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广东省茂名市高州市2025届高三高考适应性考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·高州模拟）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，
则，
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用解绝对值不等式的方法和元素与集合的关系，从而得出集合M，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025·高州模拟）随机变量，若，则实数的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，
所以随机变量的正态曲线关于对称，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出实数的值.
3．（2025·高州模拟）已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（　　）
A．2 B． C．±2 D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，得圆心到直线的距离为2，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和点到直线的距离公式，从而得出实数m的值.
4．（2025·高州模拟）已知向量，，且在方向上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用数量积的坐标表示和向量的摸底坐标表示，从而得出，，再利用数量积求投影向量的公式，从而可得，求解得出x的值.
5．（2025·高州模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和切化弦的方法，从而可得，再利用诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
6．（2025·高州模拟）已知函数，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：当时，不等式为，即，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
由于，则当时，函数在上单调递减，
所以，解得，所以；
综上，的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】分段讨论：将函数按定义域分为 和 两部分，分别处理不等式；
单调性与最值： 时，二次函数通过对称轴找最小值，确保最小值非负； 时，对数函数根据底数 范围确定单调性，找最大值并约束；
交集综合：两区间条件取交集，得参数 的取值范围.
7．（2025·高州模拟）已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为，母线为，
则圆锥的高为，
则圆锥的体积为，
记，
则，
由，可得；
由，可得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值，则圆锥的体积最大，
此时，母线与底面所成的角为，其余弦值为.
故答案为：A.
【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，利用勾股定理求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式得出圆锥的体积，通过求导判断其单调性，从而可得体积的最大值及此时，再利用余弦函数的定义得出该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值.
8．（2025·高州模拟）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，
所以，又，，
所以，使得成立的最小整数为.
故答案为：B.
【分析】由题意和等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，再结合错位相减法可得，从而得出使得成立的最小整数的值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·高州模拟）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（　　）
A．
B．
C．为纯虚数
D．为关于的方程的另一个根
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A，，
，故A正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为为关于的方程，
所以也是方程的根，故D正确；
对于B，因为，故B正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据复数乘法运算法则和除法运算法则以及复数模长公式，则判断出选项A和选项C；再利用复数范围内的求根公式可知复数是方程的根，则也是方程的根，则可判断选项D；再利用韦达定理判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025·高州模拟）已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，相互独立，则 B．若，相互独立，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：对于A、B，因为，相互独立，
则，，故A正确，B错误；
对于C，若，，，故C正确；
对于D，，
则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用独立事件乘法求概率公式和条件概率公式，则判断出选项A和选项B；在的条件下，利用判断出选项C；利用全概率公式和对立事件求概率公式，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025·高州模拟）抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．存在直线，使得，，，四点共圆
D．面积的最小值为1
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，由题意得，直线过焦点，
设直线，
联立直线与抛物线方程，可得
设，
则，
所以，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，，故A正确；
对于B，由选项A知，，
则，
解得，故B正确；
对于C，因为，，
所以，
如果点，，，四点共圆，则，
因为抛物线，，
又因为，故C错误；
对于D，过点分别作⊥于点，⊥于点，⊥于点，
因为，的角平分线交于点，
所以，，
则，
设为的中点，连接，则轴，
因为，所以，
由选项A知，，
由选项B知，，
则
显然，当时，取得最小值，最小值为1，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设直线，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦长公式得出，则判断出选项A；利用，从而得出的值，则判断出选项B；先得到，若点，，，四点共圆，则，再利用数量积的坐标表示得到，则判断出选项C；作出辅助线，得到轴，则，再利用三角形的面积公式得到，再根据函数求最值的方法，从而求出面积的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·高州模拟）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是　 　.（写出一个满足条件的函数即可）
【答案】(答案不唯一)
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：根据题意，只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意，
所以，
则可以是.
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据题意，利用奇函数的定义和增函数的定义，从而得出满足要求的函数.
13．（2025·高州模拟）已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设焦点在轴上，故，的坐标分别为，，
因为三角形是等边三角形，
所以两点关于轴对称，
所以，
又因为三角形的重心为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】不妨设焦点在轴上，由题意可得两点关于轴对称，由三角形的重心坐标公式可得，从而可得点的坐标，进而可得，，再利用椭圆的定义和椭圆的离心率公式，从而得出椭圆C的离心率.
14．（2025·高州模拟）两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为　 　.
