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2024-2025 学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .“ = 2 + 4 ( ∈ )”是“ = 1”成立的( )
A.既不充分也不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.充分非必要条件
2.在△ 1中，点 在边 上，且 = 2
，设 = ， = ，则 为( )
A. 1 + 2 3 3 B.
2
3 +
1
3
C. 35 +
4
5
D. 45 +
3 5
3.已知 = 0是函数 ( ) = cos(2 +
) 16 图像的一条对称轴，若 ( ) = 1 + 2 2 ，则 ( 0)的值是( )
A. 34 B. 1 +
3
4
C. 3 5 D. 1 + 34或4 4 或 1
3
4
4.我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平
行于 轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数 ( ) = tan( +

12 )( > 0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线 = 2024 相交于 、

两点，且| | = 2 .已知命题：① =
2；②函数在[0,2025 + 3 ]上有 4051 个零点，则以下判断正确的是( )
A.①和②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①和②均为假命题
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
5 2 .已知扇形的弧长为 3，半径为 2，则该扇形的圆心角的弧度数是______．
6.已知 = 13，且 为第二象限角，则 的值是______．
7.已知| | = 1, | | = 2, = 1，则| + | = ______．
8.化简：sin( ) tan( 2 + ) = ______．
9.已知向量 与 不平行， 与 + 2 平行，则实数 = ______．
10.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，角 的终边与单位圆交于第三象限内的点 ( ,
4
5 )，则 2 = ______．
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11.在△ 中， = 2 ，则△ 的形状为 ．
12 .已知函数 ( ) = 3sin( + 4 )( > 0)的最小正周期为 ，将 = ( )图像向左平移 个单位长度(0 <
< 2 )后所得图像关于 轴对称，则 = ______．
13.若对任意 ∈ ，不等式 2 2 2 < 0 恒成立，则实数 的取值范围是______．
14.设函数 ( ) = 3 ( 2025 + 2026 )，若对任意的 ∈ 都有 ( 1) ≤ ( ) ≤ ( 2)成立，则| 1 2|的最小
值为______．
15 , ≥ .定义 { , } = , < ，若函数 ( ) = {sin( + 4 ), cos( + 4 )}，
给出下列四个命题：
①该函数是周期函数，且最小正周期是 ；
②该函数的值域是[ 1,1]；
③该函数是偶函数；
④对任意 ∈ ， 2(2 + ) + 2( + ) = 1 恒成立．
上述命题中错误的序号是______．
16.在△ 中，若(3 ) ⊥ ，则 的最大值是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
已知| | = 3, | | = 4, | | = 13．
(1)求 与 的夹角大小；
(2)求 在 上的数量投影．
18.(本小题 8 分)
已知 ， 都是锐角，且 = 3， = 55 ．
(1)求 2 的值；
(2)求 + 的值．
19.(本小题 10 分)
某种植园准备将如图扇形空地 分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为 20
米，圆心角为∠ = 2 3，动点 在扇形的弧上，点 在 上，且 // ．
(1)当 = 10 米时，求分隔栏 的长；
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(2)若要求白玉兰种植区△ 的面积尽可能的大，设∠ = ，求△ 的面积的最大值并求出此时
的大小．
20.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = ( + ), ( > 0, > 0, | | < 2 )的图像，如图所示：
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = ( )( > 0)在( 2 ,

3 )上是严格增函数，求实数 的最大值．
(3) 将函数 = ( )的图像向右移动6个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的 (0 < < 1)倍
得到 = ( )的图像，若 = ( )在区间[ 1,1]上至少有 30 个最大值，求实数 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
对于函数 = ( )，若在其定义域内存在实数 0， ，使得 ( 0 + ) = ( 0) + ( )成立，称 = ( )是“
跃点”函数，并称 0是函数 ( )的“ 跃点”．
(1)若函数 ( ) = ∈ 3 ， 是“ 2跃点”函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 ( ) = sin( + )， ∈ ，求证：“ = 1”是“对任意 ∈ ， ( )为‘ 跃点’函数”的充分非
必要条件；
(3) 3 3 是否同时存在实数 和正整数 使得函数 ( ) = 2 在[0, + 4 ]上有2025 个“ 4跃点”？若存
在，请求出所有符合条件的 和 的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 3
6. 2 2
7. 7
8.
9. 12
10.2425
11.等腰三角形
12. 8
13.( 2 1, + ∞)
14.2025
15.①②
16. 33
17.(1)已知| | = 3, | | = 4, | | = 13．
2
2
则 2 + = 13，
则 = 6，
则 cos < , >= = 1，
| || | 2

