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第27讲 圆的基本性质
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
垂径定理 探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系；知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等;了解并证明圆周角定理及其推论;探索并证明垂径定理.
圆周角定理
圆内接四边形的性质
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 圆的相关概念
1.圆的定义
圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.
确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可.
2.弦与直径
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4.同圆、等圆、同心圆
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
5.圆心角与圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
6.弓形和扇形
弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形.
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”.
【典例1】（2025·新疆·中考真题）如图，是的直径，是弦，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．
先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到．
【详解】解：连接．
∵是的直径，是弦，，
∴，
∴，
故选：C．
【典例2】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴劣弧，
故答案为：．
【典例3】（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明．
（2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，交于点E．由题意知，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴点E为的中点，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
设半圆的半径为r，则．
由勾股定理知，，
即，
解得，（舍去）．
∴．
考点二 圆的基本性质
1.圆的对称性
内容
圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.
2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
4.圆周角定理及圆周角定理的推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形及其性质定理
圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.
如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
如图，∠1=∠2
【典例1】（10分）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
∴∠DAB+∠AOC＝180°，
∴OC∥AD．
（2）解：连接BD，交OC于点E，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥AD，
∴，
∵OA＝OB，
∴EB＝DE，
∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，
∴，
设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，
在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1，
在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2，
即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2，
解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去），
故AB＝2r＝6．
【典例2】（ 2025·广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，．
（1）求证：△BOC≌△DOC；
（2）求∠ABD的度数．
【分析】（1）根据已知易得：∠BOC＝∠DOC，然后利用SAS证明△BOC≌△DOC，即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠OCB＝65°，再利用三角形内角和定理可得∠COB＝50°，然后利用（1）的结论可得∠DOC＝∠BOC＝50°，从而利用平角定义可得∠AOD＝80°，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠BOC＝∠DOC，
∵OC＝OC，OD＝OB，
∴△BOC≌△DOC（SAS）；
（2）解：∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB＝65°，
∴∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝50°，
∴∠DOC＝∠BOC＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠DOC﹣∠BOC＝80°，
∴∠ABD∠AOD＝40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【典例3】（ 2025·广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【分析】（1）先证明四边形OAO'B是正方形即可得到坐标；
（2）根据∠AOB＝90°，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长；
（3）利用旋转即可．
【解答】解：（1）∵以原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，
∴OA＝OB＝O'A＝O'B＝5，
∴OAO'B是正方形，
∴∠AOB＝∠OBO'＝∠BO'A＝∠O'AO＝90°，
∴A（0，5），B（5，0）；
（2）∵原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，
∴两个圆是等圆，
∵∠AOB＝∠AO'B＝90°，
∴叶瓣①的周长为：；
（3）叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到．
【点评】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转，掌握圆的性质是解题的关键．
专项训练·深度理解
专项训练二十七：圆的基本性质
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当时，原式才正确，据此可判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可判断D．
【详解】解；A、若，则，原说法错误，不符合题意；
B、若，则，原说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意；
D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
2. 2024 临夏州）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．110°
【分析】由圆周角定理得到∠AOD＝2∠E＝70°，由邻补角的性质求出∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
【解答】解：∵∠E＝35°，
∴∠AOD＝2∠E＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠AOD＝2∠E．
3. （2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．
由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴在中，，
故选：A．
4. （ 2025·甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣7°＝110°，
∵，
∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°．
故选：C．
5. （2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. （2024 南充）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC的度数为（ ）
A．75 B．50 C．65 D．60
【分析】根据邻补角定义求出∠AOC＝150°，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠BOC＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝150°，
∴∠ADC＝∠AOC＝75°，
故答案为：A．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
7. （2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. （2024 青海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是 　（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝130°，
故答案为：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9. （2024 牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为( )
A． B．9 C． D．
【分析】由垂径定理得，设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵A B⊥C D，C D＝6，
∴，
设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：，
故答案为：A．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10. （2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】如图，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，，，
∵于点，交于点，为弧的中点，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点关于的对称点为点，
∴，
∴
当，，三点共线时，最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴且，
∴，
故选：C．
12. （2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：2．
13. （2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可．
【详解】解：四边形是的内接四边形，，
∴，
连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，，
∴，
∵的半径为6，
∴，
在中，；
故答案为：．
14. （2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
15. （2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题．
【详解】解：如图，作交于，交圆弧于，
由题意：，
设，由，
∴，
∵，为半径，
∴，
在中，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
16. （2025·浙江·中考真题）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质；
根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可．
【详解】解：∵为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴，
在中，，
连接，
∵为直径，
∴，
在中，，
∴在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴解得：，
∴，
的直径为：，
故答案为：．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图，连接．

