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2024-2025 学年黑龙江省黑河市龙西北名校联盟高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量 = ( 1,2)，则点 对应的复数为( )
A. 1 + 2 B. 1+ 2 C. 2 D. 2 +
2.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2 ， = 3 ，则 =( )
A. 3 6 2 13 B. 3 C. 3 D. 3
3.已知向量 ， 满足| | = 1， = (1,2 2)，| + | = 7，则向量 ， 的夹角为( )
A. 6 B.
C. 2 3 3 D.
5
6
4.设 1, 2是平面内两个不共线的向量，则向量 , 可作为基底的是( )
A. = 1+ 2, = 1 2 B. = 2 1 + 2, =
1
2 1 +
1
4 2
C. = 1 + 2, = 1 2 D. = 1 2 2, = 2 1+ 4 2
5.与函数 = tan(2 + 3 )的图象不相交的一条直线是( )
A. = 2 B. =

3 C. =

12 D. = 4
6.已知平面向量 , , ，则下列命题一定正确的有( )
①若| + | = | |，则 = 0；
②若 // ，则存在实数 ，使得 = ；
③若 // , // ，则 / / ；
④( ) = ( ) ．
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
7 .已知函数 ( ) = ( + )( ∈ , > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
( )
A. (0) = 23
B.直线 = 是 ( )图象的一条对称轴
C. ( ) 图象的对称中心为( 6 + 2 , 0), ∈
D.将 ( ) 的图象向左平移6个单位长度后，得到函数 = 3 2 的图象
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8.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了 0.618 就是黄金分
2
割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 = 2 18°，若 2 + = 4，则 2 =( )
A. 12 B.
1
2 C. 1 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数 1， 2的共轭复数分别为 1, 2，下列结论正确的是( )
A.若 21 + 22 = 0，则 1 = 2 = 0

B.若 1为纯虚数，则 1 + 1= 0
C.若| 1| = | + 1|，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
D.若 1 ≤ | 1| ≤ 2，则在复平面内 1对应点 1的集合所构成的图形的面积为
10.下列说法中正确的有( )
A.与 = (2, 1) 5垂直的单位向量为( 5 ,
2 5
5 )
B. 25已知 在 上的投影向量为 且| | = 5，则 = 2
C.若非零向量 ， 满足| | = | | = | |，则 与 + 的夹角是 30°
D.已知 = (1,2)， = (1,1)，且 + 5与 夹角为锐角，则 的取值范围是( 3 , + ∞)
11.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列与△ 有关的结论，正确的是( )
A.若 = 10, = 9, = 3，则这样的三角形有且只有两个
B.若 = ，则△ 为等腰直角三角形
C.若 = 4， = 2， 为△ 外心，则 = 6
D. ∠ = 1若 3，则 的取值范围为( ∞, 2) ∪ ( 2 , + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = 2 (2 3 )( > 0)的最小正周期为 ，则 的值为______．
13 .定义： = .已知 ，
2 1 2
，分别为△ 的三个内角 ， ， 所对的边，若 + 1 = 0，
且 + = 5，则边 的最小值为______．
14.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形.已知正八边形 的边长
为 4， 是线段 的中点， 为正八边形内的一点(含边界)，则 的最大
值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 3 + 2 + ( 2) ，其中 为虚数单位， ∈ ．
(1)若 为纯虚数，求| + 2|；
(2)若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
在直角坐标系 中，已知向量 = (1, 1)， = (3,1)， = ( ,3)(其中 ∈ )， 为坐标平面内一点．
(1)若 ， ， 三点共线，求 的值；
(2)若向量 与 的夹角为4，求 的值；
(3)若四边形 为矩形，求 点坐标．
17.(本小题 15 分)

养殖户承包一片靠岸水域，如图 ， 为直岸线， = 2 ， = 3 ，∠ = 3，该承包水域的水
2
面边界是某圆的一段弧 ，过弧 上一点 按线段 和 修建养殖网箱，已知∠ = 3．
(1)求岸线上点 与点 之间的直线距离；
(2)如果线段 上的网箱每千米可获得 2 万元的经济收益，线段 上的网箱每千米可获得 4 万元的经济收
益.记∠ = ，设两段网箱获得的经济总收益为 万元，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
三角形 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，已知点 是 的中点，点 在线段 上，且 = 2 ，
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线段 与线段 交于 . ( + )( ) = ( ) 3， △ = 4 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = + ，求 + 的值；
(3)若点 是三角形 的重心，求| |的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = + ，称向量 = ( , )为函数 ( )的伴随向量，同时称函
数 ( )为向量 的伴随函数．
(1) 5 3 设函数 ( ) = sin( + 6 ) + cos( 2 + )，试求 ( )的伴随向量的坐标；
(2)记向量 = (1, 3) 8 的伴随函数为 ( )，当 ( ) = 5且 ∈ ( 3 , 6 )时，求 的值；
(3)设向量 = (2 , 2 )， ∈ 的伴随函数为 ( )， = (1,1)的伴随函数为 ( )，记函数 ( ) = ( ) +
2( )，求 ( )在[0, ]上的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.5 32
14.8 2 + 8
15.解：(1)因为 为纯虚数，
2
所以 3 + 2 = 0，即 = 1 或 = 2，解得 = 1，
2 ≠ 0 ≠ 2
∴ = ，
故| + 2| = |2 | = 5．
2
(2)依题意 3 + 2 > 0，即 < 1 或 > 2，解得 < 1，
2 < 0 < 2
故 的取值范围为( ∞,1)．
16.解：(1)已知向量 = (1, 1)， = (3,1)， = ( ,3)(其中 ∈ )，
所以 = (2,2)， = ( 1,4)，
由于 ， ， 三点共线，
故 8 2( 1) = 0，解得 = 5．
(2)由于 = (2,2)， = ( 1,4)，
故 cos < , >= 2( 1)+8 2
| ||
= = ，
| 22+22× ( 1)2+42 2
解得 = 1；
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(3)设点 ( , )，
由 = (2,2)， = ( 3,2)， = ( 1, + 1)， = ( , 3)，
由于四边形 为矩形，
所以 ⊥ ，
故 = 2( 3) + 4 = 0，解得 = 1；
由 = 1 = 2，所以 3 = 2，解得 = 1， = 1；
故 D( 1,1)．
17.解：(1) ， 为直岸线， = 2 ， = 3 ，∠ = 3，
2
该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 ，过弧 上一点 按线段 和 修建养殖网箱，已知∠ = 3，
在△ 中，由余弦定理，
得 = 2 + 2 2 × × × cos = 223 + 3
2 2 × 2 × 3 × 12 = 7，
即岸线上点 与点 之间的直线距离为 7千米；
(2)如果线段 上的网箱每千米可获得 2 万元的经济收益，线段 上的网箱每千米可获得 4 万元的经济收
益，
记∠ = ，设两段网箱获得的经济总收益为 万元，
在△ 中，设∠ = ，
7 =
sin2 sin(3 )
= sin ，
3
= 7 sin( ) = 2 21故有 3 3 3 sin(

