资源简介 浙江省金华市义乌市四校（稠城中学，北苑中学，稠江中学，望道中学）2024-2025学年八年级上学期10月联考数学试题一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（2024八上·义乌月考）下图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．2．（2024八上·义乌月考）若三角形的三边长分别是2，7，，则的取值可能是（ ）A．6 B．5 C．4 D．33．（2024八上·义乌月考）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）A．120° B．90° C．100° D．30°4．（2024八上·义乌月考）在下列命题中，为真命题的是（ ）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补C．负数的立方根是负数 D．垂线段叫做点到直线的距离5．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，平分，，，则的面积为（ ）A．14 B．12 C．10 D．76．（2024八上·义乌月考）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点7．（2024八上·义乌月考）如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则 AC=（ ）A．2 B．8 C．5 D．38．（2024八上·义乌月考）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，，则的周长为（ ）A．4 B．5 C．9 D．139．（2024八上·义乌月考）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）A． B．C． D．10．（2024八上·义乌月考）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（2024八上·义乌月考）我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．12．（2024八上·义乌月考）将命题“内错角相等”，写成“如果……，那么……”的形式： .13．（2024八上·义乌月考）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是 ；14．（2024八上·义乌月考）如图，点是的三条中线，，的交点，若阴影部分的面积，则的面积为 .15．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．16．（2024八上·义乌月考）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，且．若P是l上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ．三、解答题（第17—21每题8分，第22—23每题10分，第24题12分）17．（2024八上·义乌月考）如图，在中，．（1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）若，，求的度数．18．（2024八上·义乌月考）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．（1）求证：；（2）证明：∠1=∠3．19．（2024八上·义乌月考）在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求等腰三角形底边的长．20．（2024八上·义乌月考）根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两腰的高相等．已知：如图，______________________．求证：____________．证明：21．（2024八上·义乌月考）如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.（1）若，求的度数；（2）求证：点到三边，，所在直线的距离相等.22．（2024八上·义乌月考）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O．（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；（2）若，是高，求的度数；（3）若是角平分线，求的度数．23．（2024八上·义乌月考）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围．【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据SAS可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．）【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由．24．（2024八上·义乌月考）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且．（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________．（2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________．答案解析部分1．【答案】D【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故符合题意.故答案为：D．【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，据此判断即可．2．【答案】A【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别是2，7，，∴，即，∴的取值可能是6.故答案为：A．【分析】根据三角形三边之间的关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解．3．【答案】C【知识点】三角形外角的概念及性质【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B，∵∠ACD=120°，∠B =20°，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°.故答案为：C．【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.4．【答案】C【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，∴此选项不符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，∴此选项不符合题意；C、负数的立方根是负数，原命题是真命题，∴此选项符合题意；D、点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题， ∴此选项不符合题意.故答案为：C．【分析】A、根据对顶角的定义"有公共顶点，且角的两边互为方向延长线的两个角叫做对顶角”可判断求解；B、根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可判断求解；C、根据立方根的定义"如果一个数x的立方等于a，即：x3=a，则称x是a的立方根"可判断求解； D、根据点到直线的距离的定义"点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离"可判断求解．5．【答案】D【知识点】三角形的面积；角平分线的性质【解析】【解答】解：过点作于，如图，平分，，，，．