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四川省巴中市普通高中2025届高三一诊考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·巴中模拟）已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·巴中模拟）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·巴中模拟）设，则“是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·巴中模拟）已知向量，，若，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
5．（2025·巴中模拟）若函数为奇函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无解
6．（2025·巴中模拟）已知为等差数列的前项和，若，，则（　　）
A．56 B．60 C．64 D．68
7．（2025·巴中模拟）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·巴中模拟）已知函数，则方程实数根的个数为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．11
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2025·巴中模拟）下列命题正确的有（　　）
A．回归直线过样本点的中心，且至少过一个样本点
B．两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1
C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数，则其方差不变
D．将9个数的一组数去掉一个最小和一个最大数，则中位数不变
10．（2025·巴中模拟）已知函数.则（　　）
A．是的对称轴
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减
D．在点处的切线方程为
11．（2025·巴中模拟）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率分别是，则（　　）
A．以为直径的圆与轴相切；
B．
C．
D．分别过两点作抛物线的切线相交于点，则点在上.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025·巴中模拟）已知，则　 　．
13．（2025·巴中模拟）除以7的余数为　 　．
14．（2025·巴中模拟）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在双曲线右支上且不与右顶点重合，过作平分线的垂线，垂足为若，则离心率的取值范围为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025·巴中模拟）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响.
（1）求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率；
（2）求“乙获胜”的概率.
16．（2025·巴中模拟）已知数列的通项公式为.
（1）求证：；
（2）令，证明：.
17．（2025·巴中模拟）如图，在四棱锥中，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
（1）若，平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
（2）若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.
18．（2025·巴中模拟）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）求证：当时，；
（3）若.其中.讨论函数的零点个数.
19．（2025·巴中模拟）已知双曲线与曲线有4个交点A，B，C，D（按逆时针排列）.
（1）若方程有4个实数根，，，.证明：，.
（2）设O为坐标原点，证明：为定值；
（3）求四边形ABCD面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由复数z在复平面内满足，可得复数对应的点的轨迹是以为半径的圆，
则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为.
故答案为：B.
【分析】利用复数的几何意义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由不等式，可得或，即集合，
不等式等价于，解得，即集合，
则.
故答案为：C.
【分析】先解不等式求得集合A，B，再根据集合的交集的定义求解即可.
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取、满足，但，即充分性不成立；
取，满足，但，即必要性不成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可．
4．【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
若 ，则，即，
整理得，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 函数 定义域为，
因为为奇函数，所以，
解得，a的值不是常数，即无解．
故答案为：D.
【分析】先求定义域，再利用奇函数的定义，列出等式，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为d，
若，，可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列前项和公式求解即可．
7．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以点在面内的射影为的中点，
设的中点为，由题意可得：平面，
因为平面，所以，则，
又因为，，
所以，，，
，为的中点，则为的外心，
三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面的垂线上，则，
过作的平行线，与相交于点，则为矩形，，，
设球到平面的距离为t，球O的半径为，
有，，
在和中，，
解得，则，故球O的表面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，在和中，建立方程求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数，函数在上单调递增，在上单调递减，且；
当时，函数，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，，
作出函数的图象，如图所示：
令，则，由图可知：有4个解，
分别为，，，，
当时，即，有1个解；
当，即时，有4个解；
当，即有3个解；
当，即有3个解；
则方程共有个解．
故答案为：D.
