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2024-2025 学年内蒙古乌海一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (1,2)， = ( , 4)，且 // ，则实数 的值为( )
A. 2 B. 8 C. 2 D. 8
2.如图，水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = ′ ′ = 2，
′ ′ = 2，则四边形 的周长为( )
A. 20
B. 12
C. 8 + 4 3
D. 8 + 4 2
3.已知平行六面体 1 1 1 1的体积为 1，若将其截去三棱锥 1 1 1，则剩余部分几何体的体
积为( )
A. 712 B.
2
3 C.
3 5
4 D. 6
4.在三角形 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且(2 ) = ，则三角形
的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
5.在△ 中， = ， = 2， = 45°，若此三角形有两解，则 的取值范围是( )
A. > 2 B. < 2 C. 2 < < 2 2 D. 2 < < 2 3
6.若 2 = 2 55 ，sin( ) =
10
10 ，且 ∈ [
, 4 2 ]， ∈ [ ,
3
2 ]，则 + =( )
A. 11 B. 7 5 4 6 4 C. 3 D. 3
7.若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A. 23 B. 2 3 C. 3 D.
2
6
8.如图，已知正方形 的边长为 4，若动点 在以 为直径的半圆上(正方形 内部，含边界)，则
的取值范围为( )
A. (0,16)
B. [0,16]
C. (0,4)
D. [0,4]
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1+3 .若复数 满足 = 41+ ( 是虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A.复数 的虚部为 B. 的模为 2
C. 的共轭复数为 1 D.复数 在复平面内对应点在第一象限
10 1.下列代数式的值为4的是( )
A. cos275° sin275° B. 15°1+tan215
C. 36° 72° D. 4 10° 30° 50° 70°
11.已知点 ， ， 在△ 所在平面内，下列说法正确的有( )
2
A.若 =
2 2= ，则 是△ 的内心
B.若 + + = 0，则 △ = △ = △
C.若 = = ，则 为△ 的垂心
D.若( 1 + ) = 0，且| | | | | | | = 2，则△ 为等边三角形|
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则圆锥的表面积为______．
13 1.已知球 的半径为 ， ， ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 的距离为2 ， = = = 3，
则球 的体积为______．
14.如图所示，在△ 中， = ， = ， ， 分别是 ， 上的点，且
= 13 ，
= 1 2
.设 与 交于点 ，用向量 , 表示 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知| | = 4，| | = 2，且 与 夹角为 120°，求：
(1)|2 |；
(2) 与 + 的夹角．
16.(本小题 15 分)
如图，在高为 2 的正三棱柱 1 1 1中， = 2， 是棱 的中点．
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(1)求三棱锥 1 1 1的体积；
(2)设 为棱 1 1的中点， 为棱 1上一点，求 + 的最小值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, 2 < < 0)的部分图像如图所示．
(1)求 ( )的解析式及对称中心；
(2)若 ( ) = 32， ∈ [

2 ,

2 ]求 的值；
(3)若方程 2 ( ) 3 3 = 0 在(0, )上恰有 5 个不相等的实数根，求 的取值范围．
18.(本小题 15 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的三个正三角形的面积依次为 1， 2，
63.已知 1 2 + 3 = 3 ．
(1)求 ；
(2) △ 9 若 外接圆面积为 4，求 的最大值；
(3) = 3 2若 4 ，且△
2 3
的角平分线 = 3 ，求 + ．
19.(本小题 17 分)
定义平面凸四边形为没有内角度数大于 180°的四边形.如图，已知平面凸四边形 中， = 3， = 2 3，
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= 6．
(1)若四边形 被对角线 分为面积相等的两部分，且∠ = 60°；
①求 的长；
②若 = 2 ，求 3 的值．
(2)若 = 3 3，求四边形 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.32 3
14.1 + 2 5 5
15.解：(1)由已知得 = | | | | 120° = 4 × 2 × ( 12 ) = 4，
∴ (2 2
2
) = 4 2 4 + = 64 + 16 + 4 = 84，
∴ |2 | = 2 21．
2
(2) ∵ ( + )2 = 2 + 2 + = 16 8 + 4 = 12，
∴ | + | = 2 3，
∵ ( + ) = 2 + = 16 4 = 12．

∴ cos < , + >= ( + ) 12 3
| | | +
=
| 4×2 3
= 2 ，
∴ 与 + 的夹角为6．
16.解：(1)因为在高为 2 的正三棱柱 1 1 1中， = 2， 是棱 的中点．
所以 3 2△ 1 1 1 = ，4 × 2 = 3
所以 1 1 2 3 1 1 1 = 3 × △ 1 1 1 × 1 = 3 × 3 × 2 = ；3
(2)将侧面 1 1绕 1旋转至与侧面 1 1共面，
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为棱 1 1的中点， 为棱 1上一点，如图所示：
当 ， ， 三点共线时， + 取得最小值，
且最小值为 22 + (2 + 1)2 = 13．
17. (1) 7 解： 由题意可得 = 3，周期 = 4( 12 3 ) = ，
则 = 2， ( ) = 3 (2 + )，
7 7
将点( 12 , 3)代入可得 2 × 12 + = 2 + ， ∈ ，
解得 = 6 + 2 ( ∈ )，∵ 2 < < 0，∴ = 6， ( ) = 3 (2 6 )；

