资源简介

2024-2025 学年河北省保定三贯通实验班中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.函数 ( ) = 5 的定义域为( )
A. ( ∞,2] B. ( ∞,5) ∪ (5, + ∞)
C. [2, + ∞) D. [2,5) ∪ (5, + ∞)
2.命题 ： > 0， 2 + 3 + 1 < 0 的否定是( )
A. ≤ 0， 2 + 3 + 1 ≥ 0 B. > 0， 2 + 3 + 1 ≥ 0
C. > 0， 2 + 3 + 1 ≥ 0 D. ≤ 0， 2 + 3 + 1 ≥ 0
3.已知函数 ( )为奇函数，且当 > 0 时， ( ) = 2 1，则 ( 2) =( )
A. 54 B.
3
4 C. 3 D. 3
4 1.若不等式 2 2 + + 1 > 0 的解集{ | 2 < < }，则 ， 值是( )
A. 1，1 B. 1， 1 C. 1，1 D. 1， 1
5.已知二次函数 ( )满足 ( + 1) = ( ) + 2 ，且 (1) = 2，则 ( )的解析式是( )
A. ( ) = 2 + 2 B. ( ) = 2 + + 2
C. ( ) = 2 + 1 D. ( ) = 2 + + 1
6.已知函数 ( ) = 2 2 + 3 在( ∞,2]上是减函数，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 1] B. [ 1, + ∞) C. ( ∞,2] D. [2, + ∞)
7 ( ).已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，在区间[0, + ∞)上单调递减，且 ( 2) = 0，则不等式 < 0 的解
集为( )
A. { | < 2 或 > 2} B. { | 2 < < 0 或 0 < < 2}
C. { | < 2 或 0 < < 2} D. { | 2 < < 0 或 > 2}
8.已知函数 ( ) = 2 2 2(4 ) + 1， ( ) = ，若对于任一实数 ， ( )与 ( )至少有一个为正数，
则实数 的取值范围是( )
A. (0,2) B. (0,8) C. (2,8) D. ( ∞,0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中为奇函数且在(0, + ∞)上单调递增的是( )
A. ( ) = B. ( ) = 1 C. ( ) = | | D. ( ) = +
1

