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2024-2025 学年江苏省盐城中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .若复数 满足2 = 2 ，则 的虚部为( )
A. 4 B. 4 C. 4 D. 4
2.下列关于空间几何体的论述，正确的是( )
A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D.圆台的轴截面不可能为直角梯形
3.已知向量 1, 2为非零向量，则“| 1 + 2| = | 1| + | 2|”是“存在非零实数 ， ，使得 1+ 2 = 0”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量 = (1, ), = ( 2, )，若 // ，则sin2 2 2 =( )
A. 45 B.
5
4 C.
9
5 D. 1
5.将函数 ( ) = sin(2 )( > 0) 的图象向右平移8个单位长度，得到函数 ( )

的图像， ( )在[0, 2 ]上单
调递增，则 的最大值为( )
A. 3 4 B.

2 C.
D. 3 4
6.若 + = 12 , cos( ) =
1
4，其中 ， ∈ (0, )，则 + =( )
A. 5 6 5 32 B. 2 C. 4 D. 2
7. 是 △ 斜边 上一点，若 = ， = 3 ，则 sin∠ 的值( )
A. 1 B. 3 C. 2 32 3 2 D. 2
8.如图所示，在边长为 4 的正八边形 中，点 为正八边形的中心，点 是其内部任意一点，则
+ 的取值范围是( )
A. ( 8 2, 16 + 8 2)
B. ( 16,16 + 8 2)
C. ( 8,16)
D. ( 16,16)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行四边形 中， 为 的中点， = 1 3 ，则( )
A. = 1 3

B. = + 1 2

C. = 1 + 5 3 6
D. + = 2
10.若函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )在一个周期内的图
象如图所示，则( )
A. ( )的最小正周期为 3
B. ( )的增区间是[3 5 4 , 3 +

4 ]( ∈ )
C. ( 5 2 )是奇函数
D.将 = 2 ( + 3 )
2
的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)得到 ( )的图象
11.已知△ 三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若( 3 2 ) = 3( )，则
下列选项正确的是( )
A. = 6
B.若 是 边上的一点，且 = 2 , = 2，则△ 3 3的面积的最大值为 2
C.若△ 是锐角三角形，则 的取值范围是(
1
2 , 2)
D.若 是△ 的外心， = + ，则 + ∈ [ 2,1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 为复数，若| | = 1，则| + 2 |的最大值为______．
13 3.化简2 20° 2 20°所得的结果是______．
14.已知函数 ( ) = 2 (2 3 )和函数 ( ) = (2 + 3) 2 .若关于 的方程 ( ) + ( ) = 2 在[0, )内
有两个不同的解 ， ，则 cos( )的值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 3 + ( = )，且(1 + 3 ) 为纯虚数．
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(1)求复数 ；
(2)若 = 2+ ，求复数 以及模| |．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,1)， = (3, 1)， = ( ,3)， = ( , )( , , ∈ )，其中 为坐标原点．
(1)若 ， ， 三点共线，求实数 的值；
(2) 194当四边形 为矩形时，设点 为线段 的中点，问在线段 上是否存在点 使得| + | = 3 ，
若存在，请求出所有满足条件的点 的坐标，若不存在，说明理由．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = ( 3tan 22 + 1)cos 2 2 , ∈ ( 2 , )．
(1)求函数 ( )的值域；
(2)若 ( ) = 3 3 ，求 cos(2 6 )的值．
18.(本小题 17 分)
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大
人，我是说 除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦
田.假设霍尔顿在一块成凸四边形 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将 连接，设
△ 中边 所对的角为 ，△ 中边 所对的角为 ，经测量知 = = = 2, = 2 3．
(1)若 = 30°，求 ；
(2)霍尔顿发现无论 多长， 3 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ 与△ 的面积分别为 1和 2，为了更好
地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 2 21 + 2的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知 是直线 外一点，点 ， 在直线 上(点 ， 与点 ， 任一点均不重合).我们称如下操作为“由
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点对 施以视角运算”：
若点 在线段 上，记( , ) = | |sin∠ ； | |sin∠ ；
若点 在线段 外，记( , ； ) = | |sin∠ ( , ； )| |sin∠ ，并且记( , ； , ) = ( , ; ) ．
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = 2， = 60°， 是射线 上一点，现由 点对 施

