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湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·长沙模拟）下列散点图中，线性相关系数最小的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、这些点紧密地聚集在一条直线附近，具有较很强的线性相关性，且呈现负相关，其线性相关系数接近于；
B、散点比较分散，线性负相关程度不及A，即线性相关系数要比选项A的大.
C、散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.
D、散点比较分散，线性负相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大.
综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.
故选：A.
【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定线性相关系数的大小，即可得到答案．
2．（2025·长沙模拟）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：由|x|<3，解得-3由x2<4，解得-2所以.
故选：A.
【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式先求得集合，进而根据集合的交集运算即可求得 .
3．（2025·长沙模拟）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（　　）
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．一支双曲线上
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；圆的标准方程；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设复数，且，
所以，所以，
所以的对应点为，
因为，所以的对应点均在一个圆上.
故选：B.
【分析】设复数，且，再根据复数的除法运算求得，进而可得对应点的坐标满足的关系即可得出答案.
4．（2025·长沙模拟）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图所示，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由图可知抛物线过点，即，解得，所以抛物线方程为.
因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，
所以车行驶时，的取值范围为.
当时，，
要使载货最高的货车通过隧道，则货车高度的最大值为米.
故选：C.
【分析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，利用待定系数法求出抛物线方程，根据已知条件可知车行驶时，的取值范围为，令得，则即为货车高度的最大值.
5．（2025·长沙模拟）在中，．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以为的中点，所以．
又，所以，所以，
所以，
所以，所以．
故选：C.
【分析】结合已知条件和向量的线性运算可知，，即可求得，进而即可求得的值；
6．（2025·长沙模拟）已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
当时，符合上式，所以，
所以，
当为偶数时，，
所以，
当为奇数时，，
所以，
综上所述，，
又因为不等式恒成立，所以，所以，所以实数的最小值为 ，
故选：D.
【分析】利用求出，进而利用裂项法可得，对分奇偶求得的取值范围，进而即可求得实数的最小值.
7．（2025·长沙模拟）若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为所以，所以函数为周期函数，4是函数的一个周期.
因为是上的奇函数，所以，所以的图象关于点对称，所以，，
在，取，得，
所以
，
.
故选：A.
【分析】根据可知函数的周期为4，根据是上的奇函数可得的图象关于点对称，进而可得，，，利用 ，列式计算即可.
8．（2025·长沙模拟）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以点在面内的射影为的中点，
设的中点为，由题意可得：平面，
因为平面，所以，则，
又因为，，
所以，，，
，为的中点，则为的外心，
三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面的垂线上，则，
过作的平行线，与相交于点，则为矩形，，，
设球到平面的距离为t，球O的半径为，
有，，
在和中，，
解得，则，故球O的表面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，在和中，建立方程求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025·长沙模拟）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（　　）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C．展开式中的系数为
D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项为.
对于A，根据题意，可得，由组合数的性质可知，故A正确；
对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误；
对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确；
对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得，
可得展开式的通项为，
即每项系数均为该项的二项式系数，易知展开式中第项为二项式的中间项，
则其系数最大，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，再根据已知条件结合组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2025·长沙模拟）设，已知函数（　　）
A．在上单调递减
B．当时，存在最小值
C．设，则
D．设，若存在最小值，则
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：A、当x<-a时，f(x)=-x-1，易知f(x)单调递减，而f(-a)=a-1；
当时，，所以，
所以当时，，所以函数f(x)单调递减；当时，，所以函数f(x)单调递增，而f(-a)=0；
当0B、当时，
当时，；
当时，当x=0时，取得最小值为；
当时，，
综上所述：取得最小值，故选项B正确；
C、结合图像，
易知在，且接近于处，的距离最小，
当时，，当且接近于处，，
此时，，故选项C正确；
D、依题意，，
当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线；
当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴下方的图象（即半圆）；
当时，，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线；
因为，
结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，
点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，
故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然要保证在上，才能满足取得最小值，
所以只需，即都可满足题意，保证，
否则无最小值，故，故选项D正确；
故选：BCD
【分析】利用求得判断函数的单调性即可判断选项A；由函数单调性即可判断选项B；在，且接近于处，的距离最小，进而即可判断选项C；先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，分析可解判断选项D.