故答案为：D.【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后根据三角形面积公式计算即可求解．6．【答案】C【知识点】角平分线的应用【解析】【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．故选：C．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．7．【答案】C【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AB+BC=DC+BC，即AB=DC，∵AD=8，BC=2，∴AB+BC+DC=8，∴2AB+2=8，∴AB=3，∴AC=AB+BC=5，故答案为：C．【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AC=DB，再由线段的和差AB+BC=DC+BC可得AB=DC，然后由线段的构成AD=AB+BC+DC可得关于AB的方程，解方程求出AB的值，于是AC=AB+BC可求解．8．【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：垂直平分，垂直平分，，，的周长，故答案为：C．【分析】由垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，，，然后根据的周长=AE+EF+AF即可求解．9．【答案】A【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，由折叠得：∠A=∠A'=α，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA'=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：A.【分析】根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，由由折叠得：∠A=∠A'=α，从而代入可得结论.10．【答案】D【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE=∠AMF=90°，∵∠AED=∠MEF，∴∠DAE=∠F；∴此结论正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC=∠BAC，∠DAE=90°-∠AED=90°-（∠ACE+∠EAC）=90°-（∠ACE+∠BAC）=（180°-2∠ACE-∠BAC）=（∠ABD-∠ACE），∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；∴此结论正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；∴此结论正确，④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°，∴∠AGH=∠MEF，∵∠MEF=∠CAE+∠ACB，∴∠AGH=∠CAE+∠ACB，∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；∴此结论正确；∴正确的结论有4个.故答案为：D．【分析】如图，①、根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②、根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和等于180°可得∠DAE=90°-∠AED，变形可求解；③、根据三角形的面积公式即可得S△AEB：S△AEC=AB：CA；④、根据三角形的内角和等于180° 并结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．11．【答案】2【知识点】三角形的稳定性；多边形的对角线【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，∴至少要钉2根木条.故答案为：2．【分析】根据三角形具有稳定性，由题意将五边形可以分成3个三角形，根据从一个顶点发出的对角线有（n-3）条可知需要两根木条．12．【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等【知识点】定义、命题、定理、推论的概念【解析】【解答】解：“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．【分析】根据命题的组成以及含义进行改写即可得到答案。13．【答案】29【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当5为腰长时，∵5+5<12，故不能组成三角形，当12为腰长时，边长分别为：5，12，12，∵5+12>12，故能组成三角形，故周长为：5+12+12=29；故答案为：29．【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系分两种情况进行求解即可。14．【答案】6【知识点】几何图形的面积计算-割补法；面积及等积变换；利用三角形的中线求面积【解析】【解答】解：如图，∵点是的三条中线，，的交点，∴，∴，，，，∴，，∴，故答案为：6．【分析】根据三角形中线的性质可得，然后根据等底同高的两个三角形的面积相等可得，，，，再根据三角形ABC的面积的构成即可求解．15．【答案】【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，是的平分线，在与中点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时，是动点，也是动点，当与垂直时，最小，即最小．此时，由面积法得．故答案为：．【分析】在上截取，连接，，连接，与交于点，连接，用边角边可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质和最短路径可知：当⊥时，最小，即最小；根据S△ABC=×AB×CQ1=×AC×BC可得关于CQ1的方程，解方程即可求解．16．【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；分类讨论【解析】【解答】当点P在点 B右侧时：∵，且，∴，①，，由得：，∴，；②，，由得：，∴，∴；③，， 得：，∴，这与已知矛盾，假设不成立；④，， 得：，∴，这与已知矛盾，假设不成立；当点P在点B的左侧时，⑤，， 得：，∴，解得：，∴；⑥，，得：，∴，解得：，∴；综上，的所有可能的度数为或或，故答案为：15°或22.5°或120°．【分析】由题意分两类：当点P在点 B右侧时；当点P在点B的左侧时；根据“准直角三角形”的定义，并结合三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解．17．【答案】（1）解：如图，线段即为所求（2）解：，，而∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（40°+80°）=60°，∵平分，，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-30°-40°=110°【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线【解析】【分析】（1）根据作已知角的角平分线的步骤“以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AC、AB相交，分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点的线段的一半长为半径画弧，两弧相交于点D，过点A、D作射线”即为所求；（2）在△ABC中，根据三角形内角和定理求得的度数，结合角平分线求得，在△ABD中，再根据三角形内角和定理即可求解．