令 2 3 = + 2， ∈ ，解得 = 3 + 2 , ( ∈ )，
( ) 的对称中心为( 3 + 2 , 0), ( ∈ )；
(2)由(1)知 ( ) = 3 (2 6 )，
∴ 3 (2 6 ) =
3
2，即 cos(2

6 ) =
1
2，
∴ 2 2 4 6 = 3 + 2 或 2 6 = 3 + 2 , ∈
又 ∈ [ 2 , 2 ]，

∴ = 5 = 12或 4．
(3) (1) ( ) = 3 (2 ) ( ) = 2 ( ) 3 3 = 6 (2 由 知 6 ，则 6 ) 3 3，
由函数 ( ) = 2 ( ) 3 3在(0, )上恰有 5 个零点，
即 6 (2 6 ) 3 3 = 0 在(0, )上恰有 5 个解，
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即 cos(2 6 ) =
3在(0, )上恰有 5 个解，
2
∵ ∈ (0, )，∴ = 2 6 ∈ (

6 , 2 6 )，
即函数 = 与 = 3在区间 ∈ ( 6 , 2 )有 5 个交点，2 6
25
则 6 < 2
≤ 35 13 6 6 ，解得 6 < ≤ 3 ，
13 故 的范围为( 6 , 3 ].
18.(1)因为 1 2 + 3 =
6
3 ，
3 3 3
所以 2 2 24 4 + 4 =
6
3 ，
即 2 2 + 2 = 4 23 ，
由 2 = 2 2 + 2 = 4 23 ，
所以 = 2 23 ．
(2) 9 3由外接圆面积为 4得半径 = 2，
由(1) = 2 23 ，所以 =
1
3，

由正弦定理得 = 2 = 3，解得 = 1，
由余弦定理得 1 = 2 + 2 2 4 2，即 1 = 2 + 2 3 ≥ 2
4 2
3 ，当且仅当 = 时等号成立，
9+6 2
化简得 ≤ 2 ，
9+6 2所以 的最大值为 2 ．
(3)因为 是△ 的角平分线，则∠ = 2∠ = 2∠ ，
1 1 3 2 1 1
所以△ 的面积 = 2 ∠ = 2 × 4 × 3 = 2 ∠ +
1
2 ∠ ，
1 2 3 ∠ 2 6
所以2 ( + ) 3 sin 2 = 8 ，则 + = ，8 ∠ 2
由 cos∠ = 2 2 ∠ 2 23 ，所以 2
2
2 = 1 3 ，
∠ 2 1
解得 sin 2 = 6 ，
综上， + = 3+3 24 ．
19.解：已知平面凸四边形 中， = 3， = 2 3， = 6，
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(1)已知四边形 被对角线 分为面积相等的两部分，且∠ = 60°，
①如图，在△ 中，∠ = 60°， = 3， = 6，
由余弦定理可得 2 = 32 + 62 2 × 3 × 6 × 60° = 27，则
= 3 3，
注意到 2 + 2 = 2，所以∠ = 90°，
1
又 △ = △ ，得2 60° =
1
2 ∠ ，
即 9 60° = 9 ∠ sin∠ = 32 ，
又因为四边形 为凸四边形，0 < ∠ < 90°，故∠ = 60°，
则在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 60° 2 = 12 + 27 18 = 21，
所以 = 21．
②由①，如图，以 为原点，建立平面直角坐标系，
所以 (0,0)， (3 3, 0)， (0,3)， ( 3, 3)，则 = (3 3, 0)．
( , ) = 2设 ，由 3
，
= 2 2 = 2 + 1 = ( 2 3得 3 3 3 3 3 , 1)，
则
2
= 43+ 1 =
7
3 ,
= 6，
则 = ( ) = 2 = 113．
(2)若 = 3 3，
在△ 和△ 中，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 2 ，
则 2 = 45 36 = 39 36 = 16，
四边形 面积为： = △ + △ =
1
2 ( + ) = 9 + 9 ，
2
即9 = +
+ 1，所以 2 281 36 = ( + ) + ( )
= 2 2( ) = 2 2 ( + ) ≤ 4，
当且仅当 + = ，即 = 1 112， = 12时，cos( + )取最小值，
2 1 1287 3 143
则 281+ 36 ≤ 4 ≤ 4 = 2 ，
3 143
所以四边形 面积 的最大值为 2 ．
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