11．（2025·长沙模拟）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（　　）
A．曲线C关于直线对称
B．，
C．曲线C被直线截得的弦长为
D．曲线C上任意两点距离的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象；一元二次方程的根与系数的关系；平面内两点间的距离公式；椭圆的应用
【解析】【解答】解：A、将方程中的和互换，得到，与原方程一致，所以曲线关于直线对称，故选项A正确；
、通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求，
得，即，超出，同理的范围也超过，故选项B错误；
C、联立解得或，所以交点为和，
所以弦长为，故选项C正确；
D、因为所以所以即
又因为，即，
则
同理可得：，
则曲线的上任一点到的距离之和为：
所以曲线表示以为焦点且的椭圆，则，
则线段的最大值为故选项D正确；
故选：ACD
【分析】根据对称的理解，进行运算即可判断选项A；通过分析方程的特征可求出的范围即可判断选项B；联立方程组先求出直线和曲线的交点，进而利用两点间的距离公式求得弦长即可判断选项C；对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可判断选项D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025·长沙模拟）已知集合，则　 　．
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故答案为：.
【分析】根据补集的定义即可求得 .
13．（2025·长沙模拟）已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有　 　个，的所有可能取值构成的集合是　 　.
【答案】7；
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】①情形一：如图所示，分别取的中点，
由中位线性质可知，此时平面为的一个1阶等距平面，
则为正四面体高的一半，即为.
因为正四面体有4个面，所以这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：如图所示，分别取的中点
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，则为正方体棱长的一半，即m=.
因为正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，所以这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上所述，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个.
所以符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是；
故答案为：7；.
【分析】分两种情况得出的所有可能值以及相应的1阶等距平面的个数即可.
14．（2025·长沙模拟）已知四棱柱中，底面是平行四边形，，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为，所以直线与所成的角为，
因为底面，所以点的轨迹是以为轴（其中为顶点，为底面圆心），母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线．
如图所示，在线段和上分别取点，使得，连接，
所以点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和，且
当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，3为半径的圆的三分之一．
综上所述，点的轨迹长度为．
故答案为：.
【分析】先结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点的轨迹，再数形结合求点的轨迹长度.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025·长沙模拟）记的内角，，的对边分别，，，已知．
（1）求；
（2）设是边中点，若，求．
【答案】（1）解：在中，由正弦定理可得，又因为，所以，
所以，
所以，
即
又因为，所以，
所以，即，
而，所以，所以，
所以.
（2）解：在中，因为，所以，
所以，
由正弦定理，得，
因为是边中点，所以，
即，
所以，
在中，由正弦定理，
得.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，进而利用三角恒等变换化简可得，再利用辅助角公式结合三角函数的性质即可求得A的值；
（2）利用同角三角关系式先求得sinC，进而利用两角和的正弦公式求出，根据正弦定理可知，根据向量的线性运算可知，再利用向量数量积的运算律可求得，再利用正弦定理即可求得sin∠ADC.
（1）在中，由正弦定理及，
得，又，
则，而，
化简得，即，而，因此，
所以.
（2）在中，由，得，，
由正弦定理，得，由是边中点，得，
则，因此，
在中，由正弦定理，得.
16．（2025·长沙模拟）现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立．
A B C（新药）
治愈率
患者占比
（1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点；
（2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示）
（3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条数 1 2 3
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？
【答案】（1）解：由题意可知，，
所以，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当p=0.8时，所以 取得最大值，即的最大值点为.

（2）解：设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，
则
所以从已经用药的患者中随机抽取一名患者，该患者痊愈的概率为.