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：不妨先固定其中一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑，
则另一个袋子的取球可能总数为，
得分为3分的情况为：红白黑黑白，其中第2，3位可交换顺序，第4，5位可以交换顺序，
所以总数为，
黑白白黑红，其中第4，5位可以交换顺序，白白黑黑红，
其中第2，3位可交换顺序且黑白可以交换顺序，
所以总数为，
得分为4分的情况不存在，得分为5分的情况为：红白白黑黑，1种情况，
所以总得分大于2的概率为.
故答案为：.
【分析】先固定一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑，再分得3分，4分，5分时第二外袋子的每种排列数，利用分类加法计数原理和古典概率公式，从而得出取球5次后，总得分大于2的概率.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（2025·高州模拟）记的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
【答案】（1）解：因为
又因为，
所以
又因为，所以，
解得或，
所以或．
（2）解：若，，
由余弦定理，得：，
所以，
所以的周长为；
若，为直角三角形，斜边上的高为，
由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，
则该三角形不存在，故的周长为6．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，结合诱导公式和两角和的正弦公式，从而得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用已知条件和分类讨论的方法，若，利用三角形的面积公式，从而得出bc的值，再利用余弦定理得出b+c的值，结合三角形的周长公式得出的周长；若，为直角三角形，斜边上的高为，由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，则该三角形不存在，综上所述，的周长为6．
（1），
又，
所以
又，所以，解得或，
所以或．
（2）若，，
由余弦定理得，，
所以，所以的周长为；
若，为直角三角形，斜边上的高为，
由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，则该三角形不存在，
故的周长为6．
16．（2025·高州模拟）已知函数，.
（1）若，求图象在点处的切线方程；
（2）若函数在上的最小值是，求的值.
【答案】（1）解：当时，，
则，所以，
又因为，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
（2）解：由，，
则，
当时，，
则函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，由，得；
由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即当时，函数在上单调递减，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即当时，函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得，
综上所述，．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出函数图象在点处的切线方程.
（2）先求导，再分，两种情况结合区间，则由导数正负讨论函数的单调性，从而得出函数在上的最小值，再利用已知条件得出实数a的值.
（1）当时，，
则，则，又，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
（2）由，，
则，
当时，，则函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，函数在上单调递减，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即时，函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，解得.
综上所述，．
17．（2025·高州模拟）如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明：在平面ABC内过点作直线，因为平面，平面，所以，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
因为为的中点，所以，，，，
因为，所以，
又因为平面，平面，，所以平面；
（2）解：设，即，
则，
，，
设平面的一个法向量，则，
令，求得，即，
设直线与平面所成角为，
则，
令，
当时，取最小值，即，
即当时，取得最大值，.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到向量坐标，利用空间向量法证明即可；
（2）设出动点坐标得到线的方向向量，设平面法向量，由法向量垂直平面内任意两个相交向量求出一个法向量坐标，然后由线的方向向量和面的法向量表示出线面角的正弦值.对于表达式进行整理化简，构造函数，利用二次函数对称轴求函数的最大值即可.
（1）如图，在平面ABC内过点作直线，
∵平面，平面，∴，，
∴以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
∵为的中点，∴，
∴，，，
∴，即，
又∵平面，平面，，
∴平面.
（2）设，即
则，
，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，
即，
设直线与平面所成角为，
则，
令，
当时，取最小值，即，
即当时，取得最大值，，
18．（2025·高州模拟）已知双曲线的实轴长为，离心率为.
（1）求双曲线的标准方程：
（2）过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点.
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）记，分别为，的面积，求的取值范围.
【答案】（1）解：设焦距为，因为实轴长为，离心率为，
所以，
所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）（i）证明：当直线斜率为0时，，
直线的方程为，
令，可得，
此时的斜率为.
当直线斜率不为0时，设直线，
联立，可得，
因为直线与双曲线的左右两支交于两点，
所以，，
设，
则，
且，
解得，
则直线的方程为，
令，可得，
所以直线的斜率为，
化简可得，
由，
可得，
所以，
综上可得，直线的斜率为定值.
（ii）解：当直线斜率为0时，，
因为两个三角形相似，.
当直线斜率不为0时，此时，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
则或（舍），
所以；
综上可得，.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率公式和双曲线的实轴长以及双曲线中a，b，c三者的关系式，从而可得a，b，c的方程，解方程组得出a，b，c的值，从而得出双曲线C的标准方程.
（2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，从而写出韦达定理式，再利用两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再化简证出直线的斜率为定值.
