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2024-2025 学年重庆市渝北中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (1, 1), = ( 2,3), = (1,1)，则( + ) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.若 ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 // ， // ，则 //
3.已知向量 , 满足| | = 3, | | = 1, |2 | = 3，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.在△ 中，∠ = 3 , = 2, = 19，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 5 D. 3 或 5
5.在长方体 1 1 1 1中， 1 = 2， 1和 1 与底面所成的角分别为 30°和 45°，则异面直线 1
与 所成角的余弦值为( )
A. 34 B.
2
4 C.
3 5
4 D. 4
6.渝北中学大力传承和弘扬“红岩 莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活
动.某同学为测量王朴母子雕像的高度 (雕像的底端视为点 ，雕像的顶端视
为点 )，在地面选取了两点 ， (其中 ， ， ， 四点在同一个铅垂平面内)，
在点 处测得点 的仰角为 30°，在点 处测得点 ， 的仰角分别为 60°，15°，
测得 = 18( 3 + 1) ，则按此法测得的王朴母子雕像 的高为( )
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
7.在△ 1 2中，角 ， ， 所对的边为 , , , 2 2 = 2 , = 2 3
，若 = 4， = 3，则 长
为( )
A. 5 B. 7 C. 8 103 3 3 D. 3

8.已知非零向量 与 满足( + ) = 0，且| | = 2 2, | + | = 6 2，点 是△ | | | |
的边 上的动点，则 的最小值为( )
A. 1 B. 14 C.
1 7
5 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 2 2 = 3( 2 + 2 2)，则 的大小可能为( )
A. 2 6 B. 3 C. 2 D. 3
10.已知向量 = (3,2), = ( 1,2), = (4,1)，则下列结论正确的是( )
A. | | = 5
B.若( + )//(2 ) 16，则实数 的值为 13
C.若 与 + 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是( 13, + ∞)
D. 在 1 2上的投影向量的坐标为( 5 , 5 )
11.如图，已知底面为矩形的四棱锥 的顶点 的位置不确定，点 在棱 上，且 ⊥ ，平面
⊥平面 ，则下列结论正确的是( )
A. ⊥
B.平面 ⊥平面
C.存在某个位置，使平面 与平面 的交线与底面 平行
D. 若 = 2 3, = 2，则直线 与平面 所成角为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 , 不共线，若 与 2 + 共线，则实数 的值为______．
13.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 1 且 +
2 = 0，则△ 外接圆面积为______．
14.正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 为底面 的中心，点 在
侧面 1 1 的边界及其内部运动，若 1 ⊥ ，则线段 1 长度的最小值
为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图，在平面四边形 中，∠ = 90°，∠ = 45°， = 2， = 5．
(1)求 cos∠ ；
(2)若 = 2 2，求 ．
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16.(本小题 12 分)
已知点 (1,1)， (5,3)， 为坐标原点， 为 轴上一动点．
(1) ⊥ ，求点 的坐标；
(2)当 取最小值时，求向量 与 的夹角的余弦值．
17.(本小题 12 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥底面 ，∠ = 90°， 1 = 2 ， ， 分别为 1， 的中
点，求证：
(1) //平面 1；
(2) 1 ⊥平面 ．
18.(本小题 12 分)
如图，正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点．
(1)若点 满足 2 1 = 1 ，求证： ， ， ， 1四点共面；
(2)求直线 与平面 1所成角的正弦值．
19.(本小题 12 分)
在锐角△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足( ) ( + ) = (
)．
(1)求角 ；
(2)
2+ 2
求 2 的取值范围；
(3)当 = 1 时，角 的平分线交 于 ，求 长度的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12. 12
13.
14.4 55
15.(1) △ 2在 中，由正弦定理 = sin∠ ，可得 sin∠ = 5 ，
由 > ，可得∠ > ∠ ，即∠ 为锐角，所以 cos∠ = 1 sin2∠ = 235 ；
(2)在△ 中，∠ = 90° ∠ ，可得 cos∠ = sin∠ = 25 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ = 25 + 8 2 × 5 × 2 2 × 25 = 25，所以 = 5．
16.(1)根据题意，设点 ( , 0)，又 (1,1)， (5,3)，
则 = ( 1, 1), = ( 5, 3)，
由 ⊥ ，
可得 = ( 1)( 5) + 3 = 2 6 + 8 = 0，
解得 = 2 或 = 4，
所以 的坐标为(2,0)或(4,0)；
(2)由(1)可得： = 2 6 + 8 = ( 3)2 1，
当 = 3 时， 取得最小值 1，
此时 = (2, 1), = ( 2, 3)，
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则| | = 5, | | = 13，
设 与 夹角为 ，
=
1 65
则此时
| | |
= =
| 5× 13 65
，
65
即向量 与 的夹角的余弦值为 65 ．
17.证明：(1)连接 1 交 1于 ，连 ， ，
在三棱柱 1 1 1中，矩形 1 1中， 1 ∩ 1 = ，则 1 = ，
∵ 1， 分别为 ， 1的中点，∴ // 1且 = 2 1，
∵ 为 1中点，∴ // 1且 =
1
2 1，
∴ // 且 = ，
∴四边形 为平行四边形，∴ // ，
∵ 平面 1， 平面 1，
∴ //平面 1．
(2) ∵ 1 ⊥底面 ， 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
∵ 1// 1，∴ ⊥ 1，
∵ ∠ = 90°，∴ ⊥ ，
∵ ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，∴ ⊥平面 1 1，
∵ 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1，
∵在矩形 1 1中， 1 = 2 ， 为 1的中点，
∴ = = 1 = 1 1，
∵ 1 ⊥底面 ， 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
∴△ 1 1 、△ 均为等腰直角三角形，
∴ ∠ = 1 1 = 45°，∴ ∠ 1 = 90°，
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∴ 1 ⊥ ，
∵ 1 ⊥ ， 1 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ 1 ⊥平面 ．
18.(1)证明：连接 ， 1，由 2 1 =
1
1 ，知 1// 1，且 1 = 2 1，
因为 1为 1的中点，因此 = 2 1，
因此 1// ，且 1 = ，因此四边形 1为平行四边形，
因此 // 1，
因为 // 1 1， = 1 1，因此四边形 1 1为平行四边形，
因此 1// 1，
因此 // 1，故 E， ， ， 1四点共面．
(2)证明：延长 交 于 ，连接 ，则 与面 1所成角就是 与面 所成角．
过 作 ⊥ 交 与 ，连接 ，过 作 ⊥ 与 ，连接 ，
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，因此 ，∴ ⊥ ，
因为 ∩ = ，∴ ⊥， ， 平面 ，因此 ⊥平面 ，
因为 平面 ，因此 ，∴ ⊥ ，
因为 ∩ = ，∴ ⊥， ， 平面 ，
因此 ⊥平面
因此∠ 就是 与面 所成角．
令 = 2，由 // 1, =
1
3 ，得 = 1，
△ = 在 中， =
2×1 = 2 5，
22+12 5
1×
2 5
5 2
同理在 △ 中， = = = 3，
12+(2 5)25
在 △ 中，sin∠ = = 1 3，
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故直线 平面 11所成角的正弦值为3．
19.解：(1)因为( ) ( + ) = ( )，
由正弦定理，可得( )( + ) = ( )，整理得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理可得 = 2 = 2，