（1）解：如图，线段即为所求．（2）解：，，∴，∵平分，，∴．18．【答案】证明：（1），，即，在和中，，；（2）由（1）已证：，，由对顶角相等得：，又，．【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质【解析】【分析】（1）由题意，根据角的和差可得，结合已知用边角边可求证；（2）根据三角形全等的对应角相等可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理即可求解．19．【答案】解：如图，∵是边上的中线，即，由题意分两种情况：①若，则，又∵，∴联立方程组解得：，，三边能够组成三角形；②若，则，又∵，∴联立方程组解得：，，三边能够组成三角形；∴三角形的底边长为或．【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论【解析】【分析】根据题意由在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，由题意分两种情况：①若，②若，结合已知可得关于AB、BC的方程组，解方程组并结合三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可求解．20．【答案】证明：∵如图，在中，，且．∵，∴∵∴∠ABC=∠ACB，在与中，，∴∴．【知识点】三角形全等的判定-AAS；证明的含义与一般步骤；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两腰的高相等．已知：如图，中，和是和边上的高．求证：．【分析】根据命题证明的步骤，根据题意画出图形，写出已知，求证，然后根据等腰三角形性质“等腰三角形的两底角相等”可得∠ABC=∠ACB，用角角边可得△BCD≌△CBE，然后根据全等三角形的对应边相等可求解.21．【答案】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴.答：.（2）证明：过点P作，，，如图，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和求出，再根据三角形外角和邻补角之间的关系可求出，由角平分线的性质可得∠PCB+∠PBC=（），然后根据三角形的内角和等于180°即可求解；（2）过点P作，，，根据角平分线的性质"角平分线上的点到角两边的距离相等"即可求解．（1）解：∵，∴，∵，，∴，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴（2）证明：过点P作，，，如图，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等22．【答案】（1）1（2）解：∵是的高，∴，∵，是的角平分线，∴，∴；答：.（3）解：∵，∴，∵、是的角平分线，∴，，∴，∴．答：.【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的高；三角形的角平分线【解析】【解答】（1）解：∵是中线，∴，∵，，∴，，∴，故答案为：1；【分析】（1）由三角形中线的定义可得，根据三角形的周长等于三角形三边之和，分别表示出与的周长，再求差即可求解；（2）根据三角形的高的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠BOC=∠CDB+∠ABE即可求解；（3）先用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后再根据三角形内角和等于180°即可求解．（1）解：∵是中线，∴，∵，，∴，，∴，故答案为：1；（2）解：∵是的高，∴，∵，是的角平分线，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵、是的角平分线，∴，，∴，∴．23．【答案】解：（1）如图1，延长到点，使，∵是的中点，，在△ADC和△EDB中，，在中，，，；（2）如图2，延长至点，使得，连接，则，∵是的中点∴在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴∴（3），理由：如图3，延长交于点，延长到，使得，连接，由（1）可知，，∴，∵，∴，由（2）可知，//，∴，∵、，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴∵∴，∴．【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系【解析】【分析】（1）延长到点，使，根据边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得AC=BE，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得“两边之差＜第三边＜两边之和”并结合不等式的性质可求解；（2）延长到点F，使得，连接．根据边角边可得，由全等三角形的对应角（边）相等可得，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得求解；（3）延长，使，连接，根据边角边可证，得出，，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得，再进一步证明，由垂线的定义即可求解．24．【答案】（1）；；（2）解：（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到，使，连接．∵∴，∵在与中，，∴．∴，∴．∴．在△AEG和△AEF中∴（SAS）．∴．∵．∴；（3）或或【知识点】三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；分类讨论【解析】【解答】解：（1）补全图形，如图：小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，故答案为：，，；（3）①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；证明：在上截取，使，连接．∵，∴．∵在与中，，∴∴．∴．∴．∵，∴∴∵∴；③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，同上可证明：，∴，∴，即，综上所述：线段之间的数量关系为或或，故答案为：或或．【分析】（1）依据题意，补图，补充思路即可；（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：延长到，使，连接，根据同角的补角相等可得∠ABG=∠D，结合已知，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得AG=AF，∠1=∠2，由角的和差可得∠GAE=∠EAF，结合已知，用边角边可得△AEG≌△AEF，由全等三角形的对应边（角）相等可得EG=EF，然后根据线段的和差即可求解；（3）分三种情况讨论，①分别在边上，②点在边延长线上，点在边延长线上，③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，根据线段和差即可求解．（1）解：补全图形，如图：小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，故答案为：，，；（2）解：（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到，使，连接．∵∴，∵在与中，，∴．∴，∴．∴．又，∴．∴．∵．∴；（3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；证明：在上截取，使，连接．∵，∴．∵在与中，，∴∴．∴．∴．∵，∴∴∵∴；③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，同上可证明：，∴，∴，即，综上所述：线段之间的数量关系为或或，故答案为：或或．