【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，令，则，解得，，，，数形结合，分别求出的解的个数即可．
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、回归直线必过样本点中心，但不一定过样本点，故A错误；
B、相关系数就越接近1，两个变量的相关性越强，故B错误；
C、将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，方差不变，故C正确；
D、数据排序后，去掉一个最小和一个最大数，中位数不变，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由回归直线的性质即可判断A；由相关系数的性质即可判断B；由方差的性质即可判断C；由中位数的算法即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】导数的几何意义；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
A、函数的对称轴为，解得，则不是的对称轴，故A错误；
B、函数的最小正周期为，故B正确；
C、当时，，函数在区间上单调递增，故C错误；
D、函数，，且，则在点处的切线方程为，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】化简函数可得，再根据余弦函数的性质逐项分析即可判断ABC；利用导数的意义即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；直线的斜率；直线与圆的位置关系；抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为，
A、由题意可知 ，所以焦点，准线，
所以以为直径的圆的圆心为，半径，
由图可知，
所以圆心到轴的距离，所以圆与轴相切，故选项A正确；
B、由题意易知直线的斜率存在，设直线AB方程为，
联立，消去可得，
由，所以，，
所以，
，由A选项的图中可知，，
所以，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、由题意作图如下：
由，求导可得，由选项B，可得直线的斜率分别为，
所以直线的方程分别为，，
联立，两个方程分别乘可得
消去可得，由在直线上，
则，
化简可得，由，，
所以，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质可得焦点F的坐标以及准线方程，进而可得以为直径的圆的圆心为，半径，结合图由梯形中位线可得，可得圆心到轴的距离可判断选项A；设直线AB方程为，，联立直线AB与抛物线方程，由韦达定理可得，，进而可得，，
结合，，进而计算即可求得 可判断选项B；设出直线方程，并联立抛物线方程，写出韦达定理，结合抛物线的定义，整理可得其正误；结合斜率公式计算可判断选项C；对抛物线函数求导，由选项B的两个点的坐标，写出切线方程，联立求交点即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
利用同角三角函数商关系可得，解得，
则
故答案为：
【分析】由题意，利用同角三角函数基本关系式求得的值，再利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式求解的值即可．
13．【答案】1
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：
展开式中前675项均含7，则除以7的余数是
故答案为：
【分析】由，利用二项式定理展开计算即可．
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，如图所示：
连接，设平分线的垂线交于点N，
易知三角形为等腰三角形，，且M为中点，
由双曲线的定义可得：，则，即，
因为、分别为、的中点，所以，
又因为，，
所以在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理，
可得，
因为，所以，所以，
整理可得，则，
又在中，由三角形的三边关系，可得，即，解得，则离心率的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据角平分线及其垂线的特征得到、的长度，再根据余弦定理和三角形三边的关系求双曲线离心率的取值范围即可．
15．【答案】（1）解：设事件“甲第一次未投中，乙两次都投中”，由题意可得：；
（2）解：设事件“乙获胜”为事件，“乙获胜”分甲投中次，乙投中1次或者两次和甲投中1次，乙投中两次，
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)由题意，利用独立事件概率乘法公式求解即可；
(2)由题意，“乙获胜”分甲投中次，乙投中1次或者两次和甲投中1次，乙投中两次，结合全概率公式求解即可.
（1）设事件“甲第一次未投中，乙两次都投中”为事件
则
（2）设事件“乙获胜”为事件
则
16．【答案】（1）解： 数列的通项公式为 ，则，易知数列单调递增，
当时，数列取最小值，最小值为，故；
（2）证明：因为，所以，
当时，；
当时，；
当时，
，得证.
【知识点】数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1)数列的通项公式变形，结合单调性求证即可；
(2)先求出数列的通项公式，结合裂项法对证的等式进行放缩，从而得到要证的不等式即可.
（1）可知数列单调递增，则当时，取最小值为故得证.
（2）当时，
得证.
17．【答案】（1）解：平面平面，证明如下：
因为平面，平面，
故，
又因为，，平面，
故平面，
因为平面，
所以，
又因为，为线段的中点，
故，
因为，平面，
故平面，
又因为平面，
故平面平面.
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
设，，则，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
则，
由题意可得，
解得，
故.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由底面得，再由得平面，从而得出，利用可得平面，从而证出平面平面.
（2）利用，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求二面角的方法以及已知条件，从而得出t的值，进而得出的值.
（1）平面平面，证明如下：
因平面，平面，故，
又，，平面，故平面，
因平面，所以，
因，为线段的中点，故，
因，平面，
故平面，又平面，故平面平面.
（2）如图建立空间直角坐标系，设，，则，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，则，
s设平面的一个法向量为，
则，令，则，则，
由题意，
解得，故.
18．【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，解得，
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增，
则的极小值为：；
（2）证明：由，可得，即，
令定义域为，，
令，，
函数在上单调递增，即在上单调递增，
且，则在上单调递减，，故；
（3）解：，
当时，，
又因为，则在上单调递增，且，，
所以在上总有一个零点；
当时，，则，
当时，，在上递增；，
在无零点；
当，时，，当时，，且，
令，解得，
当时，，在无零点；
当时，，在上有唯一零点；
当时，，又，
由（2）知，，，
由零点存在定理知：在、上各有一个零点，
综上：当时，有一个零点；当时，有两个零点；
当时，有三个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）将不等式转化为当时，，令，由证明即可；
（3）根据，分和先去掉绝对值，然后利用导数法求解即可.