3 )，
2
= 7 2 21 3 = 3 (0 < < 3 )，
2
设两段网箱获得的经济总收益为 万元，
则 = 2 + 4 = 4 21 8 213 sin( 3 ) + 3
= 4 213 [sin(

3 ) + 2 ] =
4 21 3 3
3 ( 2 + 2 ) = 4 7sin( + 6 )，
∵ ∈ (0, 3 )，∴ + 6 ∈ ( 6 , 2 )，∴ = 4 7sin( +

6 ) ∈ (2 7, 4 7)，
故 的取值范围为(2 7, 4 7)．
18.(1)由题意，( + )( ) = ( ) ，
由正弦定理，可得( + )( ) = ( ) ，
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整理得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
故 = 2 = 2 = 2，
因为 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
(2)如图，
2 1
由题意可得 = 3
, = 2 ，
因为 ， ， 三点共线，
故可设 = + (1 ) = 2 3 + 2(1 )
, ∈ ，
又因 ， ， 三点共线，
2 3
故3 + 2(1 ) = 1，解得 = 4，
所以 = 1 1 2 + 4 ，
+ = 1 + 1故 2 4 =
3
4；
(3)因为 = + = + 2 3
= 1 + 1 3 3 ，
所以 = = 1 + 1 ( 1 + 1 ) = 1 (2 2 4 3 3 12 )，
1 3
因为 △ = 2 = 4 ，所以 = 1，
1
于是| | = 12 |2
|，两边平方化简得：
144| |2 = (2 )2 = 4
2
4 +
2
= 4 2 4 + 23 = 4
2 2 + 2 ≥ 4 2 = 2 = 2，
当且仅当 2 = 时取等号，
所以 144| |2 ≥ 2，即| | ≥ 212，
所以| | 2的最小值为12．
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19.解：(1) ( ) = sin( + 5 ) + cos( 3 3 1 3 16 2 + ) = 2 + 2 + = (1 2 ) + 2 ，
所以 = (1 3 , 12 2 )；
(2)依题意 ( ) = + 3 = 2 ( + 3 )，
由 ( ) = 85得 2 ( +
) = 83 5 , sin( +

3 ) =
4
5，
因为 ∈ ( , 3 6 ), +

3 ∈ (0, 2 )，
cos( + ) = 3所以 3 5，
所以 = sin[( + ) ] = 13 3 2 sin( +
3
3 ) 2 cos( + 3 ) =
4 3 3
10 ；
(3) ( ) = 2 2 = 2 2 ( 由题知 4 )， ( ) = + = 2sin( +

4 ) = 2sin[(

4 ) + 2 ] = 2cos( 4 )，
所以 ( ) = ( ) + 2( ) = 2 2 ( 4 ) + 2
2( 4 )
= 2 2( 4 ) + 2 2 (

4 ) + 2
因为 ∈ [0, ] ∈ [ , 3 ， 4 4 4 ]，
2
所以 sin( 4 ) ∈ [ 2 , 1]，
令 = sin( 24 ) ∈ [ 2 , 1]，
2
所以问题转化为函数 = 2 2 + 2 2 + 2, ∈ [ 2 , 1]的最值问题，
= 2 2 + 2 2 + 2, ∈ [ 2 , 1] = 2因为函数 2 的对称轴为 2 ，
所以当 = 22 ≤
2
2 ，即 ≤ 1 时，
= 2 2 + 2 2 + 2, ∈ [ 22 , 1]
2
的最大值在 = 2 处取得，为 1 2 ；
当 = 22 ≥ 1，即 ≥ 2时，
= 2 2 + 2 2 + 2, ∈ [ 22 , 1]的最大值在 = 1 处取得，为 2 2 ；
2 2当 2 < 2 < 1，即 1 < < 2时，
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= 2 2 + 2 2 + 2, ∈ [ 22 , 1] =
2
的最大值在 2 处取得，为
2 + 2；
1 2 , ≤ 1
综上， ( )在[0, ]上的最大值为 ( ) = 2 + 2, 1 < < 2．
2 2 , ≥ 2
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