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四川省眉山中学校2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题
一、单选题：每小题5分，共40分
1．（2025·眉山模拟）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：集合，则集合.
故答案为：C.
【分析】由题意，求解集合即可.
2．（2025·眉山模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由解得，所以，
由，解得，所以，
所以.
故选：A.
【分析】先由指对数运算以及指对数函数的性质分别得出集合，再利用交集定义运算即可求得.
3．（2025·眉山模拟）命题p：“函数在区间上单调递增”是命题q：“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数在内单调递增，所以，
即在上恒成立，即，又因为，所以，
当时，能推出，但推不出，
则是的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】先根据函数在上单调递增，求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义判断即可
4．（2025·眉山模拟）设函数，则不等式的解集为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
定义域关于原点对称，满足，则函数为奇函数，
，易知，当且仅当时取等号，
则函数在上单调递增，
不等式等价于，
因为函数在上单调递增，所以，
即，解得，则原不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性以及单调性，利用函数的单调性列式解不等式即可.
5．（2025·眉山模拟）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，则，且，
所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得，
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：B.
【分析】利用x的取值范围和二次函数的图象求值域的方法，可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，再分和两种情况，从而结合指数型函数的单调性求值域的方法，从而得出实数a的取值范围.
6．（2025·眉山模拟）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数，则函数在上为增函数，
因为对均有成立，
则，即对恒成立，
令，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，，则可得出对恒成立，令，再由题意可得出，从而解不等式组得出实数的取值范围.
7．（2025·眉山模拟）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（　　）（附：）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得，当时，，
当时，，
则
，
则信噪比从1000提升至8000，的增长率约为.
故答案为：D.
【分析】由香农公式结合对数的运算性质计算信噪比为1000和8000时的比值即可.
8．（2025·眉山模拟）已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，，则，
构造函数，求导可得，则函数在上单调递增，
因为为奇函数，所以为偶函数，且在上单调递减，
，，
当或时，，
当或时，，
当时，，；
当时，，若则，，
若则，，
若则，，不符合题意；
综上，不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】由题意，构造函数，由复合函数和函数的奇偶性得到的单调性，再分的范围解不等式即可.
二、多选题，每小题6分，共18分
9．（2025·眉山模拟）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（　　）
A． B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期
【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，根据题意，令，
则由，可得，
解得，故A正确；
对于B，令，可得，
所以，
可得对任意的满足，即是偶函数，故B正确；
对于C，令，则由，
可得，
即满足，
因此可得的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，由于是偶函数，所以满足，
即，可得，
即，所以是的一个周期，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用赋值法，令，则根据表达式判断出选项A；根据偶函数定义判断出选项B；取并根据函数图象的对称中心的定义，则可判断出选项C；由函数的图象的对称中心和偶函数性质可判断是的一个周期，则可判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025·眉山模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故选项A正确；
B、因为，所以，故选项B正确.
C、所以，
所以，故选项C正确；
D、所以，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】根据指对数的互化可得， 根据对数函数的性质即可求得a，b的取值范围可判断选项AB；利用对数式的运算可得，进而计算即可判断选项CD．
11．（2025·眉山模拟）设函数，则（　　）
A．当时，是的极小值点
B．当时，有三个零点
C．当时，若在上有最大值，则m的取值范围为
D．若满足，则
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 函数的定义域为R，且，
令，解得x=0或，
A、因为时，所以时，；当或时，，
所以是的极大值点，故选项A错误；
B、当时，当或时，；当时，；
所以f(x)在单调递增，单调递减；
又，，
又时，；又时，，
所以当时，有三个零点，故选项B正确；
C、当时，，
所以当或时，；当时，；
又，由，解得，
所以若在上有最大值，则，故选项C错误；
D、由，可得，
所以对恒成立，所以，
解得，故选项D正确.
故选：BD.
【分析】对函数f(x)进行求导，利用导数结合每个选项的条件计算可判断每个选项的正确性.
三、填空题
12．（2025·眉山模拟）记函数的定义域为A，的定义域为B．若，则实数a的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，
解得或，即集合或；
要使函数有意义，则，
因为，所以，所以，即集合，
因为，所以或，解得或，
又因为，所以或，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据函数由题意，列不等式或不等式组求得集合A，B，再由列出不等式，结合求出的范围即可.