1 / 1浙江省金华市义乌市四校（稠城中学，北苑中学，稠江中学，望道中学）2024-2025学年八年级上学期10月联考数学试题一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（2024八上·义乌月考）下图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故符合题意.故答案为：D．【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，据此判断即可．2．（2024八上·义乌月考）若三角形的三边长分别是2，7，，则的取值可能是（ ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别是2，7，，∴，即，∴的取值可能是6.故答案为：A．【分析】根据三角形三边之间的关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解．3．（2024八上·义乌月考）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）A．120° B．90° C．100° D．30°【答案】C【知识点】三角形外角的概念及性质【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B，∵∠ACD=120°，∠B =20°，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°.故答案为：C．【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.4．（2024八上·义乌月考）在下列命题中，为真命题的是（ ）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补C．负数的立方根是负数 D．垂线段叫做点到直线的距离【答案】C【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，∴此选项不符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，∴此选项不符合题意；C、负数的立方根是负数，原命题是真命题，∴此选项符合题意；D、点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题， ∴此选项不符合题意.故答案为：C．【分析】A、根据对顶角的定义"有公共顶点，且角的两边互为方向延长线的两个角叫做对顶角”可判断求解；B、根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可判断求解；C、根据立方根的定义"如果一个数x的立方等于a，即：x3=a，则称x是a的立方根"可判断求解； D、根据点到直线的距离的定义"点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离"可判断求解．5．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，平分，，，则的面积为（ ）A．14 B．12 C．10 D．7【答案】D【知识点】三角形的面积；角平分线的性质【解析】【解答】解：过点作于，如图，平分，，，，．故答案为：D.【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后根据三角形面积公式计算即可求解．6．（2024八上·义乌月考）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】C【知识点】角平分线的应用【解析】【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．故选：C．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．7．（2024八上·义乌月考）如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则 AC=（ ）A．2 B．8 C．5 D．3【答案】C【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AB+BC=DC+BC，即AB=DC，∵AD=8，BC=2，∴AB+BC+DC=8，∴2AB+2=8，∴AB=3，∴AC=AB+BC=5，故答案为：C．【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AC=DB，再由线段的和差AB+BC=DC+BC可得AB=DC，然后由线段的构成AD=AB+BC+DC可得关于AB的方程，解方程求出AB的值，于是AC=AB+BC可求解．8．（2024八上·义乌月考）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，，则的周长为（ ）A．4 B．5 C．9 D．13【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：垂直平分，垂直平分，，，的周长，故答案为：C．【分析】由垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，，，然后根据的周长=AE+EF+AF即可求解．9．（2024八上·义乌月考）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，由折叠得：∠A=∠A'=α，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA'=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：A.【分析】根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，由由折叠得：∠A=∠A'=α，从而代入可得结论.10．（2024八上·义乌月考）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE=∠AMF=90°，∵∠AED=∠MEF，∴∠DAE=∠F；∴此结论正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC=∠BAC，∠DAE=90°-∠AED=90°-（∠ACE+∠EAC）=90°-（∠ACE+∠BAC）=（180°-2∠ACE-∠BAC）=（∠ABD-∠ACE），∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；∴此结论正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；∴此结论正确，④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°，∴∠AGH=∠MEF，∵∠MEF=∠CAE+∠ACB，∴∠AGH=∠CAE+∠ACB，∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；∴此结论正确；∴正确的结论有4个.故答案为：D．【分析】如图，①、根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②、根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和等于180°可得∠DAE=90°-∠AED，变形可求解；③、根据三角形的面积公式即可得S△AEB：S△AEC=AB：CA；④、根据三角形的内角和等于180° 并结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（2024八上·义乌月考）我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．