点式的特征，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
6．（2024九上·瑞安开学考）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．、不是同类项不能计算，选项错误不合题意；
B．，选项错误不合题意；
C．不能继续计算，选项错误不合题意；
D．，计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减；二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变；逐项分析即可求解.
7．（2024九上·瑞安开学考）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设这个班有学生人，
由题意得，，
故答案为：B．
【分析】设这个班有学生人，则根据每人分3本，剩余20本可知图书数为本；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，由此列出方程，即可得出答案.
8．（2024九上·瑞安开学考）如图，在中，，，均为的高，连结交于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：为的高，且，
垂直平分线段，
，
为的高，
即，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，先根据题意得到垂直平分线段，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等边对等角得到，再根据求解，即可解题．
9．（2024九上·瑞安开学考）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（　　）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
点在函数的图象上，
又，，
∴，
，
∴，
∴的值可以是1；
故答案为：C．
【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质即可求解．
10．（2024九上·瑞安开学考）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，过点N作，
∵正方形， 正方形，正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
，，
∴，
设则
，
当时，有最小值为．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．过点作于点，根据正方形的四个角都是直角，正方形的四条边都相等得出，，，，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，，设根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用表示，进而求得的最小值．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·瑞安开学考）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
【分析】观察此多项式的特点，没有公因式，符合平方差公式的特点，即可求解。
12．（2024九上·瑞安开学考）甲，乙两位射箭运动员最近5次射击成绩的平均数均为8环，方差分别为：环2，环2，则　 　（填“甲”或“乙”） 的射击成绩更为稳定．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙的射击成绩更为稳定，
故答案为：乙．
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键．根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，求解作答即可．
13．（2024九上·瑞安开学考）不等式组的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
14．（2024九上·瑞安开学考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系列出方程，解方程求出m的值即可．
15．（2024九上·瑞安开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点B，C均在反比例函数图象上，且点B在C的左侧，则B点的横坐标为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，四边形是平行四边形，
∴点A向下平移3个单位、向右平移2个单位可得O点，
∴点B向下平移3个单位、向右平移2个单位可得C点，
设点B坐标为，
∴，
∴，
解并检验得：，（不合题意舍去）
∴点B的横坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，设点B坐标为，由坐标偏移得到，结合点C在反比例函数图象上，代入列出方程，解方程即可得出点B的坐标.
16．（2024九上·瑞安开学考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点A，B关于直线的对称点分别为点E，F，当k为　 　时，直线恰好经过点C．
【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；作图﹣轴对称；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵直线需要恰好经过点C．
∴过点作直线的对称点交于，连接，直线交于点，如图：
∴直线垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，，
∴，，，
∴在中，由勾股定理可得：，
∴，
在，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
将代入中，
∴，
故答案为：3．
【分析】本题考查了矩形与一次函数相结合的综合题，熟练掌握图形对称的性质是解题的关键，根据题目作点关于直线的对称点，连接，直线交于点，利用线段对称的垂直平分的性质可得到，，根据矩形的对应边相等得出，，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出，的长，即可得到的坐标，代入直线即可求出值．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2024九上·瑞安开学考）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查了二次根式性质、绝对值化简、零指数幂以及整式的混合运算运算等知识，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则．
（1）根据二次根式性质、任何不为0的数的0次幂都等于1和负数的绝对值是其相反数的计算法则化简每一项，再进行加减混合运算即可；
（2）利用两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，再进行合并同类项计算即可．
18．（2024九上·瑞安开学考）解方程（组）
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
②①，得，
将代入①式，得，解得，
原方程组的解为.