13．（2025·眉山模拟）函数，，若，使成立，则的取值范围是　 　 ．
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意可得，，；
所以，
所以，解得，
又，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出的取值范围.
14．（2025·眉山模拟）设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.若关于x的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为是偶函数，所以，所以，
所以，所以函数的周期为4，
因为时，，
如图所示为在上的图象
因为关于x的方程在区间内恰有三个不同实根，
所以的图象与的图象有3个不同的交点，
所以，即解得.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和偶函数的定义可知函数的周期为4，利用时的函数图象可补充完在上的图象，将在区间内恰有三个不同实根， 转化为的图象与的图象有3个不同的交点，
在坐标平面中画出两个函数的图象，依据它们有三个不同的交点得到，解这个不等式组可得的取值范围.
四、解答题
15．（2025·眉山模拟）已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，
又因为，
当时，，解得；
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：∵命题是命题的必要不充分条件，
∴集合是集合的真子集，
当时，，解得；
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】空集；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算法则和空集的定义以及不等式求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（2）根据充分不必要条件判断方法，得出集合是集合的真子集，再分、两种情况讨论，则根据真子集的判断方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16．（2025·眉山模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式.
【答案】（1）解：由题意可知，，解得：，
所以，
因为，即，解得，
所以，．
（2）解：函数在上为减函数；
证明如下：任意，且，
所以，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）解：不等式，即，即，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．

【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列式可得，结合可得，即可求得函数 的解析式；
（2）根据单调性的定义证明在上为减函数即可；
（3）利用奇函数的定义将不等式转化为，进而根据函数的单调性列不等式组，进而求解即可求得不等式的解集
（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，
∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；证明如下：
任意，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，不等式可化为，
所以，解得，所以该不等式的解集为．
17．（2025·眉山模拟）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.
（1）比较和的大小；
（2）讨论的单调性；
（3）若有最小值，且最小值为，求的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得，，
所以，整理得.
（2）解：由（1）知， 函数，且定义域为R，
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：由（2）知，当时，无最小值，
当时，在处取得最小值，最小值为
所以，a>0所以，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先对函数 进行求导，进而根据导数意义列方程即可得；
（2）根据先化简函数 ，并求得函数的定义域，再进行求导，分和讨论函数的单调性即可；
（3）利用（2）中结论求得的最小值，进而求得，再利用导数求最大值即可.
（1），由题知，
整理得.
（2）由（1）知，，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，无最小值，
当时，在处取得最小值，所以，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，
即的最大值为.
18．（2025·眉山模拟）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）解：由题意得，，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.

（2）解：因为和均在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以
所以在区间上的最小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，进而求得，， 利用导数的几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；
（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，进而即可求得函数在区间上的最小值．
（1）由题意得，，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）由上问得，
因为和均在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，
，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以在区间上的最小值为．
19．（2025·眉山模拟）已知函数，
（1）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，试求；
（2）证明；
（3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.
【答案】（1）因为的图象与的图象关于直线对称，所以.
又因为，
所以，
令，则，
所以，
因此.
（2）证明：
解法1：因为当时，且，此时；
当时，且，此时，
所以综上可得.
解法2：，令，在上恒成立，
故在上单调递增，即在上单调递增，
因此当时，； 当；
因此在上单调递减，在上单调递增，
故.
（3）证明：不妨取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，
则，得，则的坐标，
由于，所以，
则有，
综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率，
所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先根据，得，再利用换元法求，即可求解；
（2）解法1，分区间当、，讨论各因式的符号。解法2，利用导数研究单调性，
均可证明；
（3）取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，证明直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率即可.
（1）因为的图象与的图象关于直线对称，所以.
又因为，
所以，
令，则，
所以，
因此.
（2）证明：
解法1：当时，且，此时；
当时，且，此时，
故综上.
解法2：，令，在上恒成立，
故在上单调递增，即在上单调递增，
因此当时，； 当；
因此在上单调递减，在上单调递增，
故.
（3）证明：不妨取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，
则，得，则的坐标，
由于，所以，
则有，
综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率，
所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线.