（ii）根据斜率相等把面积比转化为线段比，再结合韦达定理得出的取值范围.
（1）设焦距为，因为实轴长为，离心率为，所以，
所以，故双曲线的标准方程为.
（2）（i）证明：当直线斜率为0时，，
的方程为；
令可得，此时的斜率为.
当直线斜率不为0时，设，
联立，可得，
因为直线与双曲线的左右两支交于两点，
所以，，
设，则，
且，解得.
的方程为，令可得，
所以的斜率为，
化简可得，
由可得，
所以；
综上可得，直线的斜率为定值.
（ii）当直线斜率为0时，，
两个三角形相似，.
当直线斜率不为0时，此时，
所以，
因为，所以，
因为，所以，即或（舍），
所以；
综上可得.
19．（2025·高州模拟）若对于任意整数，，均有，则称数列为数列.
（1）设各项均为正整数且公差不为0的等差数列为数列，，求；
（2）证明：当时，数列为数列；
（3）证明：若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列.
【答案】（1）解：设公差为，由，
根据等差数列通项公式，
有，
化简得.
因为各项为正整数且，
所以，，
则.
（2）证明：要证，即证.
因为，幂函数在上是上凸函数，
所以，
所以数列是数列.
（3）证明：当时，，得，
当时，，
因为，
则，
所以，
两边取对数对恒成立，
因为，
所以，当时，
，矛盾，
所以不是数列.
【知识点】函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用和等差数列通项公式，从而列出不等式，化简得出公差的取值范围，再结合各项为正整数且，从而确定的值，进而求出等差数列的通项公式.
（2）将变形为，根据时幂函数的性质，从而证出不等式成立，进而证出当时，数列为数列.
（3）先由时的条件得出的取值范围，根据当时，的取值范围，从而得到，取对数后结合对数函数的单调性推出矛盾，证出若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列.
（1）设公差为，由，根据等差数列通项公式，有，化简得.
因为各项为正整数且，所以，，
则.
（2）要证，即证.
因为，幂函数在上是上凸函数，所以，所以是数列.
（3）当时，，得.
当时，，又，即，所以.
两边取对数对恒成立.
因为，
所以当时，，矛盾，所以不是数列.
1 / 1广东省茂名市高州市2025届高三高考适应性考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·高州模拟）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·高州模拟）随机变量，若，则实数的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
3．（2025·高州模拟）已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（　　）
A．2 B． C．±2 D．
4．（2025·高州模拟）已知向量，，且在方向上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·高州模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·高州模拟）已知函数，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·高州模拟）已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·高州模拟）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·高州模拟）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（　　）
A．
B．
C．为纯虚数
D．为关于的方程的另一个根
10．（2025·高州模拟）已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，相互独立，则 B．若，相互独立，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025·高州模拟）抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．存在直线，使得，，，四点共圆
D．面积的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·高州模拟）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是　 　.（写出一个满足条件的函数即可）
13．（2025·高州模拟）已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为　 　.
14．（2025·高州模拟）两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（2025·高州模拟）记的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
16．（2025·高州模拟）已知函数，.
（1）若，求图象在点处的切线方程；
（2）若函数在上的最小值是，求的值.
17．（2025·高州模拟）如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
18．（2025·高州模拟）已知双曲线的实轴长为，离心率为.
（1）求双曲线的标准方程：
（2）过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点.
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）记，分别为，的面积，求的取值范围.
19．（2025·高州模拟）若对于任意整数，，均有，则称数列为数列.
（1）设各项均为正整数且公差不为0的等差数列为数列，，求；
（2）证明：当时，数列为数列；
（3）证明：若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，
则，
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用解绝对值不等式的方法和元素与集合的关系，从而得出集合M，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，
所以随机变量的正态曲线关于对称，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出实数的值.
3．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，得圆心到直线的距离为2，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和点到直线的距离公式，从而得出实数m的值.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用数量积的坐标表示和向量的摸底坐标表示，从而得出，，再利用数量积求投影向量的公式，从而可得，求解得出x的值.
5．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和切化弦的方法，从而可得，再利用诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
6．【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：当时，不等式为，即，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
由于，则当时，函数在上单调递减，
所以，解得，所以；
综上，的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】分段讨论：将函数按定义域分为 和 两部分，分别处理不等式；
单调性与最值： 时，二次函数通过对称轴找最小值，确保最小值非负； 时，对数函数根据底数 范围确定单调性，找最大值并约束；
交集综合：两区间条件取交集，得参数 的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为，母线为，
则圆锥的高为，
则圆锥的体积为，
记，
则，
由，可得；
由，可得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值，则圆锥的体积最大，
此时，母线与底面所成的角为，其余弦值为.