（2）解：，
，
∴，，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元二次方程的解法，
（1）利用加减消元法直接求解即可；
（2）根据因式分解法解方程即可求解．
（1）解：，
②①，得，
将代入①式，得，解得，
原方程组的解为．
（2）解：，
，
∴，，
∴，．
19．（2024九上·瑞安开学考）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，直角三角形的性质，勾股定理等，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．（1）根据垂直于同一直线的两直线互相平行得出，根据矩形的对边平行且相等得出，，根据两直线平行，内错角相等得出，根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等证明，由全等三角形的对应边相等得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据矩形的对角线相等却互相平分得出，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出，利用三角形面积公式可求出，则可得出答案.
20．（2024九上·瑞安开学考）在学校组织的计算达人比赛中，每班参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为分，分，分，分和分，王老师选取了甲、乙两个班级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分）
　 中位数 众数 方差
甲班
乙班
（1）根据以上信息，求出表中，的值：______，______；
（2）请分别求出甲、乙两个班级计算成绩的平均分；
（3）根据（1）（2）中的统计量，你认为在此次计算比赛中，哪个班级的成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）、
（2）解：甲班成绩的平均分为：分，
乙班成绩的平均分为：分；
（3）解：由表中数据知，甲、乙两班成绩的平均数基本相等，而乙班成绩的中位数大于甲班，方差小于甲班，
所以乙班高分人数多于甲班，且乙班成绩稳定，
所以乙班成绩更好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：甲班人数为：，
甲班成绩的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别、，
所以，
乙班成绩的众数，
故答案为：、；
【分析】（1）利用中位数和众数的定义解答即可；
（2）利用加权平均数公式计算解题；
（3）比较两班的平均数、中位数和众数，然后作决策解题．
（1）解：甲班人数为：
，
甲班成绩的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别、，
所以，乙班成绩的众数，
故答案为：、；
（2）解：甲班成绩的平均分为：
分，
乙班成绩的平均分为：
分；
（3）解：由表中数据知，甲、乙两班成绩的平均数基本相等，而乙班成绩的中位数大于甲班，方差小于甲班，
所以乙班高分人数多于甲班，且乙班成绩稳定，
所以乙班成绩更好．
21．（2024九上·瑞安开学考）如图，在6×5的方格纸中，A，B，C为三个格点，请按要求画出格点四边形．
（1）在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上；
（2）在图2中，连结，，作格点，使．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】本题考查了网格作图，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．（1）根据网格的特征和平行四边形的性质，利用平移的方法确定点D的位置，点B向上平移一格向右平移3格得到点C，故点A向上平移一格向右平移3格得到点D，
（2）取的中点D（格点），取格点E，使，，即可．
（1）解：如图，
（2）解：如图
22．（2024九上·瑞安开学考）已知抛物线经过．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）若是抛物线上不同的两点，且，求n的值；
（3）将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值．
【答案】（1）解：把点代入得，，
解得：；
∴函数解析式为，
∴对称轴为.
（2）解：由（1）得函数解析式为，
把代入得，，
∵
∴
∵是抛物线上不同的两点，
∴关于对称轴的对称，
∴．
∴．
（3）解：由（1）得函数解析式为，
∵此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，
当向左平移时，平移后的解析式为，
∴对称轴为，
当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意；
当，时，当时y随x的增大而增大，
∴当时，有最小值7，即，
解得，（舍去），
综上所述，m的值为5．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，函数的增减性，平移等，解答本题的关键是熟练运用分类讨论思想解决问题．
（1）把点代入，得到二元一次方程组，解方程组即可得到结论；
（2）把代入，解方程得到，于是得到，即可得到结论；
（3）根据平移的性质得出平移后的解析式和对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可求解.