则 与 的夹角为3；
(2) 6 3在 上的数量投影为
|
= = ．
| 4 2
18.(1)因为 ， 都是锐角，且 = 3，
2 = 2 6 31 tan2 = 1 9 = 4；
(2)因为 = 55 ， 为锐角，
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所以 = 2 55 ， = 2，
则 tan( + ) = + 3+21 tan tan = 1 6 = 1，
故 + = 3 4．
19.(1)因为 / / ，所以∠ = 2 3 = 3，由余弦定理可得
2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即 400 = 100 + 2 10 ，整理得 2 10 300 = 0，解得 = 5 5 13(负值舍去)或 = 5 +
5 13，即 = 5 + 5 13(米)；
(2)由 / / ，得∠ = ∠ = ，又∠ = = 40 3，由正弦定理得sin 3 sin
，解得 = 3 ，所以
= 1 sin( 2 ) = 400 △ 2 3 3 sin(
2
3 )，
令 ( ) = ( 2 ) 3 1 3 1 33 ，则 ( ) = ( 2 + 2 ) = 2 + 2 sin
2 = 4 2
1 2 + 1 1 14 4 = 2 sin(2 6 ) + 4，
1 1 3
当 2 6 = 2，即 = 3时， ( )取得最大值为2 + 4 = 4，
△ 400 3所以 的面积最大值为 3 × 4 = 100 3(平方米)．
20.(1)由图像可知， = 2 3 = 5 = 3 ，且4 6 12 4，
则 = = 2 | |， > 0，即 = 2．
= 当 12 时， ( ) = 2，即 ( 12 ) = 2sin(2 × 12 + ) = 2．
所以 sin( 6 + ) = 1．
由于| | < 2，可得6 + =

2，即 =

3．
所以 ( )的解析式为 ( ) = 2sin(2 + 3 )．
(2) ( ) = ( ) = 2sin(2 + 3 )

，在( 2 , 3 )上是严格增函数，

所以 ∈ ( 2 , 3 )，2 ∈ ( ,
2 ) 2 + 3 ， 3 ∈ (

3 ,

3 +
2
3 )，
2
且( 3 , 3 + 3 ) [

2 + 2 ,

2 + 2 ]( ∈ )，
2 + 2 ≤

3
则 2 ( ∈ )，
3 + 3 ≤

2 + 2
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1
当 = 0 时，解得 ≤ 4，符合在( 2 , 3 )上是增函数，
当 = 1 时，解得 ≤ 7 6，此时在( 2 , 3 )上不是单调递增，所以舍去．
1
因此实数 的最大值为4．
(3)将函数 = ( ) 的图像向右移动6个单位，

得到函数 = 2sin[2( 6 ) + 3 ] = 2 2 ，
再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的 (0 < < 1)，
得到函数 = ( ) = 2sin( 2 2 )，周期为 2 = ．

若在区间[ 1,1]上至少有 30 个最大值，则 30 个周期的长度小于等于 2，
即 30 ≤ 2，所以 0 < ≤ 115 ．
1
所以实数 的取值范围为(0, 15 ]．
21.(1)由已知得存在实数 0，
使得 ( 0 +
3 3
2 ) = sin( 0 + 2 ) = ( 0) + (
3
2 ) = 0 + sin
3
2 ，
所以 = 0 + 0 1 = 2sin( 0 + 4 ) 1 ∈ [ 1 2, 1 + 2]；
(2)证明：若 = 1，则 = 2 ， ∈ ，此时 ( ) = sin( + 2 ) = ，
则对任意 ，令 ( + ) = ( ) + ( )，即 sin( + ) = + ，
显然 = 0 是此方程的解，所以对任意实数 ， ( )为′ 跃点′函数；
反之，若对任意 ∈ ， ( )为′ 跃点′函数，
即对任意 ， ( + ) = ( ) + ( )都有解，
即 sin( + + ) = sin( + ) + sin( + )，
取 = 0，得 = 0，从而 =± 1，
因此“ = 1′′是“对任意 ∈ ， ( )为′ 跃点′函数的充分非必要条件．
(3) 3 假设存在，由 ( + 4 ) = ( ) + (
3
4 )，
得 cos(2 + 3 2 ) = 2 + cos
3
2 ， = 2 2 = 2sin(2

4 )，
∈ [0, + 34 ]，令 = 2

4， ∈ [
5
4 , 2 + 4 ]，
即方程 = ∈ [ 2 ， 4 , 2 +
5
4 ]有 2025 个根，
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2
①当 2 ∈ ( 1, 2 )，即 ∈ (1, 2)，有 2 个根，不符合；
2
②当 2 ∈ ( 2 , 1)，即 ∈ ( 2, 1)，有 2 + 2 个根，不符合；

③当 2 = 1，即 = 2，有 + 1 个根，所以 = 2024；

④当 2 = 1，即 = 2，有 个根，所以 = 2025．
综上，存在实数 和正整数 使得函数 ( ) = 2 在[0, + 3 3 4 ]上有 2025 个″ 4跃点”，
符合条件的 和 的值为 = 2 或 = 2．
= 2025 = 2024
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