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2024-2025 学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 + 1 > 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 + 1 < 0 B. ∈ ， 2 + 1 ≤ 0
C. ∈ ， 2 + 1 ≤ 0 D. ∈ ， 2 + 1 < 0
2.已知随机变量 服从正态分布 ( , 2)，若 ( ≤ 0) = ( ≥ 2)，则( )
A. = 2 B. 2 = 2 C. = 0 D. = 1
3.若 = 2，则复数 = 2 + ( 为虚数单位)的模为( )
A. 17 85 8 2 105 B. 5 C. 5 D. 5
4.已知直线 = ( 1)与曲线 = 相切，则实数 的值为( )
A. 13 B.
1
2 C. 1 D. 2
5.一个袋子中装有除颜色外完全相同的 6 个红球和 4 个白球，从中一次性随机摸出 3 个球，用 表示这 3
3 3
个球中白球的个数，则下列概率中等于 10 6的是( )
310
A. ( = 1) B. ( ≤ 1) C. ( ≥ 1) D. ( = 3)
6.关于( 3 + 1 )14 的展开式，下列说法正确的是( )
A.第 7 项的二项式系数最大
B.当 = 1 时，( 3 + 1 )
14被 3 除的余数为 2
C.展开式中存在常数项
D.展开式中存在连续三项的系数成等差数列
7.若函数 ( ) = + ( 为自然对数的底数， ≈ 2.71828…)的图象上存在关于原点对称的点，则实数 的取
值范围为( )
A. [0, + ∞) B. [ 1 , + ∞) C. ( ∞,0] D. ( ∞,
1
]
2 2
8.在△ 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 △ 3 + 、 ，若 的面积为 4 3 ，则△ 三个内角中最
小的角的正弦值为( )
A. 14 B.
3
4 C.
1 3
2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.设样本空间 = { , , , }含有等可能的样本点，且 = { , }， = { , }， = { , }，则下列结论正确的
是( )
A.事件 ， ， 两两互斥 B.事件 ， ， 两两独立
C. ( ) = ( ) ( ) ( ) D. ( | ) = 12
10.设平面向量 , 满足| | = 2| | = 2， = 0，记 = + (2 ) ， = + (3 ) ， ∈ ，则下列说
法正确的是( )
A.存在 ，使得向量 与向量 垂直
B. | |的最小值为 3
C.若 = 1，则向量 在向量 上的投影向量为
D. 的最小值为 4
11.已知正四面体 的棱长为 4，四面体内部一点 (包含边界)到三个侧面 ， ， 的距离之
比为 1：1：2，则下列说法正确的是( )
A. 6正四面体 内切球的半径为 3
B.点 可以为△ 的重心
C. ⊥
D. △ 8 22面积的最小值为 11
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某学生最近五次的数学考试成绩分别为 125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第 30 百分位
数为______．
13 .已知函数 ( ) = 2 ( + 3 )，满足 ( + 2 ) + ( ) = 0，实数 可以为______. (写出满足条件的一个
即可)
14.已知函数 ( ) = 3 2 + + 1，若存在实数 ，使得 ( )在区间( ∞, ]上有三个零点，则实数 的
取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3 3
已知函数 ( ) = 2 2 2 2 + 1．
(1)求函数 ( )的最小正周期和单调递增区间；
(2)在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 2, ( ) = 1 3，求△ 外接圆的面积．
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16.(本小题 15 分)
在△ 中， = = 2，∠ = 120°，若平面 外的点 和线段 上的点 ，满足 = ， = ，
21四面体 的体积为 6 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织 1000 名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔 400 名
学生入围复赛(划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围)，如图是根据预赛成绩(满分 150 分)整理
后绘制成的频率分布直方图．
(1)估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线；
(2)从参加预赛的 1000 名学生中随机抽取 30 人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为 ，求 ( )；
(3)为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的 600 名学生中推荐 100
名学生参加复赛.若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为 0.1，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖
的概率为 0.4.在入围复赛的 500 名学生中随机抽取 1 名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = + ( 2) ，( ∈ )．
(1)若函数 = ( )存在 2 个零点，求 的取值范围；
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(2)记 ( ) = | ( )| + | ( )|，
①当 = 1 时，求 ( )的最小值；
②若 ( )的最小值为 2，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理.
比如“ +1 = + 1 ”；一方面问题视为从包含 的 + 1 个不同的元素中取出 个元素，共有 +1种方
法；另一方面，还可以视为取出的 个元素中，一类是不含有 ，共有 种方法，一类是含有 ，共有 1
种方法，由分类加法计数原理有 1 +1 = + .“算两次”原理在数学中有广泛的应用．
(1)若函数 ( )对任意 ∈ (0, + ∞)都有 2 ≤ ( ) ≤ 2恒成立，求 ( )的值( 为自然对数的底数， ≈
2.71828…)；
(2)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，角 的内角平分线交 于 ，证明：( )cos 2 = ( +

2 )；
(3)当 ≥ 3 时，求 2 =1 [ 1 + ( 1) ] 的值. (结果用含 的式子表示)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.123
13.2(答案不唯一)
14.(1, + ∞)
15.(1) 3 3 由题意得， ( ) = 2 2 2 2 + 1 = 3cos(2 + 3 ) + 1，
2
可得函数 ( )的最小正周期 = 2 = ，