（1）解：把点代入得，
，
解得：；
∴函数解析式为，
∴对称轴为
（2）解：由（1）得函数解析式为，
把代入得，，
∵
∴
∵是抛物线上不同的两点，
∴关于对称轴的对称，
∴．
∴．
（3）解：由（1）得函数解析式为，
∵此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，
当向左平移时，平移后的解析式为，
∴对称轴为，
当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意；
当，时，当时y随x的增大而增大，
∴当时，有最小值7，即，
解得，（舍去），
综上所述，m的值为5．
23．（2024九上·瑞安开学考）曹村灯会于2023年被评为浙江省级非物质文化遗产．为了扩大影响力，曹村镇人民政府准备举办为期1个月左右的花灯会．某商家看准商机，准备购进A，B两款音乐发光灯笼．已知B款灯笼的进价比A款贵6元，该商家用900元购进的A款灯笼和用1080元购进的B款灯笼的数量相同．
（1）求A，B两款灯笼的进价分别为多少元？
（2）该商家计划购进A，B两款灯笼共300个，并将A款灯笼的售价定为35元/个，B款灯笼的售价定为40元/个．设购进A款灯笼x个，售完这两款灯笼可获得利润为w元．
①求w与x的函数关系式；
②受市场影响，A款灯笼进价上调m元（），B款灯笼的进价不变．该商家发现若购进B款灯笼的数量不少于A款数量的时，则销售完这批灯笼至少可获得1110元利润，请求出m的值？
【答案】（1）解：设种类型的灯笼成本为元，种类型的灯笼成本为元．
根据题意，得：，
解并检验得：．
此时．
种类型的灯笼成本为30元，种类型的灯笼成本为36元．
（2）解：①购进种类型灯笼个，则购进种类型灯笼个，
根据题意，得：，
与的函数关系式为．
②根据题意，得，
解得，
受市场影响，A款灯笼进价上调m元（），
故总利润为：，
，
随的增大而减小，
，
∴当时，至少为元，，
解得：，
故．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设种类型的灯笼成本为元，种类型的灯笼成本为元，根据商家用900元购进的A款灯笼和用1080元购进的B款灯笼的数量相同，列出方程，解方程即可求解；
（2）①用A种灯笼利润加B种灯笼利润得出总利润，即可得出与的函数关系式；
②先根据题意列出不等式，得出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出函数的最小值即可.
（1）解：设种类型的灯笼成本为元，种类型的灯笼成本为元．
根据题意，得：，
解并检验得：．
此时．
种类型的灯笼成本为30元，种类型的灯笼成本为36元．
（2）解：①购进种类型灯笼个，则购进种类型灯笼个，
根据题意，得：，
与的函数关系式为．
②根据题意，得，
解得，
受市场影响，A款灯笼进价上调m元（），
故总利润为：，
，
随的增大而减小，
，
∴当时，至少为元，，
解得：，
故．
24．（2024九上·瑞安开学考）如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，且，．过点C的直线，D是直线MN上的一个动点，，交直线于点E．
（1）求证：；
（2）当时，D在x轴的上方且（如图2），求的度数；
（3）当时，点F，G分别在，上，（如图3）．
①试猜想，，的数量关系，并加以证明．
②当，点D正好落在射线上时，求点E到的距离．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴；
（2）解：当时，，，
∴四边形是正方形，
则，
∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，则
∵，
∴，则，
∴，
过点作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
取的中点，连接，则，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：①，理由如下：在轴负半轴上取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则；
②连接，，∵，，，
∴，
∴，则，
∴，，
∴为等边三角形，，
则，
设，则，
∵，
∴，则，
∴，，，
∵，
∴，解得：，
∴，则，
∴为等腰三角形，则，
∵点正好落在射线上，
∴，
过点作轴，过点作，则为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，则，
则，
∴，则，
由（2）可知四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点到的距离．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；四边形的综合
【解析】【分析】本题考查图形与坐标，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．（1）根据等边对等角得出，进而可得，根据等角对等边即可证明结论；
（2）当时，根据有三个角是直角的四边形是正方形得出四边形是正方形，根据正方形的对角线平分对角得出，根据两直线平行，内错角相等得出，根据两组对对边分别平行的四边形是平行四边形和一组邻边相等的平行四边形是菱形得出得出四边形是菱形，根据菱形的四条边都相等得出，结合勾股定理得出，过点作于，则为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，，取的中点，连接，则，根据三条边都相等的三角形是等边三角形得出为等边三角形，根据等边三角形的单个角都是60度得出，结合直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、等边对等角，三角形的外角等于与它不不相邻的两个内角之和即可求得；
（3）①在轴负半轴上取，根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边、对应角相等得出，，推得，根据等角对等边得出，根据有三边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，则；
②连接，，根据有三边对应相等的两个三角形全等得出，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得出为等边三角形，结合勾股定理求出，设，则，可知，，，，列出方程可求得，则，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形得出为等腰三角形，根据三角形内角和定理得出，过点作轴，过点作，则为等腰直角三角形，，易知，根据勾股定理求得，求得，则，由（2）可知四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出，求得，，，即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴；
（2）解：当时，，，
∴四边形是正方形，
则，
∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，则