故答案为：A.
【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，利用勾股定理求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式得出圆锥的体积，通过求导判断其单调性，从而可得体积的最大值及此时，再利用余弦函数的定义得出该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值.
8．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，
所以，又，，
所以，使得成立的最小整数为.
故答案为：B.
【分析】由题意和等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，再结合错位相减法可得，从而得出使得成立的最小整数的值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A，，
，故A正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为为关于的方程，
所以也是方程的根，故D正确；
对于B，因为，故B正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据复数乘法运算法则和除法运算法则以及复数模长公式，则判断出选项A和选项C；再利用复数范围内的求根公式可知复数是方程的根，则也是方程的根，则可判断选项D；再利用韦达定理判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：对于A、B，因为，相互独立，
则，，故A正确，B错误；
对于C，若，，，故C正确；
对于D，，
则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用独立事件乘法求概率公式和条件概率公式，则判断出选项A和选项B；在的条件下，利用判断出选项C；利用全概率公式和对立事件求概率公式，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，由题意得，直线过焦点，
设直线，
联立直线与抛物线方程，可得
设，
则，
所以，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，，故A正确；
对于B，由选项A知，，
则，
解得，故B正确；
对于C，因为，，
所以，
如果点，，，四点共圆，则，
因为抛物线，，
又因为，故C错误；
对于D，过点分别作⊥于点，⊥于点，⊥于点，
因为，的角平分线交于点，
所以，，
则，
设为的中点，连接，则轴，
因为，所以，
由选项A知，，
由选项B知，，
则
显然，当时，取得最小值，最小值为1，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设直线，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦长公式得出，则判断出选项A；利用，从而得出的值，则判断出选项B；先得到，若点，，，四点共圆，则，再利用数量积的坐标表示得到，则判断出选项C；作出辅助线，得到轴，则，再利用三角形的面积公式得到，再根据函数求最值的方法，从而求出面积的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】(答案不唯一)
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：根据题意，只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意，
所以，
则可以是.
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据题意，利用奇函数的定义和增函数的定义，从而得出满足要求的函数.
13．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设焦点在轴上，故，的坐标分别为，，
因为三角形是等边三角形，
所以两点关于轴对称，
所以，
又因为三角形的重心为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】不妨设焦点在轴上，由题意可得两点关于轴对称，由三角形的重心坐标公式可得，从而可得点的坐标，进而可得，，再利用椭圆的定义和椭圆的离心率公式，从而得出椭圆C的离心率.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：不妨先固定其中一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑，
则另一个袋子的取球可能总数为，
得分为3分的情况为：红白黑黑白，其中第2，3位可交换顺序，第4，5位可以交换顺序，
所以总数为，
黑白白黑红，其中第4，5位可以交换顺序，白白黑黑红，
其中第2，3位可交换顺序且黑白可以交换顺序，
所以总数为，
得分为4分的情况不存在，得分为5分的情况为：红白白黑黑，1种情况，
所以总得分大于2的概率为.
故答案为：.
【分析】先固定一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑，再分得3分，4分，5分时第二外袋子的每种排列数，利用分类加法计数原理和古典概率公式，从而得出取球5次后，总得分大于2的概率.
15．【答案】（1）解：因为
又因为，
所以
又因为，所以，
解得或，
所以或．
（2）解：若，，
由余弦定理，得：，
所以，
所以的周长为；
若，为直角三角形，斜边上的高为，
由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，
则该三角形不存在，故的周长为6．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，结合诱导公式和两角和的正弦公式，从而得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用已知条件和分类讨论的方法，若，利用三角形的面积公式，从而得出bc的值，再利用余弦定理得出b+c的值，结合三角形的周长公式得出的周长；若，为直角三角形，斜边上的高为，由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，则该三角形不存在，综上所述，的周长为6．
（1），
又，
所以
又，所以，解得或，
所以或．
（2）若，，
由余弦定理得，，
所以，所以的周长为；
若，为直角三角形，斜边上的高为，
由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，则该三角形不存在，
故的周长为6．
16．【答案】（1）解：当时，，
则，所以，
又因为，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
（2）解：由，，
则，
当时，，
则函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，由，得；
由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即当时，函数在上单调递减，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即当时，函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得，
综上所述，．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出函数图象在点处的切线方程.