可得函数的单调递增区间满足 + 2 ≤ 2 + 3 ≤ 2 + 2 , ∈ ，
+ ≤ ≤ 5 解得3 6 + , ∈ ，
5
所以 ( )的单调递增区间为[ 3 + , 6 + ], ∈ ；
(2)由 ( ) = 1 3 得 3cos(2 + 3 ) + 1 = 1 3，

故 cos(2 + 3 ) = 1，
因为 0 < < < 2 + < 7 ，可得3 3 3，
所以 2 + 3 =

，解得 = 3；
设△ 外接圆的半径为 ， = 2，
4 3
由正弦定理得 2 = = 3 ，
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= 2 3故 3 ，
所以△ 外接圆的面积为 2 = 4 3．
16.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
由 = ， = ，
得 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)设点 到平面 的距离为 ，直线 与平面 所成角为 ，
则四面体 的体积为1 = 1 × 1 × 2 × 2 × 3△ =
3 ，
3 3 2 2 3
因为四面体 的体积为 21，
6
所以 3
3 =
21，
6
解得 = 7，2
所以 = 7， = 4
即直线 与平面 所成角的正弦值为 7．
4
17.(1)根据频率分布直方图的平均数公式可得：0.1 × 15 + 0.2 × 45 + 0.3 × 75 + 0.25 × 105 + 0.15 ×
135 = 79.5，
400
又因为1000 = 0.4，并且前三个矩形面积之和为 30 × (
1 + 1 + 1300 150 100 ) = 0.6，
所以第 60 百分位数为 90，所以估计入围分数线为 90 分；
(2)根据题意可知 满足二项分布 ～ (30,0.4)，所以根据公式可得 ( ) = 30 × 0.4 = 12；

(3)设 =“在复赛中获奖”， =“由推荐入围复赛的学生”， =“由预赛入围复赛的学生”，

所以 ( ) = 0.2， ( ) = 0.8， ( | ) = 0.1， ( | ) = 0.4，
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进而得到 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 0.2 × 0.1 + 0.8 × 0.4 = 0.34，
因此抽取的学生在复赛中获奖的概率为 0.34．
18.(1) = ( )的定义域为(0, + ∞)，令函数 ( ) = = 0 = ，那么 ，

设函数 ( ) = ，那么导函数 ′( ) =
1
2 ，令 ′( ) = 0，得 = ，
当 > 时， ′( ) < 0，当 0 < < 时， ′( ) > 0，
因此函数 ( ) = 在( , + ∞)上单调递减，在(0, )上单调递增，
由于 (1) = 0， ( ) = 1 ，当 →+∞时， ( ) → 0，因此 ∈ (0,
1
).
(2)①当 = 1 时，函数 ( ) = 2| |，
1
设函数 ( ) = ，那么导函数 ′( ) = ，
令 ′( ) = 0，得 = 1，
当 > 1 时， ′( ) > 0，当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，
因此函数 ( ) = 在(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
因此 ( ) = (1) = 1，当 = 1 时， ( )取到最小值 2．
② ( ) = | | + | + 2 | ≥ |2 2 |，
由①知，|2 2 | ≥ 2，当且仅当 = 1 取到等号，所以 (1) = | | + | 2| = 2，
所以 ∈ [0,2]．
19.(1)由 ( ) ≤ 2，可得 ( ) ≤ ，
由 ( ) ≥ 2 ，可得 ( ) ≥ ，
所以 ( ) = ；
(2)证明：要证：( )cos 2 = ( +

2 )，

由正弦定理可得，只需证：( )cos 2 = ( + 2 )，
即证： 2 +

2

2 =

2

2，

即证： 2 2 = 2，
又因为 ≠ 0，

所以即证： 2 cos 2 = 2，
只需证： 2 +

2 = cos 2，
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而左边= 2 +

2 = cos(

2 ) = cos

2 =右边，
所以( )cos 2 = ( +

2 )成立．
(3)先计算 2 =1 ，
构造一个组合问题：从 名学生中选出若干人组成班干部，并从中选出班长 1 名及团支书 1 名(班长和团支
书可由 1 人兼任)．
一方面，若班长和团支书由 1 人兼任有 1种方法，其余 1 人有2 1种选法，共有 1 × 2 1 种方法；
若班长和团支书分别由 2 人担任有 2 2 2 2 种方法，其余 2 人有2 种选法，共有 × 2 此时，
故总的方法数为 1 × 2 1 + 2 × 2 2 = 2 1 + ( 1) 2 2 = 2 2 2 + ( 1) 2 2 = ( +
1)2 2种．
另一方面，从 人中选出 人组成班干部有 种选法，
再从中选出班长 1 人及团支书 1 人(可由同一人兼任)有 1 1 种选法( = 1,2,3, …, )，
故对每一个 有 1 1 种选法，
故总的方法数为 2 =1

，
所以 2 =1 = ( + 1)2
2；
再计算 ( 1) 2 =1

，
对等式(1 + ) = 0 + 1 + 2 2 + … + 两边对 求导，
得 (1 + ) 1 = 1 + 2 2 1 + … + ( 1) 2 + 1 ①，
①式两边对 求导得 ( 1)(1 + ) 2 = 2 2 3 + 3 × 2 + … + ( 1) 2 ②，
对于①，令 = 1，整理得 ( 1) 1 =1

= 0，
对于②，令 = 1，整理得 2 =2 ( 1) ( ) = 0，
所以 =1 ( 1)
2 = 0，
综上有 2 2 =1 [ 1 + ( 1) ] = ( + 1)2 ．
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