∵，
∴，则，
∴，
过点作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
取的中点，连接，则，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（3）①，理由如下：
在轴负半轴上取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则；
②连接，，∵，，，
∴，
∴，则，
∴，，
∴为等边三角形，，
则，
设，则，
∵，
∴，则，
∴，，，
∵，
∴，解得：，
∴，则，
∴为等腰三角形，则，
∵点正好落在射线上，
∴，
过点作轴，过点作，则为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，则，
则，
∴，则，
由（2）可知四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点到的距离．
1 / 1浙江省瑞安市安阳实验中学2024-2025学年九年级上开学考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2024九上·瑞安开学考）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·瑞安开学考）下列银行图标，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·瑞安开学考）2024年巴黎奥运会开幕式选择在塞纳河举行．塞纳河包括支流在内的流域总面积为平方公里．其中数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·瑞安开学考）某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示．若九年级学生共有1000人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（　　）
A．350人 B．300人 C．200人 D．150人
5．（2024九上·瑞安开学考）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·瑞安开学考）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·瑞安开学考）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·瑞安开学考）如图，在中，，，均为的高，连结交于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·瑞安开学考）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（　　）
A．2 B． C．1 D．3
10．（2024九上·瑞安开学考）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·瑞安开学考）分解因式： 　 　．
12．（2024九上·瑞安开学考）甲，乙两位射箭运动员最近5次射击成绩的平均数均为8环，方差分别为：环2，环2，则　 　（填“甲”或“乙”） 的射击成绩更为稳定．
13．（2024九上·瑞安开学考）不等式组的解集为　 　．
14．（2024九上·瑞安开学考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
15．（2024九上·瑞安开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点B，C均在反比例函数图象上，且点B在C的左侧，则B点的横坐标为　 　．
16．（2024九上·瑞安开学考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点A，B关于直线的对称点分别为点E，F，当k为　 　时，直线恰好经过点C．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2024九上·瑞安开学考）（1）计算：．
（2）化简：．
18．（2024九上·瑞安开学考）解方程（组）
（1）
（2）
19．（2024九上·瑞安开学考）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求四边形的面积．
20．（2024九上·瑞安开学考）在学校组织的计算达人比赛中，每班参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为分，分，分，分和分，王老师选取了甲、乙两个班级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分）
　 中位数 众数 方差
甲班
乙班
（1）根据以上信息，求出表中，的值：______，______；
（2）请分别求出甲、乙两个班级计算成绩的平均分；
（3）根据（1）（2）中的统计量，你认为在此次计算比赛中，哪个班级的成绩更好？请说明理由．
21．（2024九上·瑞安开学考）如图，在6×5的方格纸中，A，B，C为三个格点，请按要求画出格点四边形．
（1）在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上；
（2）在图2中，连结，，作格点，使．
22．（2024九上·瑞安开学考）已知抛物线经过．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）若是抛物线上不同的两点，且，求n的值；
（3）将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值．
23．（2024九上·瑞安开学考）曹村灯会于2023年被评为浙江省级非物质文化遗产．为了扩大影响力，曹村镇人民政府准备举办为期1个月左右的花灯会．某商家看准商机，准备购进A，B两款音乐发光灯笼．已知B款灯笼的进价比A款贵6元，该商家用900元购进的A款灯笼和用1080元购进的B款灯笼的数量相同．
（1）求A，B两款灯笼的进价分别为多少元？
（2）该商家计划购进A，B两款灯笼共300个，并将A款灯笼的售价定为35元/个，B款灯笼的售价定为40元/个．设购进A款灯笼x个，售完这两款灯笼可获得利润为w元．
①求w与x的函数关系式；
②受市场影响，A款灯笼进价上调m元（），B款灯笼的进价不变．该商家发现若购进B款灯笼的数量不少于A款数量的时，则销售完这批灯笼至少可获得1110元利润，请求出m的值？
24．（2024九上·瑞安开学考）如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，且，．过点C的直线，D是直线MN上的一个动点，，交直线于点E．
（1）求证：；
（2）当时，D在x轴的上方且（如图2），求的度数；
（3）当时，点F，G分别在，上，（如图3）．
①试猜想，，的数量关系，并加以证明．
②当，点D正好落在射线上时，求点E到的距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是，
故答案为：D
