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2024-2025 学年青海省西宁市湟中一中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 1 + 2025，则| | =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 12
2.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
3.在△ 中， = 2, = 3, = 34，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. 1 = (0,0)， 2 = (1, 2) B. 1 = ( 1,2)， 2 = (5,7)
C. 1 31 = (3,5)， 2 = (6,10) D. 1 = (2, 3)， 2 = ( 2 , 4 )
5.如图，平行四边形 的两条对角线相交于点 ，且 = ， = ，则 =( )
A. 1 + 1 2 2 B.
1
2
1 1 1
2 C. 2 2 D.
1
2 +
1 2
6.如图，在四面体 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = = 2 = 2，则此四面体的外接球表面
积为( )
A. 3
B. 9
C. 36
D. 48
7.已知向量 = (2,6)， = ( , 4)，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围为( )
A. ( 2,4) B. ( 4,2) C. ( 2, 43 ) ∪ (
4
3 , 4) D. ( 4,
4 4
3 ) ∪ ( 3 , 2)
8.一扇中式实木仿古正方形花窗如图 1 所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心
与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图 2 所示.已知 = 6 分米， = 3 分米，点 在正方形
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的四条边上运动，当 取得最大值时， 与 夹角的余弦值为( )
A. 55 B.
2 5
5 C. 5 D. 2 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.与向量 = (3,4)共线的单位向量 =( )
A. ( 45 ,
3
5 ) B. (
3 4 4 3
5 , 5 ) C. ( 5 , 5 ) D. (
3 4
5 , 5 )
10 1 3 .已知复数 = 1+ ( 是虚数单位)，则下列结论正确的是( )

A.复数 的虚部等于 2 B. = 5

C. + = 2 D.若 是实数， + 是纯虚数，则 = 1
11.下列命题中，正确的是( )
A.在△ 中， > ，则 >
B.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
C.在△ 中，若 = ，则△ 必是等腰直角三角形
D.在△ 中，若 = 60°， 2 = ，则△ 必是等边三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 = ( 2 + 6) + (其中 为虚数单位)，当 对应的点在第三象限时，则实数 的取值范围为
______．
13.在正四棱台 1 1 1 1中， = 2, 1 1 = 1, 1 = 2，则该棱台的表面积为______，体积为
______．
14.圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了
估算圣 索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 36 ，在它们之间的地面上
的点 ( , , 三点共线)处测得建筑物顶 、教堂顶 的仰角分别是 45°和 60°，在建筑物顶 处测得教堂顶
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的仰角为 15°，则可估算圣 索菲亚教堂的高度 约为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 且 3 = ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2，△ 的面积为 2 3，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (3,2)， = ( , 1)．
(1)当( + 2 ) ⊥ (2 )，且 > 0 时，求| + |；
(2)当 = ( 8, 1)， / /( + )，求向量 与 的夹角 ．
17.(本小题 15 分)
已知平面向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，且| + 2 | = 10．
(1)求 在 方向上的投影向量；
(2)若( + ) ⊥ (2 )，求实数 的值．
18.(本小题 17 分)
如图，在△ 中， = 2， = 4.点 在边 上，且 = ．
(1) = 1 2 2， = ，求|
3 |；
(2) = 15， 恰为 边上的高，求角 ；
(3) = 3，求 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)

在△ 中，设 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = + ．
(1)求角 的值；
(2)若 ： = ： ，判断△ 的形状；
(3)若△ 为锐角三角形，且 = 2，求△ 的面积 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 3,0)
13.5 + 3 7 7 66
14.54
15.解：(1)由正弦定理及 3 = ，得 3 = ，
因为 ≠ 0，所以 3 = ，即 = 3，
因为 ∈ (0, )，

所以 = 3．
(2)由(1)得， = 3，
1 3
因为 △ = 2 × = 4 = 2 3，所以 = 8，
又 = 2，所以 = 4 2，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 = 32 + 2 8 = 26，
所以 = 26．
16.解：(1) ∵ ( + 2 ) ⊥ (2 ) ( + 2 ) (2 ) = 0，
+ 2 = (3 + 2 , 0)，2 = (6 , 5)，
∴ (3 + 2 )(6 ) + 0 × 5 = 0，解得 = 6 3或 2 (舍去)，
∴ + = (9,1)，
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故| + | = 92 + 1 = 82；
(2) ∵ + = ( 8, 2)， / /( + )，
∴ 3 × ( 2) 2( 8) = 0，解得 = 5， = (5, 1)，

∴ = 3×5+2×( 1) 13 2
|
= = = ，
|| | 32+22 52+( 1)2 13 2 2
∵ ∈ [0, ]，
∴ = 4．
17.解：(1)由| + 2 | = 10两边平方得| |2 + 4| |2 + 4 · = 10，
由| | = 2，| | = 1，可得 2 + 4 + 4 · = 10，即有 · = 1，
所以 在 方向上的投影向量为 · = ；| | | |
(2)因为( + ) ⊥ (2 )，
所以( + ) (2 ) = 0，
2 2即为 + (2 1)
2
= 0，
所以 4 + (2 1) = 0，
解得 = 3．
18.解：(1) ∵ = 1，∴ 1为 的中点，∴ = ( 2 2 + )，
∵ = 2 2 ， = 4， = 3，
2 2
∴ = 1 ( +
2
+ 2 4
) = 14 [16 + 4 + 2 × 4 × 2 × (
1
2 )] = 3，
∴ | | = 3．
(2)由 = 15， 恰为 边上的高，设 = ， = 4 ，
在 △ 中， 2 = 4 2，
在 △ 中， 2 = 16 16 2，
∴ 4 2 = 16 16 2 4，∴ 2 = ，∴ 2 = 25 25 = 20，
2cos∠ = +
2 2 16+4 20
由余弦定理得 2 = 2×4×2 = 0，
∴ ∠ = 90°．
(3)由题， = ，
则 = + = + = + ( ) = + (1 ) ，
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∵ = 3，且 = 2， = 4，
2 2 2∴ = 2 + (1 )2 + 2 (1 ) ，
则 9 = 16 2 + 4(1 2 + 2) + (16 16 2) ，
20 2∴ = 8 516 2 16 ，
2
∵ 1 < < 1，∴ 1 < 20 8 516 2 16 < 1，
∵ 0 < < 1，∴ 16 2 16 < 0，
1 5 1 5
解得2 < < 6，∴ 的取值范围是( 2 , 6 ).
19. 解：(1)由题意， = + ，

由正弦定理得 = + ，
即( )( + ) = ( )，
整理得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理得 = 2 = 2，
因为 0° < < 180°，
所以 = 60°；
(2)由 ： = ： 及正弦定理，

可得 = ，
即 = ，
由 ， 为三角形内角，可知 = ，
又 = 60°，
所以△ 为等边三角形；
(3)因为 + = 120°， = 2，
= = 2 (120° ) 3 + 3由正弦定理，得 = = + 1，
1 3 3
所以 = 2 = 60° = 2 ( + 1)，
因为△ 为锐角三角形，则 30° < < 90°，
从而 ∈ ( 33 , + ∞)，
3
所以 ∈ ( 2 , 2 3)．
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