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2024-2025 学年甘肃省平凉一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算中错误的是( )
A. (3 ) = 3 3 B. ( ) = 1 ′ ′ 2
C. ( + ) 1′ = + D. (
)′ =
2.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 5 ， = 1 2，则 =( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3.过点( 1,1)的直线 与曲线 ( ) = 3 2 2 + 1 相切，则直线 的斜率为( )
A.不存在 B. 1 C. 3 D. 3 或 1
4.设 ( )是定义在[ 3,3]上的奇函数，其导函数为 ′( )，当 0 ≤ ≤ 3 时， ( )图象如图所示，且 ( )
在 = 1 处取得极大值，则 ( ) ′( ) > 0 的解集为( )
A. ( 3, 1) ∪ (0,1)
B. ( 3, 1) ∪ (1,3)
C. ( 1,0) ∪ (0,1)
D. ( 1,0) ∪ (1,3)
5.投掷 3 枚质地均匀的骰子，设事件 =“这 3 枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件 =“恰有 1 枚骰子
朝上的点数为奇数”，则 ( | ) =( )
A. 12 B.
3 1 3
4 C. 4 D. 8
6 .平行六面体 1 1 1 1中，底面 为正方形，∠ 1 = ∠ 1 = 3， 1 = = 1， 为 1 1
的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为( )
A. 0
B. 32
C. 12
D. 34
7.已知函数 ( ) = ln( 2 + 1 + ) 2 +1，则不等式 ( ) + (2 1) > 2 的解集是( )
A. ( 13 , + ∞) B. (1, + ∞) C. ( ∞,
1
3 ) D. ( ∞,1)
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8.如图，在菱形 中， = 4 3，∠ = 60°，沿对角线 将△ 折起，使点 ， 之间的距离为3 2 2，
若 ， 分别为线段 ， 上的动点，则下列说法错误的是( )
A.平面 ⊥平面
B.线段 的最小值为 2
C.当 = ，4 = 时，点 到直线 的距离为 14
14
D.当 ， 分别为线段 ， 的中点时， 与 所成角的余弦值为 6
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机变量 的分布列为
1 2 3 4
1 1 1
3 4 6
则下列选项正确的是( )
A. = 14 B. (| 3| = 1) =
5
12
C. ( ) = 3512 D. ( ) =
19
16
10.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成
的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如
1 1
图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 在 上，且 = 3 ；点 在 1上，且 = 3 1.
则下列结论正确的是( )
A.线段 是异面直线 与 1的公垂线段
B. 1异面直线 1与 的距离为2
C.点 1到直线 的距离为
14
3
D.点 1到平面 的距离为
6
3
11.已知函数 ( ) = 2 1 + 2 2，则下列结论正确的是( )
A. ( )的定义域为
B. ( )是偶函数
C. ( )是奇函数
D.对任意的 ∈ ( ∞,0) ∪ (0, + ∞)， ( ) > 2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.向量 = ( 1, , 4)与 = (2 , 8, )共线，且方向相同，则 + = ______．
13.某校面向高一全体学生共开设 3 门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之
比为 6：3：1，考核优秀率分别为 20%、16%和 12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一
名，其成绩是优秀的概率为______．
14.已知 ( ) = 1 + , ( ) =
2 4 3，若 1 ∈ [ 2, 1]， 2 ∈ [1, ]， ( 1) < ( 2)成立.则实数
的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设数列{ }是公差不为零的等差数列， 1 = 1，若 1， 2， 5成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 1设 = 2 + 3 ( ∈ )，求数列{ }的前 项和为 ． +1 1
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 10 + 12 ．
(1)求函数 ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)求 ( )的单调区间和极值．
17.(本小题 15 分)
为积极响应国家医药卫生体制改革及 2023 年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念
落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人
民医院打算从各科室推荐的 6 名医生中任选 3 名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这 6 名医生中，
外科医生、内科医生、眼科医生各 2 名．
(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；
(2)设 表示选出的 3 人中外科医生的人数，求 的分布列，均值，方差．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，△ 为等边三角形，平面 ⊥平面 ，
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⊥ .点 在线段 上．
(1)若 3 = ，在 上找一点 ，使得 ， ， ， 四点共面，并说明理由；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)若直线 与平面 30所成角的正弦值为 10 ，求二面角 的余弦值．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点 ( 2,0)，且 = 2 ．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)设 为原点，过点 (1,0)的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且直线 与 轴不重合，直线 ， 分别与 轴
交于 ， 两点.求证：| | | |为定值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.14
13.0.18
14.(2 + 7, + ∞)
15.解：(1)设数列{ }是公差为 ( ≠ 0)的等差数列， 1 = 1，
若 1， 2， 5成等比数列，可得 1 × (1 + 4 ) = (1 + )2，
解得 = 2 或 = 0(舍去)，
则 = 1 + 2( 1) = 2 1．
(2) = 1 + 3 = 1 2 1 1 1 1 2 1 2 +1 1 (2 +1)2 1
+ 3 = 4 ( +1 ) + 3 ，
可得前 项和 = 1 (1 1 + 1 1 + + 1 1 ) + (3 + 27 + + 32 1 4 2 2 3 +1 )
= 1 (1 1 ) + 3(1 9
)
4 +1 1 9 =
3
4 +4 + 8 (9 1)．
16.(1)函数 ( ) = 2 10 + 12 ，于是 (1) = 9，求导得 ′( ) = 2 10 + 12 ，
解得 ′(1) = 4，所以所求切线方程为 + 9 = 4( 1)，即 = 4 13．
(2)函数 ( ) = 2 10 + 12 的定义域为(0, + ∞)，
12 2( 2)( 3)
求导得 ′( ) = 2 10 + = ，
当 0 < < 2 或 > 3 时， ′( ) > 0，当 2 < < 3 时， ′( ) < 0，
因此函数 ( )在(0,2)，(3, + ∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，
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当 = 2 时， ( )取得极大值 (2) = 16 + 12 2，
当 = 3 时， ( )取得极小值 (3) = 21 + 12 3，
所以函数 ( )的递增区间为(0,2)，(3, + ∞)，递减区间为(2,3)，
极大值 16 + 12 2，极小值 21 + 12 3．
17.(1)事件总数为 36 = 20，
其中外科医生 2 名，内科医生 2 名，眼科医生 2 名，
设事件 =“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，故有两种情况：
恰好选出 1 名外科医生和 2 名眼科医生和恰好选出 2 名外科医生，
用 1表示“恰好选出 1 名外科医生和 2 名眼科医生”， 2表示“恰好选出 2 名外科医生”，
且 1， 2互斥，
1 2 2 1
( ) = 2 2 = 2×1 = 1 ( ) = 2 4 = 1×4 1因为 1 36 20 10
， 2 36 20
= 5，
所以概率为 = ( ) + ( ) = 11 2 10 +
1
5 =
3
10；
0
(2) 0 1 2 ( = 0) = 2
3 1×4 1 1 24 = = ( = 1) = 2 4 = 2×6 3由题知 可为 ， ， ，故
3 20 5
，
3
=
6 6 20 5
，
2 1
( = 2) = 2 4 = 1×4 = 1
36 20 5
，
0 1 2
0.2 0.6 0.2
1 3 1
将表格数据代入期望公式可得 ( ) = 0 × 5 + 1 × 5 + 2 × 5 = 1，
( ) = (0 1)2 × 1 2 35+ (1 1) × 5 + (2 1)
2 × 1 = 15 5+ 0 +
1 2
5 = 5．
18.解：(1)当 3 = 时， 、 、 、 四点共面，理由如下：
证明：令 3 = ，∵ 3 = ，