【分析】根据题意结合相反数的定义写出的相反数即可求解。
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：由中心对称图形的定义：一个平面图形绕一点旋转180°，与原图形完全重合可知，A、B、C、D四个选项中，只有B符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形绕一点旋转180°，与原图形完全重合，这样的图形才是中心对称图形，进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示为：
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】A
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：（人），
故答案为：A．
【分析】根据九年全体学生数乘以选择跳远、游泳、篮球项目组合人数所占的百分比，即可求解．
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的顶点式的特征，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
6．【答案】D
【知识点】分式的加减法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．、不是同类项不能计算，选项错误不合题意；
B．，选项错误不合题意；
C．不能继续计算，选项错误不合题意；
D．，计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减；二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变；逐项分析即可求解.
7．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设这个班有学生人，
由题意得，，
故答案为：B．
【分析】设这个班有学生人，则根据每人分3本，剩余20本可知图书数为本；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，由此列出方程，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：为的高，且，
垂直平分线段，
，
为的高，
即，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，先根据题意得到垂直平分线段，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等边对等角得到，再根据求解，即可解题．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
点在函数的图象上，
又，，
∴，
，
∴，
∴的值可以是1；
故答案为：C．
【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质即可求解．
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，过点N作，
∵正方形， 正方形，正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
，，
∴，
设则
，
当时，有最小值为．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．过点作于点，根据正方形的四个角都是直角，正方形的四条边都相等得出，，，，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，，设根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用表示，进而求得的最小值．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
【分析】观察此多项式的特点，没有公因式，符合平方差公式的特点，即可求解。
12．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙的射击成绩更为稳定，
故答案为：乙．
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键．根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，求解作答即可．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系列出方程，解方程求出m的值即可．
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，四边形是平行四边形，
∴点A向下平移3个单位、向右平移2个单位可得O点，
∴点B向下平移3个单位、向右平移2个单位可得C点，
设点B坐标为，
∴，
∴，
解并检验得：，（不合题意舍去）
∴点B的横坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，设点B坐标为，由坐标偏移得到，结合点C在反比例函数图象上，代入列出方程，解方程即可得出点B的坐标.
16．【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；作图﹣轴对称；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵直线需要恰好经过点C．
∴过点作直线的对称点交于，连接，直线交于点，如图：
∴直线垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，，
∴，，，
∴在中，由勾股定理可得：，
∴，
在，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
将代入中，
∴，
故答案为：3．
【分析】本题考查了矩形与一次函数相结合的综合题，熟练掌握图形对称的性质是解题的关键，根据题目作点关于直线的对称点，连接，直线交于点，利用线段对称的垂直平分的性质可得到，，根据矩形的对应边相等得出，，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出，的长，即可得到的坐标，代入直线即可求出值．
17．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查了二次根式性质、绝对值化简、零指数幂以及整式的混合运算运算等知识，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则．
（1）根据二次根式性质、任何不为0的数的0次幂都等于1和负数的绝对值是其相反数的计算法则化简每一项，再进行加减混合运算即可；
（2）利用两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，再进行合并同类项计算即可．
18．【答案】（1）解：，
②①，得，
将代入①式，得，解得，
原方程组的解为.