（3）解：设随机变量为生产药品产生的年利润
①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入2条生产线，
当，1条生产线运行，
年利润，
当时，2条生产线运行，
年利润，
此时的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3条生产线，
当时，1条生产线运行，
年利润 ，
当时2条生产线运行，
年利润，
当时，3条生产线运行，年利润，
此时的分布列如下：
400 1700 3000
所以
因为
综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先由已知条件求得的解析式，再对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性即可求得的最大值点；
（2）设事件为“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，利用全概率公式即可该患者痊愈的概率 ；
（3）设随机变量为生产药品产生的年利润，分别讨论投入1条，2条，3条生产线时所对应的概率，代入期望公式求解，比较大小即可得解.
（1）100个病人中恰好有80人被治愈的概率为，
则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的最大值点为.
（2）设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”，
事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，
则
因此：
所以.
（3）设随机变量为生产药品产生的年利润
①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入2条生产线，当，1条生产线运行，
年利润，当时，2条生产线运行，
年利润，
此时的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行，
年利润 ，
当时2条生产线运行，年利润，
当时，3条生产线运行，年利润，
此时的分布列如下：
400 1700 3000
所以
综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
17．（2025·长沙模拟）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数的极值．
【答案】（1）解：由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，
显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，
令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递减，
在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，
在与上单调递减.
（2）解：由时，则函数，
可得，解得或，
所以函数的定义域为，
由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，
则函数的极大值为，
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由已知条件和函数解析式明确函数的定义域，并判断函数的奇偶性，再根据化简后的解析式和求导判断函数单调性的方法，从而讨论出函数的单调性.
（2）由函数解析式明确函数的定义域，并判断函数的奇偶性，再利用导数与极值的关系以及分类讨论的方法，从而得出函数的极值．
（1）由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减.
（2）由时，则函数，可得，解得或，
所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，则函数的极大值为，
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
18．（2025·长沙模拟）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，且满足，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为 ，为的中点 ，所以BC=AM=BM=1，
因为 是等边三角形，所以∠A=60°，DM=1，
在平行四边形中 ，AD∥BC，所以∠MBC=120°，
在中，由余弦定理得，
在中，因为，
所以，
又平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，则，
由（1）知平面.
又平面，所以平面平面，
又平面平面，平面
所以平面，
因为平面，得，
过作，则，
又，
如图所示，建立空间直角坐标系，
所以，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：易知平面的一个法向量为.
由（2）知，，
因为，所以，
所以.
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，所以，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】平面向量的共线定理；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，分别求得直线AD的方向向量和平面ABM的法向量，即可数量积公式即可求得 直线与平面所成角的正弦值；
（3）求得平面与平面 的法向量，进而利用数量积公式求得平面与平面所成角的余弦值即可．
（1）如图，连接，则，
由余弦定理得，
在中，有，
所以，又平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，则，
由（1）知平面.又平面，
所以平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
过作，则，又，
建立如图空间直角坐标系，
则，
得，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
得，设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）易知平面的一个法向量为.
由（2）知，，
由，得，
所以.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
得，设平面与平面所成角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为.
19．（2025·长沙模拟）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为．
（1）证明：数列都是等比数列；
（2）记，求数列的前n项和；
（3）证明：当时，直线都过定点．
【答案】（1）证明：抛物线C的方程可化为，求导可得，
将点的坐标代入抛物线C的方程，有，
过点的切线的方程为，代入，有，
整理为，令，可得，有，
故数列是公比为的等比数列，
同理，数列也是公比为的等比数列；
（2）解：由焦点，设直线的方程为，
联立方程消去y后整理为，有，
由数列是公比为的等比数列，有，
有，
有，
两边乘以，有，
两式作差，有，
有，可得；
（3）证明：由（2）知，点的坐标为，点的坐标为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，有，
故当时，直线过定点．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列概念与表示；直线的点斜式方程；恒过定点的直线；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求在点的坐标，得到数列的递推关系式，即可证明等比数列；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和；
（3）根据（2）的结果求点，的坐标，再求直线的直线方程，即可判断定点.