（1）因为，
所以，令，得，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以的极小值为：；
（2）原不等式等价于当时，，
即当时，，
令，则，
令，则，
所以在上递增，即在上递增，
所以，则在上递减，
所以，所以原不等式成立；
（3），
当时，，
又，则在上递增，且，，
所以在上总有一个零点；
当时，，则，
当时，，在上递增；，
在无零点；
当，时，，当时，，
所以，令，得，
当时，，在无零点；
当时，，在上有唯一零点；
当时，，又，
由（2）知，，，
由零点存在定理知：在、上各有一个零点，
综上：当时，有一个零点；当时，有两个零点；
当时，有三个零点.
19．【答案】（1）证明： 方程有4个实数根，，， ，
则
，
故，；
（2）证明：由，可得，
平方得，
将代入，得，
得，
设，，，，利用（1）中的根与系数关系可知：
，，
且，，，，
所以
；
（3）解：记，，，，则，
当O在内部时，设，，，，
可得，
当且仅当时，等号成立，
此时，
此时当且仅当时，等号成立，
此时四边形ABCD为正方形，即时，等号成立；
当O在外部时，设，，，，
可得
此时不能同时取到且，所以取不到等号，
此时有，
当且仅当时，后面等号成立，但由于前面取不到等号，
即可得：；
综上所述：四边形ABCD面积最大值为
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据题意得出，展开整理，对比系数证明即可；
（2）由题意整理出关于x的方程，得出，，代入用坐标表示的式子中，求解即可；
（3）按点O的位置，分O在内部和当O在外部时两个情况，根据面积关系结合基本不等式即可得证．
（1）由题意可得：
，
对比系数得：，.
（2）由，得，
平方得，
将代入，得：，
展开得：，
设，，，，利用（1）中的根与系数关系可知：
，，
且，，，，
所以
（3）记，，，，则，
当O在内部时，设，，，，
可得，
当且仅当时，等号成立，
此时，
此时当且仅当时，等号成立，
此时四边形ABCD为正方形，即时，等号成立；
当O在外部时，设，，，，
可得
此时不能同时取到且，所以取不到等号，
此时有，
当且仅当时，后面等号成立，但由于前面取不到等号，
即可得：；
综上所述：四边形ABCD面积最大值为
1 / 1四川省巴中市普通高中2025届高三一诊考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·巴中模拟）已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由复数z在复平面内满足，可得复数对应的点的轨迹是以为半径的圆，
则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为.
故答案为：B.
【分析】利用复数的几何意义求解即可.
2．（2025·巴中模拟）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由不等式，可得或，即集合，
不等式等价于，解得，即集合，
则.
故答案为：C.
【分析】先解不等式求得集合A，B，再根据集合的交集的定义求解即可.
3．（2025·巴中模拟）设，则“是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取、满足，但，即充分性不成立；
取，满足，但，即必要性不成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可．
4．（2025·巴中模拟）已知向量，，若，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
若 ，则，即，
整理得，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
5．（2025·巴中模拟）若函数为奇函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无解
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 函数 定义域为，
因为为奇函数，所以，
解得，a的值不是常数，即无解．
故答案为：D.
【分析】先求定义域，再利用奇函数的定义，列出等式，即可求解.
6．（2025·巴中模拟）已知为等差数列的前项和，若，，则（　　）
A．56 B．60 C．64 D．68
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为d，
若，，可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列前项和公式求解即可．
7．（2025·巴中模拟）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以点在面内的射影为的中点，
设的中点为，由题意可得：平面，
因为平面，所以，则，
又因为，，
所以，，，
，为的中点，则为的外心，
三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面的垂线上，则，
过作的平行线，与相交于点，则为矩形，，，
设球到平面的距离为t，球O的半径为，
有，，
在和中，，
解得，则，故球O的表面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，在和中，建立方程求解即可.
8．（2025·巴中模拟）已知函数，则方程实数根的个数为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数，函数在上单调递增，在上单调递减，且；
当时，函数，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，，
作出函数的图象，如图所示：
令，则，由图可知：有4个解，
分别为，，，，
当时，即，有1个解；
当，即时，有4个解；
当，即有3个解；
当，即有3个解；
则方程共有个解．
故答案为：D.