（2）解：，
，
∴，，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元二次方程的解法，
（1）利用加减消元法直接求解即可；
（2）根据因式分解法解方程即可求解．
（1）解：，
②①，得，
将代入①式，得，解得，
原方程组的解为．
（2）解：，
，
∴，，
∴，．
19．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，直角三角形的性质，勾股定理等，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．（1）根据垂直于同一直线的两直线互相平行得出，根据矩形的对边平行且相等得出，，根据两直线平行，内错角相等得出，根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等证明，由全等三角形的对应边相等得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据矩形的对角线相等却互相平分得出，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出，利用三角形面积公式可求出，则可得出答案.
20．【答案】（1）、
（2）解：甲班成绩的平均分为：分，
乙班成绩的平均分为：分；
（3）解：由表中数据知，甲、乙两班成绩的平均数基本相等，而乙班成绩的中位数大于甲班，方差小于甲班，
所以乙班高分人数多于甲班，且乙班成绩稳定，
所以乙班成绩更好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：甲班人数为：，
甲班成绩的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别、，
所以，
乙班成绩的众数，
故答案为：、；
【分析】（1）利用中位数和众数的定义解答即可；
（2）利用加权平均数公式计算解题；
（3）比较两班的平均数、中位数和众数，然后作决策解题．
（1）解：甲班人数为：
，
甲班成绩的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别、，
所以，乙班成绩的众数，
故答案为：、；
（2）解：甲班成绩的平均分为：
分，
乙班成绩的平均分为：
分；
（3）解：由表中数据知，甲、乙两班成绩的平均数基本相等，而乙班成绩的中位数大于甲班，方差小于甲班，
所以乙班高分人数多于甲班，且乙班成绩稳定，
所以乙班成绩更好．
21．【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】本题考查了网格作图，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．（1）根据网格的特征和平行四边形的性质，利用平移的方法确定点D的位置，点B向上平移一格向右平移3格得到点C，故点A向上平移一格向右平移3格得到点D，
（2）取的中点D（格点），取格点E，使，，即可．
（1）解：如图，
（2）解：如图
22．【答案】（1）解：把点代入得，，
解得：；
∴函数解析式为，
∴对称轴为.
（2）解：由（1）得函数解析式为，
把代入得，，
∵
∴
∵是抛物线上不同的两点，
∴关于对称轴的对称，
∴．
∴．
（3）解：由（1）得函数解析式为，
∵此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，
当向左平移时，平移后的解析式为，
∴对称轴为，
当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意；
当，时，当时y随x的增大而增大，
∴当时，有最小值7，即，
解得，（舍去），
综上所述，m的值为5．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，函数的增减性，平移等，解答本题的关键是熟练运用分类讨论思想解决问题．
（1）把点代入，得到二元一次方程组，解方程组即可得到结论；
（2）把代入，解方程得到，于是得到，即可得到结论；
（3）根据平移的性质得出平移后的解析式和对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可求解.