以视角运算，得到( , ； ) = 2．
(1)若| | = 3 + 1，求 的值．
(2)射线 上的点 满足( , ； ， ) = 2．
①求∠ ；
②求 + 16 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.12
14.2 55
15.解：(1) ∵ = 3 + ( = )，∴ (1 + 3 ) = 3 3 + (9 + ) ，
又∵ (1 + 3 ) 为纯虚数，∴ 9 + ≠ 0 且 3 3 = 0，解得 = 1，∴ = 3 + ；
(2) = 3+ 7 1 7 2 1 22+ = 2+ = 5 5 ，∴ | | = ( 5 ) + ( 5 ) = 2．
16.(1)由 = (1,1)、 = (3, 1)、 = ( ,3)，得 (1,1)、 (3, 1)、 ( , 3)．
1 1计算 的斜率： 3 1 = 1．
计算 3 1 2的斜率： 1 = 1．
因 ， 2， 三点共线，故 AB 与 斜率相等，即 1 = 1．
解得 = 1．
(2)四边形 为矩形，则 ⊥ 且 = ．
由 = (1,1)、 = (3, 1)，得 = (2, 2)．
设 ( , )，则 = ( 1, 1)．
由 = 0，得 2( 1) 2( 1) = 0，化简得 = ．
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又 = ( , 3 ) = = (2, 2) = 2，故 3 = 2．
结合 = ，解得 = 5， = 5， = 7，即 (5,5)、 (7,3)．
为 中点，故 (6,4)．
设 在线段 上，令 (1 + 4 , 1 + 4 )( ∈ [0,1])．
则 = (3 (1 + 4 ), 1 (1 + 4 )) = (2 4 , 2 4 )，
= (6 (1 + 4 ), 4 (1 + 4 )) = (5 4 , 3 4 )．
+ = (7 8 , 1 8 )．
由| + | = 194，得(7 8 )23 + (1 8 )
2 = 1949 ．
展开并化简：128 2 128 + 50 = 1949 ，
解得 = 13或 =
2
3．
7 7 11
故 ( 3 , 3 )或 ( 3 ,
11
3 )．
17.(1) ( ) = ( 3tan 2 + 1)cos
2 1
2 2
3sin + cos 1
= 2 2 cos
2
cos 2
2
2
1
= 3sin2 cos2 + cos
2
2 2
3 1
= 2 + 2
= sin( + 6 )，

因为 ∈ ( 2 , )，所以 +

6 ∈ (
2
3 ,
5
6 )，
所以 sin( + 6 ) ∈ (
1 3
2 , 2 )，
( ) 1 3即函数 的值域为( 2 , 2 )；
(2) ( ) = sin( + ) = 3 + ∈ ( 2 , 5 若 6 3 ，且 6 3 6 )，
3
所以 cos( + 6 ) = 1 ( 3 )
2 = 63 ，
所以 cos(2 6 ) = cos[(2 +

3 )

2 ]

= sin(2 + 3 )
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= 2 ( + 6 )cos( + 6 )
3 6
= 2 × 3 × ( 3 )
= 2 23 ．
18.(1)由 = = 2，∠ = 60°，所以△ 是等边三角形，所以 = 2，
2+ 2 2 = 32 = 2 ，
因为 0 < < 180°，所以 = 30°；
(2)在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 16 83 ，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 8 8 ，
则 8( 3 ) = 8， 3 = 1；
(3) = 11 2 = 2 3 ， 2 =
1
2 = 2 ，
则 21 + 2 2 22 = 16 (12 + 4 )，
由(2)知： 3 = + 1，
代入上式得： 21 + 22 = 24 2 + 8 3 + 12，
配方得： 2 + 21 2 = 24(
3 2
6 ) + 14，
0 < < 因为 2 , 0 < < 1，
3
当 = 时， 26 1 +
2
2取到最大值 14．
19.(1)因为( , ； ) = 2 > 0，所以点 在线段 上，
如图①所示，
又 = 2 ∠ ∠ ，所以由( , ； ) = ∠ = 2 ∠ = 2，
得 sin∠ = sin∠ ，所以 为∠ 的角平分线，又 = 60°，
所以∠ = ∠ = 30°，
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在△ 中，| | = 3 + 1，
由余弦定理得| |2 = | |2 + | |2 2| | | |cos∠ = 4 + ( 3 + 1)2 4( 3 + 1) 30° = 2，解得
| | = 2，
| | | | 2 2
由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，即 30° = sin∠ ，
2
解得 sin∠ = 2 又 是最大边，所以∠ = 45°；
(2)记∠ = ，
①因为( , ； ， ) = 2 < 0，
所以点 在线段 的延长线上，
如图②所示，
( , , ) = ∠ = ( +60°)即 ∠ 2 ，
( +60°)
所以 2 = 2 2，化简得 sin(60° + ) = 2 ，
解得 = 3 ， = 33 ，
且 ∈ (0, 2 )，所以∠ = = 30°；
②因为 = + ，
所以| | | | 60° = | | | | 30° + | | | | 30°，
1 1 3
即| |+ | | = 2 ，
所以 16| | + | | = 23 (16| | + | |)(
1 1
| |+ | | )
= 2 (17 + 16| | + | | 2 50 33 | | | | ) ≥ 3 (17 + 8) = 3 ，
当且仅当| | = 4| |时，等号成立，
此时| | = 5 3 5 312 ，| | = 3 ，
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故| | + 16| | 50 3的最小值为 3 ．
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