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2024-2025 学年宁夏吴忠中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 2+ .复数 ，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 2
2.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是( )
A. 与 相交 B. 与 平行
C. 与 相交 D. 与 异面
3.正方形 ′ ′ ′ ′的边长为 2，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是( )
A. 2
B. 4
C. 4 2
D. 8 2
4.在△ 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，点 是 的中点.若 = + ，则 =( )
A. 1 B. 12 C.
1
3 D.
2
3
5.已知正三棱锥的底面边长为 6，高为 3，则该三棱锥的表面积是( )
A. 54 3 B. 27 3 C. 18 3 D. 15 3
6.在△ 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 = 1， = 45°， △ = 2，则△ 的外接圆直径
为( )．
A. 4 5 B. 5 C. 5 2 D. 6 2
7.宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷.宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，
出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实.图 1 为宋代的影青瓷花口盏
及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为 6 ，
上面的花口盏是底面直径分别为 8 和 10 的圆台，下面的盏托由底面直径 8 的圆柱和底面直径分别为
12 和 8 的圆台组合构成，示意图如图 2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为( )
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A. 248 3 B. 274 3 C. 354 3 D. 370 3

8.已知 △ 的面积为 4， 为直角顶点，设向量 = 、向量 = ，向量 = + 2 ，则 | | | |
的最大值为( )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A.复数 2 2 的虚部为 2
B.若 为虚数单位，则 2023 =
C. 1 3 1 3在复数集 中，方程 2 + + 1 = 0 有两个解，依次为 2 + 2 , 2 2
D.已知 是虚数单位， ∈ ，若( + 2 )(1 + ) = 4 ，则实数 = 2
10.已知 表示向量 ， 表示向量 ，向量 = (1,2)， = (3,1)， 为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.若向量 + 与 垂直，则实数 的值为 1
B.已知点 (4, )，若 ， ， 三点共线，则实数 的值为 2
C. 10在 方向上的投影向量的模为 2
D.若 = ( 1, )， + 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是( ∞, 43 )
11.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列四个命题中错误的是( )
A.若 2 = 2 ，则△ 定为等腰三角形
B.若 2 + 2 2 > 0，则△ 一定是锐角三角形
C. = 2若点 是边 上的点，且 + 1 3 3 ，则△ 的面积是△
1
面积的3
D.若△ 平面内有一点 满足： + + = 0，且| | = | | = | |，则△ 为等边三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = (1,1)， 为单位向量，且| 2 | = 2，则向量 与 的夹角为______．
13 7.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 2, = 3, = 4 ，则 = ______．
14.已知三棱锥 ， ⊥底面 ，且△ 是边长为 3的正三角形， = 2，则该三棱锥的外接球
表面积是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 ， 满足 = ( 3,4)，| | = 10．
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(1)若 // ，求向量 的坐标；
(2) 2 若向量 ， 的夹角为 3，求(3 ) ( +
)和|2 |的值．
16.(本小题 15 分)
已知 = ( 3 , 1)， = ( , 1)， ( ) = ( + ) 12．
(1)若 // ，求 2 的值；
(2)求 ( )的单调递增区间；
(3)若 ∈ (0, 2 )，求 ( )的值域．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，在① = ( 6 )；②( + + )( + ) = 3 .
两个条件中任选一个，补充在下面问题中(将选的序号填在横线处)，
已知 = 3 62 ，_____．
(1) ∠ = 若 4，求 ；
(2)若△ 的周长为 4 6，求△ 的面积 ．
18.(本小题 17 分)
△ 2 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 1， = ．
(1)求角 ；
(2)若 是线段 的中点，且 = 1，求 △ ；
(3)若△ 为锐角三角形，求△ 的周长的取值范围．
19.(本小题 17 分)
重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄 为吸引游客，准备在门前两条小路 和

之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知∠ = 6，弓形花园的弦长| | = 2 3，

记弓形花园的项点为 ，∠ = ∠ = 6，设∠ = ．
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(Ⅰ)将| |，| |用含有 的关系式表示出来；
(Ⅱ)该山庄准备在 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计 、 的长度，才使得喷泉 与山庄
的距离的值最大？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4
13. 6
14.8
15.(1)设 = = ( 3 , 4 )，
所以| | = ( 3 )2 + (4 )2 = 5| | = 10，解得 =± 2，
向量 的坐标为( 6,8)或(6, 8)；
(2)| | = ( 3)2 + 42 = 5，| | = 10，
= | || |cos 2 3 = 5 × 10 × (
1
2 ) = 25，
2
所以(3 ) ( + ) = 3 2 + 2 = 75 50 100 = 75，
2
|2 | = 4 2 4 + = 100 + 100 + 100 = 10 3．
16.解：(1)因为 = ( 3 , 1)， = ( , 1)，
由 // ，可得 3 × ( 1) = ，即 = 3，
2 2 2
所以 2 = cos sin = 1 tan 1cos2 +sin2 1+tan2 = 2；
(2)因为 ( ) = ( + ) 1 12 = ( 3 + , 0) ( 3 , 1) 2
1 1
= ( 3 + ) 3 22 = 3 + 3 2
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1+ 2 3 1
= 3 × 2 + 2 2 2
3 3
= 2 2 + 2 2 + 1
= 3sin(2 + 3 ) + 1，
令 2 + 2 ≤ 2 +