四边形是矩形，
．
在中，，
．
点为圆心，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
18. （6分）（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的半径
【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解；
（2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，是的切线，即，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
如图所示，连接，设，则，
∴在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径．
【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键．
19. （6分）（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使．
(2)在图②中找一个格点E，画出，使．
【答案】(1)见解析（答案不唯一）
(2)见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质．
（1）取格点，连接，根据得到；
（2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到．
【详解】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
20. （8分）（2023·上海·统考中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．

(1)求的半径；
(2)求的正切值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；
（2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得．
【详解】（1）解：如图，延长，交于点，连接，

由圆周角定理得：，
弦的长为8，且，
，
解得，
的半径为．
（2）解：如图，过点作于点，

的半径为5，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
则的正切值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
21. （8分）（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)长为44．
【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明；
（2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长．
【详解】（1）证明： ，分别切于A点，B点，
平分，
，
又 ，
，
．
（2）延长交于点F，连接，则，
，分别切于A点，B点，
C为的中点，
，
，
又 ，，
，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．
22. （8分）（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，都是的半径，．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；
（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
23. （10分）（ 2025·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG．
（1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E；
（2）求证：AH2＝HF HC；
（3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ADB．
∵∠ADB＝∠DBE+∠E，
∴∠ABC＝∠DBE+∠E；
（2）证明：连接CD，如图，
∵BG＝DG，
∴∠ABD＝∠GDB，
由（1）知：∠ABC＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ADB＝∠GDB+∠GDA，
∴∠DBE＝∠GDA，
∵∠DBE＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠GDA，
∴AH＝HD．
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠GDB．
∵∠CHD＝∠DHF，
∴△CHD∽△DHF，
∴，
∴HD2＝HC HF，
∴AH2＝HF HC；
（3）解：连接AO并延长交CB于点M，连接CD，如图，
∵AB＝AC，
∴，
∴AM⊥BC，CM＝BM，
∴tan∠ABC，
设BM＝k，则AMk，BC＝2k，
∴ABk，
∵AD＝2DE，
∴设DE＝a，则AD＝2a，
∴AE＝AD+DE＝3a．
∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠EAB，
∴△BAD∽△EAB，
∴，
∴，
∴k＝a，
∴DE＝k，AE＝3k，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠EDC＝∠ABC，
∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
∴，
∴CE2+2k CE﹣3k2＝0，
∵CE＞0，
∴CE＝k，
∵△EDC∽△EBA，
∴，
∴，
∴AB＝3．
由（2）知：AH＝HD，BG＝DG，
∴△AGH的周长＝AG+GH+AH
＝AG+GH+HD
＝AG+GD
＝AG+GB
＝AB
＝3．
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第27讲 圆的基本性质
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
垂径定理 探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系；知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等;了解并证明圆周角定理及其推论;探索并证明垂径定理.
圆周角定理
圆内接四边形的性质
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 圆的相关概念
1.圆的定义
圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.
确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可.
2.弦与直径
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4.同圆、等圆、同心圆
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
5.圆心角与圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
6.弓形和扇形
弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形.
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”.
【典例1】（2025·新疆·中考真题）如图，是的直径，是弦，，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
【典例3】（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
考点二 圆的基本性质
1.圆的对称性
内容
圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.
2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
4.圆周角定理及圆周角定理的推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形及其性质定理
圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.
如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
如图，∠1=∠2
【典例1】（10分）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．
【典例2】（ 2025·广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，．
（1）求证：△BOC≌△DOC；
（2）求∠ABD的度数．
【典例3】（ 2025·广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
专项训练·深度理解
专项训练二十七：圆的基本性质
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
2. 2024 临夏州）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．110°
3. （2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
4. （ 2025·甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
5. （2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6. （2024 南充）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC的度数为（ ）
A．75 B．50 C．65 D．60
7. （2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8. （2024 青海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是 　（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
9. （2024 牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为( )
A． B．9 C． D．
10. （2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12. （2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ．
13. （2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为 ．
14. （2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
15. （2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
16. （2025·浙江·中考真题）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为 ．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
18. （6分）（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
19. （6分）（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使．
(2)在图②中找一个格点E，画出，使．
20. （8分）（2023·上海·统考中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．

(1)求的半径；
(2)求的正切值．
21. （8分）（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．
22. （8分）（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，都是的半径，．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
23. （10分）（ 2025·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG．
（1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E；
（2）求证：AH2＝HF HC；
（3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长．
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