即 = ，∴ // ，
又∵ // ，∴ // ，
故 E、 、 、 四点共面；
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(2)取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
∵△ 为等边三角形， = 2，
∴ ⊥ ， = 1， = 3，
又平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， // ，
∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ，且 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
在菱形 中， = 2，则 = 3， = 2 + 2 = 6，
设点 到平面 的距离为 ，
= 1 1则 ，即3 △ = 3 △ ，
1 1 1
即3 × 2 × 2 × 6 = 3 ×
1
2 × 3 × 2 × 3，
解得 = 62 ，
6故点 到平面 的距离为 2 ；
(3)由(2)得 ， ， 两两垂直，则建立以 为原点的空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (0,0, 3)， ( 2, 3, 0)， (1,0,0)， ( 1,0,0)，
为线段 上一点，设 = ，则 ( 2 , 3 , 3 3 )，
∴ = ( 2 1, 3 , 3 3 )，
∵ ⊥平面 ，
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∴平面 的法向量为 = (0,0, 3)，

∴ |cos < , > | | | =
|3 3 | = 30，
| | | | ( 2 1)2+3 2+( 3 3 )2 3 10
1
解得 = 3．
( 2 3 2 33 , 3 , 3 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = 2 = 0则 ，则 = 5 + 3 + 2 3
，
⊥ 3 3 3 = 0
取 = 2，则 = 0， = 1，
∴平面 的法向量为 = (0, 2,1)，
设二面角 的平面角为 ，
| | = |cos < , > | = |
| 3 5
则 =
| | | | 3× 5
= 5 ，
由图知，二面角 的平面角为锐角，
5
故二面角 的余弦值为 5 ．
19.解：(Ⅰ)因为椭圆 过点 ( 2,0)，
所以 = 2，
因为 = 2 ，
所以 = 1，
2
所以椭圆 的方程为 + 24 = 1．
(Ⅱ)当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 = 1，
3 3
不妨设此时 (1, 2 )， (1, 2 )，
3
所以直线 的方程为 = 6 ( + 2)，即 (0,
3
3 )，
3 3
直线 的方程为 = 6 ( + 2)，即 (0, 3 )，
所以| | | | = 13；
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 = ( 1)， ≠ 0，
= ( 1),
由 2 2 得(4
2 + 1) 2 8 2 + 4 2 4 = 0，
4 + = 1
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依题意，△> 0，
2 2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 =
8
4 2+1， 1 2 =
4 4
4 2+1，

又直线 的方程为 = 1 1+2
( + 2)，
令 = 0 2 2 ，得点 的纵坐标为 = 1 ，即 (0, 1 +2 )，1 1+2
(0, 2 同理，得 2 2+2
)，
2
| | | | = | 4 1 2 | = | 4 ( 1 1)( 2 1) | = | 4
2[
所以 1
2 ( 1+ 2)+1]
( 1+2)( 2+2) ( 1+2)( 2+2) 1 2+2( 1+ 2)+4
|
2
4 2(4 4 8
2
2 2 +1) 2 2 2= | 4 +1 4 +1 | = | 4 (4 4 8 +4
2+1) 12 2 1
4 2 4+ 16
2 2
+4 4 4+16
2+16 2+4 | = | 36 2 | = 3，
4 2+1 4 2+1
1
综上，| | | |为定值，定值为3．
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