3 ≤ 2 + 2 , ∈ ，
5
解得 12 + ≤ ≤ 12 + , ∈ ，
( ) 5 即 的单调递增区间为[ 12 + , 12 + ], ∈ ；
(3) ∈ (0, 4 当 2 )时，2 + 3 ∈ ( 3 , 3 )，
因为 = ∈ ( , 4 在 3 2 )时单调递增，在 ∈ ( 2 , 3 )时单调递减，
又当 2 + = 4 3 3时，sin(2 +

3 ) =
3
2 ，
2 + = 当 3 2时，sin(2 +

3 ) = 1，
当 2 + 33 = 3时，sin(2 + 3 ) = 2 ，
所以 sin(2 + 33 ) ∈ ( 2 , 1],

所以 3sin(2 + 3 ) + 1 ∈ (
1
2 , 3 + 1],
即 ( )的值域为( 12 , 3 + 1]．
17.(1) 若选①： = ( 6 )，
3
则 = ( 2 +
1
2 )，
= ( 3 + 1 ) 1 = 3所以 2 2 ，即2 2 ，
由 > 0 可得 = 3 ，
可得 = 3，所以 = 3，
3 6 3 6× 2
由正弦定理2sin = sin ，可得 =
2 2
3 = 3；
3 4 2
若选②( + + )( + ) = 3 ，则 2 + 2 2 = ，
2
= +
2 2 1
所以 2 = 2，由 ∈ (0, )，得 = 3，
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3
2 6
3 6 2
×
由正弦定理 2 2sin = sin ，可得 = 3 = 3．3 4 2
(2) △ 中， 2 = 2 + 2 2 ，
3 6
所以( )22 =
2 + 2 2 × 12，
即 2 + 2 = + 27 2 272，( + ) = 3 + 2
5 6
因为周长为 + + = 4 6，所以 + = 2 ，
5 6
代入得( 2 )
2 = 3 + 272， = 8，
所以面积 = 12 = 2 3．
18.解：(1) = 1 = 2 ， ，
2
根据正弦定理得： = ，化简得 = 2 ，
∴ + = sin( + ) = 2 ，
又 + + = ，∴ = sin( + )，∴ = 2 ，
∵ > 0，∴ = 12，
∵ ∈ (0, ) ，∴ = 3；
(2)由(1)及余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，即 1 = 2 + 2 ，①
又∵ = 1
2
2 +
1 1
2 ，∴ = ( 2 +
1 )22 ，
∴ 1 = 1 2 + 1 2 14 4 + 4 ，②
由② × 4 3①得： = 2，
∴ 1 1 3 3 3 3△ = 2 = 2 × 2 × 2 = 8 ．
(3)由(1) 得 = 3，则 + =
2 2
3，即 = sin( 3 ) =
3
2 +
1
2 ，
2
由正弦定理可知 = 3
2
， = 3 ，
∴ + = 23 ( + ) = 2(
3
2 +
1
2 ) = 2 ( +

6 )．
∵△ 为锐角三角形，∴ 0 < < 2 2，0 < 3 < 2，
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∴ < < < + < 2 6 2，3 6 3，∴ sin( +
) ∈ ( 36 2 , 1], ∴ 2 ( +

6 ) ∈ ( 3, 2]，
∴ + + ∈ (1 + 3, 3]，则△ 的周长的取值范围为(1 + 3, 3]．
19.解：(Ⅰ)在△ 中，
| | | |
由正弦定理可知sin = sin ，6
则| | = 2 × 2 3sin = 4 3sin ，即| | = 4 3sin
由正弦定理可得 ，
则| | = 4 3sin∠ = 4 3sin( ( + 6 )) = 4 3sin( +

6 ).即| | = 4 3sin( +

6 )
(Ⅱ) ∵ | | = 2 3, ∠ = ∠ = 6，
∴ | | = | | = 2，
在△ 中，由余弦定理可知
| |2

= | |2 + | |2 2| | | |cos( + 6 )

= 48 2( + 6 ) + 4 16 3sin( + 6 )cos( + 6 )

= 24(1 cos( 3 + 2 )) + 4 8 3sin( 3 + 2 )

= 8[ 3sin( 3 + 2 ) + 3 ( 3 + 2 )] + 28
= 16 3sin(2 + 2 3 ) + 28，
∵ ∈ (0, 5 ) ∴ 2 + 2 ∈ ( 2 6 ， 3 3 ,
7
3 )，
2 3
∴ sin(2 + 3 ) ∈ [ 1, 2 ),
当 sin(2 + 2 ) = 1 = 5 3 时，即 12时，
| |取最大值 28 + 16 3 = 4 + 2 3，
5
| | = 4 3sin 12 = 4 3(sin 4 cos 6 + cos 4 sin 6 )
= 3( 6 + 2) = 6 + 3 2，
5 5
| | = 4 3sin( 12 + 6 ) = 4 3sin( 12 )
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= 4 3sin 5 12 = 6 + 3 2，
即当| | = | | = 6 + 3 2时，| |取最大值．
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