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2024-2025 学年辽宁省普通高中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数(4 + ) (1 + 5 )的虚部为( )
A. 4 B. 4 C. 4 D. 4
2.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否
相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是( )
A.两条相交直线确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面
C.四点确定一个平面 D.直线及直线外一点确定一个平面
3.设△ 3的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2 2， = 4， = 4 ，则 =( )
A. 6 B. 6 C. 32 2 D. 3
4.已知 ， ， 为三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，若 ∩ = ， ， ，且 与 异面，
则( )
A. 至多与 ， 中的一条相交 B. 与 ， 均相交
C. 与 ， 均平行 D. 至少与 ， 中的一条相交
5.已知 ， ∈ ，复数 2+ 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，则 2 的值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.若水平放置的平面四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观
图，其中 ′ ′// ′ ′， ′ ′ ⊥ ′ ′， ′ ′ = 1， ′ ′ =
2，则以原四边形 的边 为轴
旋转一周得到的几何体的体积为( )
A. 7 2 B. 14 23 3
C. 6 2 D. 10 23
7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 在同一平面内的两
个观测点 与 ，现测得 cos∠ = 33 , = 100 2米，在点 处测得塔顶 的仰
角为 30°，在点 处测得塔顶 的仰角为 45°，则铁塔的高度为( )
A. 80 米 B. 100 米
C. 112 米 D. 120 米
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8.已知四棱锥 的五个顶点都在球 的球面上，底面 是边长为 6的正方形，若四棱锥
体积的最大值为 6，则球 的表面积为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B.棱柱至少有五个面
C.棱台的侧棱延长后必交于一点
D.以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
10.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则( )
A. ≥
B. 若 = 2
+
，则 + = 2
C.若 2 + 2 > 2，则△ 为锐角三角形
D.若 = 2, = 3, = 45°，则△ 的形状能唯一确定
11.如图，在棱长为 2 的正方体中 1 1 1 1， 为线段 1的中点， 为
线段 1 上的动点(含端点)，则下列结论正确的有( )
A.过 9， 1， 三点的平面截正方体 1 1 1 1所得的截面的面积为2
B.存在点 ，使得平面 / /平面 1
C.当 在线段 1 上运动时，三棱锥 1的体积不变
D. + 的最小值为 2 2 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某圆锥的侧面展开图是半径为 4，圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的底面直径为______．
13.已知复数 1， 2满足| 1| = | 2| = 5，且 1 2 = 3 4 ，则| 1 + 2| = ______．
2 2
14.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3 = ，则 2 = ______，
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1， 2在复平面内对应的点分别为 1(0,1)， 2(2, 1)．
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(1)若 = 1 2，求| |；
(2)若复数 = 1 + 1 2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 + = ( + )2．
(1)求 ；
(2)若 + = 6，△ 的面积为 2 3，求 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 ， 1 1的中点．
(1)证明：平面 1 //平面 1 ；
(2)若三棱柱 1 1 1为直三棱柱，且棱长均为 2，求异面直线 1 与 1所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形，平面 ⊥平面 ， = 2 3， = 3， = 3，
∠ = 60°，点 ， 分别为棱 ， 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正切值；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，
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使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ 的三个内角均
小于 120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为费马点；当△ 有一个内角大于或等于 120°
时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 2 + 2 = 1 + 2 ，点 为△ 的费马点．
(1)求证：△ 是直角三角形；
(2)若△ 3的面积为 2 ，且 = 1，求 tan∠ 的值；
(3) + 求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.83
13.5 3
14.3 2 23
15.(1)复数 1， 2在复平面内对应的点分别为 1(0,1)， 2(2, 1)．
则 1 = ， 2 = 2 ，则 = 1 2 = (2 ) = 2 + 2 ，
所以| | = ( 2)2 + 22 = 2 2．
(2)由题意可知： = 1 + 1 2 = + (2 ) = + (2 + 1) ，