又因为 ∈ (0, )，所以 = 3．
(2)由(1)可知 = sin( 2 3 ) = sin( + 3 )，
2+ 2 sin2 +sin2 4
由正弦定理，可得 2 = sin2 = 3 [sin
2 + sin2( + 3 )]
2 3 1
4 1 2 1 cos(2 + 3 ) 4 2+ 2 2 2 2 = [ + ] = × = 4 2 3 2 2 3 2 3 + 3 sin(2 6 )，
0 < <
△ 2 < < 因为 为锐角三角形，则 2 ，解得 ，0 < 3 <
6 2
2
1 < sin(2 ) ≤ 1 1 < 2 2可得2 6 ，则3 3 sin(2 6 ) ≤ 3，
2+ 2 5
所以 ∈ (0, )，即 2 ∈ ( 3 , 2]．
(3)由 △ = △ + △ ，
1
可得2 ∠ =
1
2 ∠ +
1
2 ∠ ①
因为 = 3，所以∠ = ∠ = 6，
所以①式： 3 = + ，可得 = 3 + ，
由(1)可得 2 + 2 2 = ，
则( + )2 = 2 + 3 = 1 + 3 ，即 = 13 [( + )
2 1]，
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所以 = 3 3 + = 3 [( + )
1
+ ]，
3 1
令 + = ，则 = 3 ( )，
因为 + = 2 3 ( + ) = 3 [ + sin( +

3 )]
= 2 3 ( 33 2 +
3
2 ) = 2 ( +

6 )，
(2) < < 由 可知，6 2，则3 < +

6 <
2 3
3 , 2 < sin( +

6 ) ≤ 1，
所以 + = ∈ ( 3, 2],
因为 = 3 13 ( )在 ∈ ( 3, 2]上单调递增，
= 2 = 3所以 时， 2 为最大值，
所以 3长度的最大值为 2 ．
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