1 / 1四川省眉山中学校2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题
一、单选题：每小题5分，共40分
1．（2025·眉山模拟）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·眉山模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·眉山模拟）命题p：“函数在区间上单调递增”是命题q：“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·眉山模拟）设函数，则不等式的解集为（　　）．
A． B． C． D．
5．（2025·眉山模拟）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·眉山模拟）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·眉山模拟）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（　　）（附：）
A． B． C． D．
8．（2025·眉山模拟）已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题，每小题6分，共18分
9．（2025·眉山模拟）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（　　）
A． B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期
10．（2025·眉山模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·眉山模拟）设函数，则（　　）
A．当时，是的极小值点
B．当时，有三个零点
C．当时，若在上有最大值，则m的取值范围为
D．若满足，则
三、填空题
12．（2025·眉山模拟）记函数的定义域为A，的定义域为B．若，则实数a的取值范围为　 　.
13．（2025·眉山模拟）函数，，若，使成立，则的取值范围是　 　 ．
14．（2025·眉山模拟）设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.若关于x的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是　 　
四、解答题
15．（2025·眉山模拟）已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．（2025·眉山模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式.
17．（2025·眉山模拟）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.
（1）比较和的大小；
（2）讨论的单调性；
（3）若有最小值，且最小值为，求的最大值.
18．（2025·眉山模拟）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值．
19．（2025·眉山模拟）已知函数，
（1）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，试求；
（2）证明；
（3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：集合，则集合.
故答案为：C.
【分析】由题意，求解集合即可.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由解得，所以，
由，解得，所以，
所以.
故选：A.
【分析】先由指对数运算以及指对数函数的性质分别得出集合，再利用交集定义运算即可求得.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数在内单调递增，所以，
即在上恒成立，即，又因为，所以，
当时，能推出，但推不出，
则是的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】先根据函数在上单调递增，求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义判断即可
4．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
定义域关于原点对称，满足，则函数为奇函数，
，易知，当且仅当时取等号，
则函数在上单调递增，
不等式等价于，
因为函数在上单调递增，所以，
即，解得，则原不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性以及单调性，利用函数的单调性列式解不等式即可.
5．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，则，且，
所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得，
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：B.
【分析】利用x的取值范围和二次函数的图象求值域的方法，可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，再分和两种情况，从而结合指数型函数的单调性求值域的方法，从而得出实数a的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数，则函数在上为增函数，
因为对均有成立，
则，即对恒成立，
令，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，，则可得出对恒成立，令，再由题意可得出，从而解不等式组得出实数的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得，当时，，
当时，，
则
，
则信噪比从1000提升至8000，的增长率约为.
故答案为：D.
【分析】由香农公式结合对数的运算性质计算信噪比为1000和8000时的比值即可.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，，则，
构造函数，求导可得，则函数在上单调递增，
因为为奇函数，所以为偶函数，且在上单调递减，
，，
当或时，，
当或时，，
当时，，；
当时，，若则，，
若则，，
若则，，不符合题意；
综上，不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】由题意，构造函数，由复合函数和函数的奇偶性得到的单调性，再分的范围解不等式即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，根据题意，令，
则由，可得，
解得，故A正确；
对于B，令，可得，
所以，
可得对任意的满足，即是偶函数，故B正确；
对于C，令，则由，
可得，
即满足，
因此可得的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，由于是偶函数，所以满足，
即，可得，
即，所以是的一个周期，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用赋值法，令，则根据表达式判断出选项A；根据偶函数定义判断出选项B；取并根据函数图象的对称中心的定义，则可判断出选项C；由函数的图象的对称中心和偶函数性质可判断是的一个周期，则可判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故选项A正确；
B、因为，所以，故选项B正确.
C、所以，
所以，故选项C正确；
D、所以，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】根据指对数的互化可得， 根据对数函数的性质即可求得a，b的取值范围可判断选项AB；利用对数式的运算可得，进而计算即可判断选项CD．
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 函数的定义域为R，且，
令，解得x=0或，
A、因为时，所以时，；当或时，，
所以是的极大值点，故选项A错误；
B、当时，当或时，；当时，；
所以f(x)在单调递增，单调递减；
又，，
又时，；又时，，
所以当时，有三个零点，故选项B正确；
C、当时，，
所以当或时，；当时，；
又，由，解得，
所以若在上有最大值，则，故选项C错误；
D、由，可得，
所以对恒成立，所以，
解得，故选项D正确.