（1）抛物线C的方程可化为，求导可得，
将点的坐标代入抛物线C的方程，有，
过点的切线的方程为，代入，有，
整理为，令，可得，有，
故数列是公比为的等比数列，
同理，数列也是公比为的等比数列；
（2）由焦点，设直线的方程为，
联立方程消去y后整理为，有，
由数列是公比为的等比数列，有，
有，
有，
两边乘以，有，
两式作差，有，
有，可得；
（3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为，
直线的斜率为，
直线的方程为，
令，有，
故当时，直线过定点．
1 / 1湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·长沙模拟）下列散点图中，线性相关系数最小的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·长沙模拟）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（　　）
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．一支双曲线上
4．（2025·长沙模拟）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）在中，．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·长沙模拟）已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2025·长沙模拟）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025·长沙模拟）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（　　）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C．展开式中的系数为
D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
10．（2025·长沙模拟）设，已知函数（　　）
A．在上单调递减
B．当时，存在最小值
C．设，则
D．设，若存在最小值，则
11．（2025·长沙模拟）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（　　）
A．曲线C关于直线对称
B．，
C．曲线C被直线截得的弦长为
D．曲线C上任意两点距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025·长沙模拟）已知集合，则　 　．
13．（2025·长沙模拟）已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有　 　个，的所有可能取值构成的集合是　 　.
14．（2025·长沙模拟）已知四棱柱中，底面是平行四边形，，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025·长沙模拟）记的内角，，的对边分别，，，已知．
（1）求；
（2）设是边中点，若，求．
16．（2025·长沙模拟）现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立．
A B C（新药）
治愈率
患者占比
（1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点；
（2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示）
（3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条数 1 2 3
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？
17．（2025·长沙模拟）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数的极值．
18．（2025·长沙模拟）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，且满足，求平面与平面所成角的余弦值．
19．（2025·长沙模拟）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为．
（1）证明：数列都是等比数列；
（2）记，求数列的前n项和；
（3）证明：当时，直线都过定点．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、这些点紧密地聚集在一条直线附近，具有较很强的线性相关性，且呈现负相关，其线性相关系数接近于；
B、散点比较分散，线性负相关程度不及A，即线性相关系数要比选项A的大.
C、散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.
D、散点比较分散，线性负相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大.
综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.
故选：A.
【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定线性相关系数的大小，即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：由|x|<3，解得-3由x2<4，解得-2所以.
故选：A.
【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式先求得集合，进而根据集合的交集运算即可求得 .
3．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；圆的标准方程；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设复数，且，
所以，所以，
所以的对应点为，
因为，所以的对应点均在一个圆上.
故选：B.
【分析】设复数，且，再根据复数的除法运算求得，进而可得对应点的坐标满足的关系即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图所示，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由图可知抛物线过点，即，解得，所以抛物线方程为.
因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，
所以车行驶时，的取值范围为.
当时，，
要使载货最高的货车通过隧道，则货车高度的最大值为米.
故选：C.
【分析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，利用待定系数法求出抛物线方程，根据已知条件可知车行驶时，的取值范围为，令得，则即为货车高度的最大值.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以为的中点，所以．
又，所以，所以，
所以，
所以，所以．
故选：C.
【分析】结合已知条件和向量的线性运算可知，，即可求得，进而即可求得的值；
6．【答案】D
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
当时，符合上式，所以，
所以，
当为偶数时，，
所以，
当为奇数时，，
所以，
综上所述，，
又因为不等式恒成立，所以，所以，所以实数的最小值为 ，
故选：D.
【分析】利用求出，进而利用裂项法可得，对分奇偶求得的取值范围，进而即可求得实数的最小值.
7．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为所以，所以函数为周期函数，4是函数的一个周期.
因为是上的奇函数，所以，所以的图象关于点对称，所以，，
在，取，得，
所以
，
.
故选：A.
【分析】根据可知函数的周期为4，根据是上的奇函数可得的图象关于点对称，进而可得，，，利用 ，列式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以点在面内的射影为的中点，
设的中点为，由题意可得：平面，
因为平面，所以，则，
又因为，，
所以，，，
，为的中点，则为的外心，
三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面的垂线上，则，
过作的平行线，与相交于点，则为矩形，，，
设球到平面的距离为t，球O的半径为，
有，，
在和中，，
解得，则，故球O的表面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，在和中，建立方程求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项为.