【答案】2【知识点】三角形的稳定性；多边形的对角线【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，∴至少要钉2根木条.故答案为：2．【分析】根据三角形具有稳定性，由题意将五边形可以分成3个三角形，根据从一个顶点发出的对角线有（n-3）条可知需要两根木条．12．（2024八上·义乌月考）将命题“内错角相等”，写成“如果……，那么……”的形式： .【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等【知识点】定义、命题、定理、推论的概念【解析】【解答】解：“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．【分析】根据命题的组成以及含义进行改写即可得到答案。13．（2024八上·义乌月考）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是 ；【答案】29【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当5为腰长时，∵5+5<12，故不能组成三角形，当12为腰长时，边长分别为：5，12，12，∵5+12>12，故能组成三角形，故周长为：5+12+12=29；故答案为：29．【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系分两种情况进行求解即可。14．（2024八上·义乌月考）如图，点是的三条中线，，的交点，若阴影部分的面积，则的面积为 .【答案】6【知识点】几何图形的面积计算-割补法；面积及等积变换；利用三角形的中线求面积【解析】【解答】解：如图，∵点是的三条中线，，的交点，∴，∴，，，，∴，，∴，故答案为：6．【分析】根据三角形中线的性质可得，然后根据等底同高的两个三角形的面积相等可得，，，，再根据三角形ABC的面积的构成即可求解．15．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．【答案】【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，是的平分线，在与中点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时，是动点，也是动点，当与垂直时，最小，即最小．此时，由面积法得．故答案为：．【分析】在上截取，连接，，连接，与交于点，连接，用边角边可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质和最短路径可知：当⊥时，最小，即最小；根据S△ABC=×AB×CQ1=×AC×BC可得关于CQ1的方程，解方程即可求解．16．（2024八上·义乌月考）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，且．若P是l上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ．【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；分类讨论【解析】【解答】当点P在点 B右侧时：∵，且，∴，①，，由得：，∴，；②，，由得：，∴，∴；③，， 得：，∴，这与已知矛盾，假设不成立；④，， 得：，∴，这与已知矛盾，假设不成立；当点P在点B的左侧时，⑤，， 得：，∴，解得：，∴；⑥，，得：，∴，解得：，∴；综上，的所有可能的度数为或或，故答案为：15°或22.5°或120°．【分析】由题意分两类：当点P在点 B右侧时；当点P在点B的左侧时；根据“准直角三角形”的定义，并结合三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解．三、解答题（第17—21每题8分，第22—23每题10分，第24题12分）17．（2024八上·义乌月考）如图，在中，．（1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）若，，求的度数．【答案】（1）解：如图，线段即为所求（2）解：，，而∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（40°+80°）=60°，∵平分，，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-30°-40°=110°【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线【解析】【分析】（1）根据作已知角的角平分线的步骤“以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AC、AB相交，分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点的线段的一半长为半径画弧，两弧相交于点D，过点A、D作射线”即为所求；（2）在△ABC中，根据三角形内角和定理求得的度数，结合角平分线求得，在△ABD中，再根据三角形内角和定理即可求解．（1）解：如图，线段即为所求．（2）解：，，∴，∵平分，，∴．18．（2024八上·义乌月考）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．（1）求证：；（2）证明：∠1=∠3．【答案】证明：（1），，即，在和中，，；（2）由（1）已证：，，由对顶角相等得：，又，．【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质【解析】【分析】（1）由题意，根据角的和差可得，结合已知用边角边可求证；（2）根据三角形全等的对应角相等可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理即可求解．19．（2024八上·义乌月考）在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求等腰三角形底边的长．【答案】解：如图，∵是边上的中线，即，由题意分两种情况：①若，则，又∵，∴联立方程组解得：，，三边能够组成三角形；②若，则，又∵，∴联立方程组解得：，，三边能够组成三角形；∴三角形的底边长为或．【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论【解析】【分析】根据题意由在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，由题意分两种情况：①若，②若，结合已知可得关于AB、BC的方程组，解方程组并结合三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可求解．20．（2024八上·义乌月考）根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两腰的高相等．已知：如图，______________________．求证：____________．证明：【答案】证明：∵如图，在中，，且．∵，∴∵∴∠ABC=∠ACB，在与中，，∴∴．【知识点】三角形全等的判定-AAS；证明的含义与一般步骤；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两腰的高相等．已知：如图，中，和是和边上的高．求证：．【分析】根据命题证明的步骤，根据题意画出图形，写出已知，求证，然后根据等腰三角形性质“等腰三角形的两底角相等”可得∠ABC=∠ACB，用角角边可得△BCD≌△CBE，然后根据全等三角形的对应边相等可求解.21．（2024八上·义乌月考）如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.（1）若，求的度数；（2）求证：点到三边，，所在直线的距离相等.