故选：BD.
【分析】对函数f(x)进行求导，利用导数结合每个选项的条件计算可判断每个选项的正确性.
12．【答案】
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，
解得或，即集合或；
要使函数有意义，则，
因为，所以，所以，即集合，
因为，所以或，解得或，
又因为，所以或，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据函数由题意，列不等式或不等式组求得集合A，B，再由列出不等式，结合求出的范围即可.
13．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意可得，，；
所以，
所以，解得，
又，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出的取值范围.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为是偶函数，所以，所以，
所以，所以函数的周期为4，
因为时，，
如图所示为在上的图象
因为关于x的方程在区间内恰有三个不同实根，
所以的图象与的图象有3个不同的交点，
所以，即解得.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和偶函数的定义可知函数的周期为4，利用时的函数图象可补充完在上的图象，将在区间内恰有三个不同实根， 转化为的图象与的图象有3个不同的交点，
在坐标平面中画出两个函数的图象，依据它们有三个不同的交点得到，解这个不等式组可得的取值范围.
15．【答案】（1）解：由题意可知，
又因为，
当时，，解得；
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：∵命题是命题的必要不充分条件，
∴集合是集合的真子集，
当时，，解得；
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】空集；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算法则和空集的定义以及不等式求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（2）根据充分不必要条件判断方法，得出集合是集合的真子集，再分、两种情况讨论，则根据真子集的判断方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由题意可知，，解得：，
所以，
因为，即，解得，
所以，．
（2）解：函数在上为减函数；
证明如下：任意，且，
所以，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）解：不等式，即，即，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．

【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列式可得，结合可得，即可求得函数 的解析式；
（2）根据单调性的定义证明在上为减函数即可；
（3）利用奇函数的定义将不等式转化为，进而根据函数的单调性列不等式组，进而求解即可求得不等式的解集
（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，
∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；证明如下：
任意，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，不等式可化为，
所以，解得，所以该不等式的解集为．
17．【答案】（1）解：由题意可得，，
所以，整理得.
（2）解：由（1）知， 函数，且定义域为R，
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：由（2）知，当时，无最小值，
当时，在处取得最小值，最小值为
所以，a>0所以，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先对函数 进行求导，进而根据导数意义列方程即可得；
（2）根据先化简函数 ，并求得函数的定义域，再进行求导，分和讨论函数的单调性即可；
（3）利用（2）中结论求得的最小值，进而求得，再利用导数求最大值即可.
（1），由题知，
整理得.
（2）由（1）知，，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，无最小值，
当时，在处取得最小值，所以，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，
即的最大值为.
18．【答案】（1）解：由题意得，，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.

（2）解：因为和均在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以
所以在区间上的最小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，进而求得，， 利用导数的几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；
（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，进而即可求得函数在区间上的最小值．
（1）由题意得，，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）由上问得，
因为和均在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，
，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以在区间上的最小值为．
19．【答案】（1）因为的图象与的图象关于直线对称，所以.
又因为，
所以，
令，则，
所以，
因此.
（2）证明：
解法1：因为当时，且，此时；
当时，且，此时，
所以综上可得.
解法2：，令，在上恒成立，
故在上单调递增，即在上单调递增，
因此当时，； 当；
因此在上单调递减，在上单调递增，
故.
（3）证明：不妨取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，
则，得，则的坐标，
由于，所以，
则有，
综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率，
所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先根据，得，再利用换元法求，即可求解；
（2）解法1，分区间当、，讨论各因式的符号。解法2，利用导数研究单调性，
均可证明；
（3）取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，证明直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率即可.
（1）因为的图象与的图象关于直线对称，所以.
又因为，
所以，
令，则，
所以，
因此.
（2）证明：
解法1：当时，且，此时；
当时，且，此时，
故综上.
解法2：，令，在上恒成立，
故在上单调递增，即在上单调递增，
因此当时，； 当；
因此在上单调递减，在上单调递增，
故.
（3）证明：不妨取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，
则，得，则的坐标，
由于，所以，
则有，
综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率，
所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线.
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