第 1页，共 6页
( ≥ )
10.定义运算 = ( < )，设函数 ( ) = ( + 1) ( + 1)
2，则下列命题正确的有( )
A. ( )的定义域为
B. ( )的值域为
C. ( )的单调递减区间为( ∞, 1]
D.不等式 ( ) > 1 的解集为{ | < 2 或 > 0}
11.若 ， 均为正实数，且满足 2 + = 1，则( )
A. 1的最大值为8 B. ( +
1
16 )(4 +
1
)的最小值为 4
C. 1 + 的最小值为 4 D.
1 4 9
2 + +1的最小值为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) 满足 ( 1) = 1，则 (2) = ______．
2 + + 2, ≤ 1
13.已知函数 ( ) = 1 , > 1 在 上单调递减，则实数 的取值范围为______．3
14.定义：对于函数 ( )，若定义域内存在实数 0满足： ( 0) = ( 0)，则称 ( )为“局部奇函数”.若
( ) = 1 3 + 是定义在区间( 1,1)上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
设集合 = ， = { |0 ≤ ≤ 3}， = { | 1 ≤ ≤ + 1}．
(1)若 = 3，求 ∩ ( )；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知 = ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0 时， ( ) = 2 2 ．
(1)求 (1)， ( 2)的值；
(2)求 ( )的解析式；
(3)画出 = ( )的简图，写出 = ( )的单调区间. (只需写出结果，不要解答过程)
第 2页，共 6页
17.(本小题 15 分)
2+
已知函数 ( )是定义域为 的奇函数，当 ≥ 0 时， ( ) = +3．
(1)求实数 的值；
(2)判断 = ( )在区间[0, + ∞)上的单调性，并用定义法证明；
(3)若 (1 ) + (2 + 1) > 0，求实数 的取值范围．
18.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 5， ∈ [ 1,2]．
(1)当 = 4 时，求 ( )的最大值；
(2)若 ( )的最小值为 5，求实数 的值．
19.(本小题 17 分)
函数 = ( )的定义域为 ，若存在正实数 ，对任意的 ∈ ，总有| ( ) ( )| ≤ ，则称函数 ( )具
有性质 ( )．
(1)分别判断函数 ( ) = 2024 与 ( ) = 是否具有性质 (1)，并说明理由；
(2)已知 = ( )为二次函数，且具有性质 (2).求证： = ( )是偶函数．
第 3页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.32
13.[ 83 , 2]
14.[ 13 ,
3
8 )
15.解：(1)由题意知当 = 3 时， = { |2 ≤ ≤ 4}，故 = { | < 2 或 > 4}，
而 = { |0 ≤ ≤ 3}，故 A∩ ( ) = { |0 ≤ < 2}；
(2)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，可得 ，
又 + 1 > 1 0 ≤ 1,，故需满足 + 1 ≤ 3,且 0 ≤ 1， + 1 ≤ 3 中等号不能同时取得，
解得：1 ≤ ≤ 2，
综上所述： 的取值范围为{ |1 ≤ ≤ 2}．
16.解：(1) ∵ = ( )是定义在 上的偶函数，且当 ≥ 0 时，
( ) = 2 2 ，
∴ (1) = 12 2 × 1 = 1， ( 2) = (2) = 22 2 × 2 = 0；
(2)偶函数 ( )在 ≥ 0 时， ( ) = 2 2 ，
当 < 0 时， ( ) = ( ) = ( )2 2 × ( ) = 2 + 2 ，
2
∴ ( ) = 2 , ≥ 0；
2 + 2 , < 0
(3) ≥ 0 时， = 2 2 ，抛物线开口向上，对称轴是 = 1，
第 4页，共 6页
顶点坐标是(1, 1)，
与 轴交点坐标为(0,0)，(2,0)，
作出图象，再关于 轴作对称图形即可得 ( )的图象，如图所示：
由函数的图象知，增区间是( 1,0)和(1, + ∞)，减区间是( ∞, 1)和(0,1)．
17.解：(1) ∵函数 ( ) 是定义域为 的奇函数，∴ (0) = 3 = 0，解得 = 0，
经检验符合题意．
(2) ( )在区间[0, + ∞)上单调递增，证明如下：
1， 2 ∈ [0, + ∞)，且 1 < 2，
∵ 0 ≤ 1 < 2，∴ 1 2 < 0， 1 2 + 3 1 + 3 2 > 0，( 1 + 3)( 2 + 3) > 0，
2 2
有 ( 1) ( 2) =
1 2 1+3 2+3
2 2
= 1( 2+3) 2( 1+3) = 1 2( 1 2)+3(
2
1
2
2) ( 1 2)( 1 2+3 1+3 2)
( 1+3)( +3) (
=
2 1+3)( 2+3) ( 1+3)( +3)
< 0，
2
∴ ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2). ∴ ( )在区间[0, + ∞)上单调递增；
(3)由题意得 ( )是奇函数，且 ( )在区间[0, + ∞)上单调递增，
∴根据奇函数的对称性可得，( )在 上单调递增．
∴由 (1 ) + (2 + 1) > 0 得 (2 + 1) > (1 ) = ( 1)，
∴ 2 + 1 > 1，解得 > 2，
∴实数 的取值范围是 ∈ ( 2, + ∞)．
18.解：(1)当 = 4 时， ( ) = 2 2 4 + 5 = 2( 1)2 + 3，
∵ ∈ [ 1,2]， ( )在[ 1,1]上为减函数，在(1,2]上为增函数，
( 1) = 11， (2) = 5，
∴ ( ) = ( 1) = 11；
2
(2) ( ) = 2( )2 + 5 , ∈ [ 1,2] ( ) 4 8 ， 图象的对称轴为 = 4
2
当 1 ≤ 4 ≤ 2，即 4 ≤ ≤ 8 时， ( ) = 5

8 = 5
解得 =± 4 5，舍去；

当4 < 1，即 < 4 时， ( )在[ 1,2]上为增函数， ( ) = ( 1) = 7 + = 5，解得 = 12；

当4 > 2，即 > 8 时， ( )在[ 1,2]上为减函数， ( ) = (2) = 13 2 = 5，解得 = 9
综上所述， 的值为 12 或 9．
第 5页，共 6页
19.(1) ( ) = 2024 具有性质 (1)； ( ) = 不具有性质 (1).理由如下：
当 ( ) = 2024， ( ) = 时，
| ( ) ( )| = |2024 2024| = 0 < 1，
所以 ( ) = 2024 具有性质 (1)；
| ( ) ( )| = | ( )| = |2 |．
当 = 1 时，| (1) ( 1)| = 2 > 1，
所以 ( ) = 不具有性质 (1)．
(2)证明：设 = ( ) = 2 + + ( ≠ 0)满足性质 (2)，
则| ( ) ( )| = | 2 + + ( 2 + )| = |2 | ≤ 2．
当 = 0 时，|2 | = 0 < 2，此时 可以为任何实数；
≠ 0 | | ≤ 2 1当 时， 2| | = | |恒成立，所以| | ≤ 0，又| | ≥ 0，故 = 0．
综上所述，函数 = ( )具有性质 (2)时， = 0，
此时 ( ) = ( )，即 = ( )为偶函数．
第 6页，共 6页

展开更多......

收起↑