< 0 1因为复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则 2 + 1 > 0，解得 2 < < 0，
1
故实数 的取值范围为( 2 , 0)．
16.解：(1)因为 2 + = ( + )2，所以 2 + = 2 + 2 + 2，
整理得： 2 + 2 2 = ，
2+ 2 =
2 1
所以由余弦定理得： 2 = 2 = 2．
0 < < 2 又因为 ，所以 = 3．
(2) △ 2 3 1因为 的面积为 ，所以2 = 2 3，
1
即2 ×
3
2 = 2 3，解得 = 8，
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由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 2 + = ( + )2 ，
因为 = 8， + = 6，所以( + )2 = 36 8 = 28，
即 2 = 28，因为 > 0，所以 = 2 7．
17.(1)证明：因为 ， 分别是 ， 1 1的中点，
结合三棱柱 1 1 1的定义可得 1 = ， 1 // ，
所以四边形 1 是平行四边形，所以 1 // ，
又 1 平面 1 ， 平面 1 ，所以 //平面 1 ，
连接 ，由棱柱的性质，可知 // 1， = 1，所以四边形 1 为平行四边形，
所以 // 1， = 1，又 1// 1， 1 = 1，
所以 // 1， = 1，
所以四边形 1 是平行四边形，所以 1// ，
又 平面 1 ， 1 平面 1 ，
由线面平行的判定定理可得 1//平面 1 ，
又因为 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，
由面面平行的判定地理可得平面 1 //平面 1 ．
(2)由(1)知 1 / / ，所以异面直线 1 与 1所成角为∠ 1(或其补角)，
由三棱柱 1 1 1为直三棱柱可得所有的侧棱都与底面垂直，即有 1 ⊥平面 1 1 1，
因为 1 ， 1 1 平面 1 1 1，所以 1 ⊥ 1 ， 1 ⊥ 1 1，
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所以 = 22 + 12 = 5， 1 = 2 2， 1 = 3，
所以 2 + 2 21 = 1，即 ⊥ 1，
所以在 △ 1中，sin∠ 1 =
6，
4
即异面直线 1 与 1所成角的正弦值为
6．
4
18.解：(1)证明：在△ 中， = 2 3， = 3，∠ = 60°，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ = (2 3)2 + ( 3)2 2 ×
2 3 × 3 60° = 9．
即 = 3，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ．
因为四边形 是矩形，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
在△ 中， = 3， = 3，点 是 的中点，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)过点 作直线 的垂线，垂足为 ，连接 ，如图所示．
由(1)知 ⊥平面 ，又 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 = 3, = 3 2，
所以 = 2 + 2 = 21，
所以 sin∠ =
= 3 21 =

= 3 2，
2
解得 = 3 14，14
在△ 中， = 3 2 , = 3 14 , ⊥ ，2 14
所以 tan∠ = = 7，
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即二面角 的正切值为 7．
(3)取 的中点 ，连接 ， ，如图所示，
易得 // ， = ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
即点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，所以 ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = ( 3)2 + 32 = 2 3．
设点 到平面 的距离为 ，
又 = ，
所以1 × 1 × 3 × 3 1 1 ，3 2 2 × 3 = 3 × 2 × 3 × 3
解得 = 3，2
设直线 与平面 所成角为 ，
= 所以 =
1
4，
1
即直线 与平面 所成角的正弦值为4．
19.(1)证明：由 2 + 2 = 1 + 2 ，
得 1 2 2 + 1 2 2 = 1 + 1 2 2 ，
即sin2 = sin2 + sin2 ，
由正弦定理得 2 = 2 + 2，
所以△ 是直角三角形；
(2)由(1)知 = 2，
△ 1 1 3的面积为 = 2 = 2 × 1 = 2 ，
则 = 3, = 2 + 2 = 2，
所以在 △ 中， = = 3 1 2 ， = = 2
= 所以 3， = 6，
由 为△ 2 的费马点，得∠ = ∠ = ∠ = 3，
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设∠ = ，则∠ = ∠ = 3 ，∠ = ，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
1 2 (
)
即 = 3 ， = ，
sin2 sin(3 3 ) 3
△ 在 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
2 4
则 2 = sin ， =sin 3 ，3
2 ( 3 ) = 4 因此 3 3 ，
3 1
整理得 2 2 = 2 ，
3
即 2 =
5
2 ，
所以 = 35 ，
即 tan∠ = 35 ．
(3)由 为△ 的费马点，得∠ = ∠ = ∠ = 2 3，
设 = ， = ， = ， > 0， > 0， > 0，
+
则 = + ，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 3 = (
2 + + 1) 2，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 2 23 = ( + + 1) ，
在△ 2 中，由余弦定理得 2 = 2 2 + 2 2 2 2cos 3 = (
2 + 2 + ) 2，
由 2 + 2 = 2，
得( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
化简得 + + 2 = ，又 > 0， > 0，
则 + + 2 = ≤ ( + )22 ，当且仅当 = 时取等号，
整理得( + )2 4( + ) 8 ≥ 0，
因此 + ≥ 2+ 2 3，或 + ≤ 2 2 3(舍去)，
+
所以 的最小值为 2 + 2 3．
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