【答案】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴.答：.（2）证明：过点P作，，，如图，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和求出，再根据三角形外角和邻补角之间的关系可求出，由角平分线的性质可得∠PCB+∠PBC=（），然后根据三角形的内角和等于180°即可求解；（2）过点P作，，，根据角平分线的性质"角平分线上的点到角两边的距离相等"即可求解．（1）解：∵，∴，∵，，∴，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴（2）证明：过点P作，，，如图，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等22．（2024八上·义乌月考）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O．（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；（2）若，是高，求的度数；（3）若是角平分线，求的度数．【答案】（1）1（2）解：∵是的高，∴，∵，是的角平分线，∴，∴；答：.（3）解：∵，∴，∵、是的角平分线，∴，，∴，∴．答：.【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的高；三角形的角平分线【解析】【解答】（1）解：∵是中线，∴，∵，，∴，，∴，故答案为：1；【分析】（1）由三角形中线的定义可得，根据三角形的周长等于三角形三边之和，分别表示出与的周长，再求差即可求解；（2）根据三角形的高的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠BOC=∠CDB+∠ABE即可求解；（3）先用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后再根据三角形内角和等于180°即可求解．（1）解：∵是中线，∴，∵，，∴，，∴，故答案为：1；（2）解：∵是的高，∴，∵，是的角平分线，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵、是的角平分线，∴，，∴，∴．23．（2024八上·义乌月考）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围．【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据SAS可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．）【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）如图1，延长到点，使，∵是的中点，，在△ADC和△EDB中，，在中，，，；（2）如图2，延长至点，使得，连接，则，∵是的中点∴在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴∴（3），理由：如图3，延长交于点，延长到，使得，连接，由（1）可知，，∴，∵，∴，由（2）可知，//，∴，∵、，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴∵∴，∴．【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系【解析】【分析】（1）延长到点，使，根据边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得AC=BE，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得“两边之差＜第三边＜两边之和”并结合不等式的性质可求解；（2）延长到点F，使得，连接．根据边角边可得，由全等三角形的对应角（边）相等可得，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得求解；（3）延长，使，连接，根据边角边可证，得出，，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得，再进一步证明，由垂线的定义即可求解．24．（2024八上·义乌月考）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且．（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________．（2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________．【答案】（1）；；（2）解：（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到，使，连接．∵∴，∵在与中，，∴．∴，∴．∴．在△AEG和△AEF中∴（SAS）．∴．∵．∴；（3）或或【知识点】三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；分类讨论【解析】【解答】解：（1）补全图形，如图：小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，故答案为：，，；（3）①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；证明：在上截取，使，连接．∵，∴．∵在与中，，∴∴．∴．∴．∵，∴∴∵∴；③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，同上可证明：，∴，∴，即，综上所述：线段之间的数量关系为或或，故答案为：或或．【分析】（1）依据题意，补图，补充思路即可；（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：延长到，使，连接，根据同角的补角相等可得∠ABG=∠D，结合已知，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得AG=AF，∠1=∠2，由角的和差可得∠GAE=∠EAF，结合已知，用边角边可得△AEG≌△AEF，由全等三角形的对应边（角）相等可得EG=EF，然后根据线段的和差即可求解；（3）分三种情况讨论，①分别在边上，②点在边延长线上，点在边延长线上，③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，根据线段和差即可求解．（1）解：补全图形，如图：小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，故答案为：，，；（2）解：（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到，使，连接．∵∴，∵在与中，，∴．∴，∴．∴．又，∴．∴．∵．∴；（3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；证明：在上截取，使，连接．∵，∴．∵在与中，，∴∴．∴．∴．∵，∴∴∵∴；③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，同上可证明：，∴，∴，即，综上所述：线段之间的数量关系为或或，故答案为：或或．1 / 1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 浙江省金华市义乌市四校（稠城中学，北苑中学，稠江中学，望道中学）2024-2025学年八年级上学期10月联考数学试题(学生版).docx 浙江省金华市义乌市四校（稠城中学，北苑中学，稠江中学，望道中学）2024-2025学年八年级上学期10月联考数学试题(教师版).docx
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