【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，令，则，解得，，，，数形结合，分别求出的解的个数即可．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2025·巴中模拟）下列命题正确的有（　　）
A．回归直线过样本点的中心，且至少过一个样本点
B．两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1
C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数，则其方差不变
D．将9个数的一组数去掉一个最小和一个最大数，则中位数不变
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、回归直线必过样本点中心，但不一定过样本点，故A错误；
B、相关系数就越接近1，两个变量的相关性越强，故B错误；
C、将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，方差不变，故C正确；
D、数据排序后，去掉一个最小和一个最大数，中位数不变，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由回归直线的性质即可判断A；由相关系数的性质即可判断B；由方差的性质即可判断C；由中位数的算法即可判断D.
10．（2025·巴中模拟）已知函数.则（　　）
A．是的对称轴
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减
D．在点处的切线方程为
【答案】B,D
【知识点】导数的几何意义；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
A、函数的对称轴为，解得，则不是的对称轴，故A错误；
B、函数的最小正周期为，故B正确；
C、当时，，函数在区间上单调递增，故C错误；
D、函数，，且，则在点处的切线方程为，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】化简函数可得，再根据余弦函数的性质逐项分析即可判断ABC；利用导数的意义即可判断D.
11．（2025·巴中模拟）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率分别是，则（　　）
A．以为直径的圆与轴相切；
B．
C．
D．分别过两点作抛物线的切线相交于点，则点在上.
【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；直线的斜率；直线与圆的位置关系；抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为，
A、由题意可知 ，所以焦点，准线，
所以以为直径的圆的圆心为，半径，
由图可知，
所以圆心到轴的距离，所以圆与轴相切，故选项A正确；
B、由题意易知直线的斜率存在，设直线AB方程为，
联立，消去可得，
由，所以，，
所以，
，由A选项的图中可知，，
所以，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、由题意作图如下：
由，求导可得，由选项B，可得直线的斜率分别为，
所以直线的方程分别为，，
联立，两个方程分别乘可得
消去可得，由在直线上，
则，
化简可得，由，，
所以，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质可得焦点F的坐标以及准线方程，进而可得以为直径的圆的圆心为，半径，结合图由梯形中位线可得，可得圆心到轴的距离可判断选项A；设直线AB方程为，，联立直线AB与抛物线方程，由韦达定理可得，，进而可得，，
结合，，进而计算即可求得 可判断选项B；设出直线方程，并联立抛物线方程，写出韦达定理，结合抛物线的定义，整理可得其正误；结合斜率公式计算可判断选项C；对抛物线函数求导，由选项B的两个点的坐标，写出切线方程，联立求交点即可判断选项D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025·巴中模拟）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
利用同角三角函数商关系可得，解得，
则
故答案为：
【分析】由题意，利用同角三角函数基本关系式求得的值，再利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式求解的值即可．
13．（2025·巴中模拟）除以7的余数为　 　．
【答案】1
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：
展开式中前675项均含7，则除以7的余数是
故答案为：
【分析】由，利用二项式定理展开计算即可．
14．（2025·巴中模拟）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在双曲线右支上且不与右顶点重合，过作平分线的垂线，垂足为若，则离心率的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，如图所示：
连接，设平分线的垂线交于点N，
易知三角形为等腰三角形，，且M为中点，
由双曲线的定义可得：，则，即，
因为、分别为、的中点，所以，
又因为，，
所以在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理，
可得，
因为，所以，所以，
整理可得，则，
又在中，由三角形的三边关系，可得，即，解得，则离心率的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据角平分线及其垂线的特征得到、的长度，再根据余弦定理和三角形三边的关系求双曲线离心率的取值范围即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025·巴中模拟）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响.
（1）求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率；
（2）求“乙获胜”的概率.
【答案】（1）解：设事件“甲第一次未投中，乙两次都投中”，由题意可得：；
（2）解：设事件“乙获胜”为事件，“乙获胜”分甲投中次，乙投中1次或者两次和甲投中1次，乙投中两次，
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)由题意，利用独立事件概率乘法公式求解即可；
(2)由题意，“乙获胜”分甲投中次，乙投中1次或者两次和甲投中1次，乙投中两次，结合全概率公式求解即可.
（1）设事件“甲第一次未投中，乙两次都投中”为事件
则
（2）设事件“乙获胜”为事件
则
16．（2025·巴中模拟）已知数列的通项公式为.
（1）求证：；
（2）令，证明：.
【答案】（1）解： 数列的通项公式为 ，则，易知数列单调递增，
当时，数列取最小值，最小值为，故；
（2）证明：因为，所以，
当时，；
当时，；
当时，
，得证.