（1）解：把点代入得，
，
解得：；
∴函数解析式为，
∴对称轴为
（2）解：由（1）得函数解析式为，
把代入得，，
∵
∴
∵是抛物线上不同的两点，
∴关于对称轴的对称，
∴．
∴．
（3）解：由（1）得函数解析式为，
∵此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，
当向左平移时，平移后的解析式为，
∴对称轴为，
当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意；
当，时，当时y随x的增大而增大，
∴当时，有最小值7，即，
解得，（舍去），
综上所述，m的值为5．
23．【答案】（1）解：设种类型的灯笼成本为元，种类型的灯笼成本为元．
根据题意，得：，
解并检验得：．
此时．
种类型的灯笼成本为30元，种类型的灯笼成本为36元．
（2）解：①购进种类型灯笼个，则购进种类型灯笼个，
根据题意，得：，
与的函数关系式为．
②根据题意，得，
解得，
受市场影响，A款灯笼进价上调m元（），
故总利润为：，
，
随的增大而减小，
，
∴当时，至少为元，，
解得：，
故．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设种类型的灯笼成本为元，种类型的灯笼成本为元，根据商家用900元购进的A款灯笼和用1080元购进的B款灯笼的数量相同，列出方程，解方程即可求解；
（2）①用A种灯笼利润加B种灯笼利润得出总利润，即可得出与的函数关系式；
②先根据题意列出不等式，得出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出函数的最小值即可.
（1）解：设种类型的灯笼成本为元，种类型的灯笼成本为元．
根据题意，得：，
解并检验得：．
此时．
种类型的灯笼成本为30元，种类型的灯笼成本为36元．
（2）解：①购进种类型灯笼个，则购进种类型灯笼个，
根据题意，得：，
与的函数关系式为．
②根据题意，得，
解得，
受市场影响，A款灯笼进价上调m元（），
故总利润为：，
，
随的增大而减小，
，
∴当时，至少为元，，
解得：，
故．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴；
（2）解：当时，，，
∴四边形是正方形，
则，
∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，则
∵，
∴，则，
∴，
过点作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
取的中点，连接，则，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：①，理由如下：在轴负半轴上取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则；
②连接，，∵，，，
∴，
∴，则，
∴，，
∴为等边三角形，，
则，
设，则，
∵，
∴，则，
∴，，，
∵，
∴，解得：，
∴，则，
∴为等腰三角形，则，
∵点正好落在射线上，
∴，
过点作轴，过点作，则为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，则，
则，
∴，则，
由（2）可知四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点到的距离．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；四边形的综合
【解析】【分析】本题考查图形与坐标，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．（1）根据等边对等角得出，进而可得，根据等角对等边即可证明结论；
（2）当时，根据有三个角是直角的四边形是正方形得出四边形是正方形，根据正方形的对角线平分对角得出，根据两直线平行，内错角相等得出，根据两组对对边分别平行的四边形是平行四边形和一组邻边相等的平行四边形是菱形得出得出四边形是菱形，根据菱形的四条边都相等得出，结合勾股定理得出，过点作于，则为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，，取的中点，连接，则，根据三条边都相等的三角形是等边三角形得出为等边三角形，根据等边三角形的单个角都是60度得出，结合直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、等边对等角，三角形的外角等于与它不不相邻的两个内角之和即可求得；
（3）①在轴负半轴上取，根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边、对应角相等得出，，推得，根据等角对等边得出，根据有三边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，则；
②连接，，根据有三边对应相等的两个三角形全等得出，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得出为等边三角形，结合勾股定理求出，设，则，可知，，，，列出方程可求得，则，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形得出为等腰三角形，根据三角形内角和定理得出，过点作轴，过点作，则为等腰直角三角形，，易知，根据勾股定理求得，求得，则，由（2）可知四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出，求得，，，即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴；
（2）解：当时，，，
∴四边形是正方形，
则，
∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，则
∵，
∴，则，
∴，
过点作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
取的中点，连接，则，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（3）①，理由如下：
在轴负半轴上取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则；
②连接，，∵，，，
∴，
∴，则，
∴，，
∴为等边三角形，，
则，
设，则，
∵，
∴，则，
∴，，，
∵，
∴，解得：，
∴，则，
∴为等腰三角形，则，
∵点正好落在射线上，
∴，
过点作轴，过点作，则为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，则，
则，
∴，则，
由（2）可知四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点到的距离．
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