（2）先求导，再分，两种情况结合区间，则由导数正负讨论函数的单调性，从而得出函数在上的最小值，再利用已知条件得出实数a的值.
（1）当时，，
则，则，又，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
（2）由，，
则，
当时，，则函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，函数在上单调递减，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即时，函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，解得.
综上所述，．
17．【答案】（1）证明：在平面ABC内过点作直线，因为平面，平面，所以，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
因为为的中点，所以，，，，
因为，所以，
又因为平面，平面，，所以平面；
（2）解：设，即，
则，
，，
设平面的一个法向量，则，
令，求得，即，
设直线与平面所成角为，
则，
令，
当时，取最小值，即，
即当时，取得最大值，.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到向量坐标，利用空间向量法证明即可；
（2）设出动点坐标得到线的方向向量，设平面法向量，由法向量垂直平面内任意两个相交向量求出一个法向量坐标，然后由线的方向向量和面的法向量表示出线面角的正弦值.对于表达式进行整理化简，构造函数，利用二次函数对称轴求函数的最大值即可.
（1）如图，在平面ABC内过点作直线，
∵平面，平面，∴，，
∴以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
∵为的中点，∴，
∴，，，
∴，即，
又∵平面，平面，，
∴平面.
（2）设，即
则，
，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，
即，
设直线与平面所成角为，
则，
令，
当时，取最小值，即，
即当时，取得最大值，，
18．【答案】（1）解：设焦距为，因为实轴长为，离心率为，
所以，
所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）（i）证明：当直线斜率为0时，，
直线的方程为，
令，可得，
此时的斜率为.
当直线斜率不为0时，设直线，
联立，可得，
因为直线与双曲线的左右两支交于两点，
所以，，
设，
则，
且，
解得，
则直线的方程为，
令，可得，
所以直线的斜率为，
化简可得，
由，
可得，
所以，
综上可得，直线的斜率为定值.
（ii）解：当直线斜率为0时，，
因为两个三角形相似，.
当直线斜率不为0时，此时，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
则或（舍），
所以；
综上可得，.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率公式和双曲线的实轴长以及双曲线中a，b，c三者的关系式，从而可得a，b，c的方程，解方程组得出a，b，c的值，从而得出双曲线C的标准方程.
（2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，从而写出韦达定理式，再利用两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再化简证出直线的斜率为定值.
（ii）根据斜率相等把面积比转化为线段比，再结合韦达定理得出的取值范围.
（1）设焦距为，因为实轴长为，离心率为，所以，
所以，故双曲线的标准方程为.
（2）（i）证明：当直线斜率为0时，，
的方程为；
令可得，此时的斜率为.
当直线斜率不为0时，设，
联立，可得，
因为直线与双曲线的左右两支交于两点，
所以，，
设，则，
且，解得.
的方程为，令可得，
所以的斜率为，
化简可得，
由可得，
所以；
综上可得，直线的斜率为定值.
（ii）当直线斜率为0时，，
两个三角形相似，.
当直线斜率不为0时，此时，
所以，
因为，所以，
因为，所以，即或（舍），
所以；
综上可得.
19．【答案】（1）解：设公差为，由，
根据等差数列通项公式，
有，
化简得.
因为各项为正整数且，
所以，，
则.
（2）证明：要证，即证.
因为，幂函数在上是上凸函数，
所以，
所以数列是数列.
（3）证明：当时，，得，
当时，，
因为，
则，
所以，
两边取对数对恒成立，
因为，
所以，当时，
，矛盾，
所以不是数列.
【知识点】函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用和等差数列通项公式，从而列出不等式，化简得出公差的取值范围，再结合各项为正整数且，从而确定的值，进而求出等差数列的通项公式.
（2）将变形为，根据时幂函数的性质，从而证出不等式成立，进而证出当时，数列为数列.
（3）先由时的条件得出的取值范围，根据当时，的取值范围，从而得到，取对数后结合对数函数的单调性推出矛盾，证出若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列.
（1）设公差为，由，根据等差数列通项公式，有，化简得.
因为各项为正整数且，所以，，
则.
（2）要证，即证.
因为，幂函数在上是上凸函数，所以，所以是数列.
（3）当时，，得.
当时，，又，即，所以.
两边取对数对恒成立.
因为，
所以当时，，矛盾，所以不是数列.
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