【知识点】数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1)数列的通项公式变形，结合单调性求证即可；
(2)先求出数列的通项公式，结合裂项法对证的等式进行放缩，从而得到要证的不等式即可.
（1）可知数列单调递增，则当时，取最小值为故得证.
（2）当时，
得证.
17．（2025·巴中模拟）如图，在四棱锥中，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
（1）若，平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
（2）若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.
【答案】（1）解：平面平面，证明如下：
因为平面，平面，
故，
又因为，，平面，
故平面，
因为平面，
所以，
又因为，为线段的中点，
故，
因为，平面，
故平面，
又因为平面，
故平面平面.
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
设，，则，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
则，
由题意可得，
解得，
故.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由底面得，再由得平面，从而得出，利用可得平面，从而证出平面平面.
（2）利用，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求二面角的方法以及已知条件，从而得出t的值，进而得出的值.
（1）平面平面，证明如下：
因平面，平面，故，
又，，平面，故平面，
因平面，所以，
因，为线段的中点，故，
因，平面，
故平面，又平面，故平面平面.
（2）如图建立空间直角坐标系，设，，则，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，则，
s设平面的一个法向量为，
则，令，则，则，
由题意，
解得，故.
18．（2025·巴中模拟）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）求证：当时，；
（3）若.其中.讨论函数的零点个数.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，解得，
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增，
则的极小值为：；
（2）证明：由，可得，即，
令定义域为，，
令，，
函数在上单调递增，即在上单调递增，
且，则在上单调递减，，故；
（3）解：，
当时，，
又因为，则在上单调递增，且，，
所以在上总有一个零点；
当时，，则，
当时，，在上递增；，
在无零点；
当，时，，当时，，且，
令，解得，
当时，，在无零点；
当时，，在上有唯一零点；
当时，，又，
由（2）知，，，
由零点存在定理知：在、上各有一个零点，
综上：当时，有一个零点；当时，有两个零点；
当时，有三个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）将不等式转化为当时，，令，由证明即可；
（3）根据，分和先去掉绝对值，然后利用导数法求解即可.
（1）因为，
所以，令，得，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以的极小值为：；
（2）原不等式等价于当时，，
即当时，，
令，则，
令，则，
所以在上递增，即在上递增，
所以，则在上递减，
所以，所以原不等式成立；
（3），
当时，，
又，则在上递增，且，，
所以在上总有一个零点；
当时，，则，
当时，，在上递增；，
在无零点；
当，时，，当时，，
所以，令，得，
当时，，在无零点；
当时，，在上有唯一零点；
当时，，又，
由（2）知，，，
由零点存在定理知：在、上各有一个零点，
综上：当时，有一个零点；当时，有两个零点；
当时，有三个零点.
19．（2025·巴中模拟）已知双曲线与曲线有4个交点A，B，C，D（按逆时针排列）.
（1）若方程有4个实数根，，，.证明：，.
（2）设O为坐标原点，证明：为定值；
（3）求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】（1）证明： 方程有4个实数根，，， ，
则
，
故，；
（2）证明：由，可得，
平方得，
将代入，得，
得，
设，，，，利用（1）中的根与系数关系可知：
，，
且，，，，
所以
；
（3）解：记，，，，则，
当O在内部时，设，，，，
可得，
当且仅当时，等号成立，
此时，
此时当且仅当时，等号成立，
此时四边形ABCD为正方形，即时，等号成立；
当O在外部时，设，，，，
可得
此时不能同时取到且，所以取不到等号，
此时有，
当且仅当时，后面等号成立，但由于前面取不到等号，
即可得：；
综上所述：四边形ABCD面积最大值为
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据题意得出，展开整理，对比系数证明即可；
（2）由题意整理出关于x的方程，得出，，代入用坐标表示的式子中，求解即可；
（3）按点O的位置，分O在内部和当O在外部时两个情况，根据面积关系结合基本不等式即可得证．
（1）由题意可得：
，
对比系数得：，.
（2）由，得，
平方得，
将代入，得：，
展开得：，
设，，，，利用（1）中的根与系数关系可知：
，，
且，，，，
所以
（3）记，，，，则，
当O在内部时，设，，，，
可得，
当且仅当时，等号成立，
此时，
此时当且仅当时，等号成立，
此时四边形ABCD为正方形，即时，等号成立；
当O在外部时，设，，，，
可得
此时不能同时取到且，所以取不到等号，
此时有，
当且仅当时，后面等号成立，但由于前面取不到等号，
即可得：；
综上所述：四边形ABCD面积最大值为
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