对于A，根据题意，可得，由组合数的性质可知，故A正确；
对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误；
对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确；
对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得，
可得展开式的通项为，
即每项系数均为该项的二项式系数，易知展开式中第项为二项式的中间项，
则其系数最大，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，再根据已知条件结合组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：A、当x<-a时，f(x)=-x-1，易知f(x)单调递减，而f(-a)=a-1；
当时，，所以，
所以当时，，所以函数f(x)单调递减；当时，，所以函数f(x)单调递增，而f(-a)=0；
当0B、当时，
当时，；
当时，当x=0时，取得最小值为；
当时，，
综上所述：取得最小值，故选项B正确；
C、结合图像，
易知在，且接近于处，的距离最小，
当时，，当且接近于处，，
此时，，故选项C正确；
D、依题意，，
当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线；
当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴下方的图象（即半圆）；
当时，，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线；
因为，
结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，
点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，
故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然要保证在上，才能满足取得最小值，
所以只需，即都可满足题意，保证，
否则无最小值，故，故选项D正确；
故选：BCD
【分析】利用求得判断函数的单调性即可判断选项A；由函数单调性即可判断选项B；在，且接近于处，的距离最小，进而即可判断选项C；先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，分析可解判断选项D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象；一元二次方程的根与系数的关系；平面内两点间的距离公式；椭圆的应用
【解析】【解答】解：A、将方程中的和互换，得到，与原方程一致，所以曲线关于直线对称，故选项A正确；
、通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求，
得，即，超出，同理的范围也超过，故选项B错误；
C、联立解得或，所以交点为和，
所以弦长为，故选项C正确；
D、因为所以所以即
又因为，即，
则
同理可得：，
则曲线的上任一点到的距离之和为：
所以曲线表示以为焦点且的椭圆，则，
则线段的最大值为故选项D正确；
故选：ACD
【分析】根据对称的理解，进行运算即可判断选项A；通过分析方程的特征可求出的范围即可判断选项B；联立方程组先求出直线和曲线的交点，进而利用两点间的距离公式求得弦长即可判断选项C；对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故答案为：.
【分析】根据补集的定义即可求得 .
13．【答案】7；
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】①情形一：如图所示，分别取的中点，
由中位线性质可知，此时平面为的一个1阶等距平面，
则为正四面体高的一半，即为.
因为正四面体有4个面，所以这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：如图所示，分别取的中点
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，则为正方体棱长的一半，即m=.
因为正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，所以这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上所述，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个.
所以符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是；
故答案为：7；.
【分析】分两种情况得出的所有可能值以及相应的1阶等距平面的个数即可.
14．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为，所以直线与所成的角为，
因为底面，所以点的轨迹是以为轴（其中为顶点，为底面圆心），母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线．
如图所示，在线段和上分别取点，使得，连接，
所以点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和，且
当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，3为半径的圆的三分之一．
综上所述，点的轨迹长度为．
故答案为：.
【分析】先结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点的轨迹，再数形结合求点的轨迹长度.
15．【答案】（1）解：在中，由正弦定理可得，又因为，所以，
所以，
所以，
即
又因为，所以，
所以，即，
而，所以，所以，
所以.
（2）解：在中，因为，所以，
所以，
由正弦定理，得，
因为是边中点，所以，
即，
所以，
在中，由正弦定理，
得.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，进而利用三角恒等变换化简可得，再利用辅助角公式结合三角函数的性质即可求得A的值；
（2）利用同角三角关系式先求得sinC，进而利用两角和的正弦公式求出，根据正弦定理可知，根据向量的线性运算可知，再利用向量数量积的运算律可求得，再利用正弦定理即可求得sin∠ADC.
（1）在中，由正弦定理及，
得，又，
则，而，
化简得，即，而，因此，
所以.
（2）在中，由，得，，
由正弦定理，得，由是边中点，得，
则，因此，
在中，由正弦定理，得.
16．【答案】（1）解：由题意可知，，
所以，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当p=0.8时，所以 取得最大值，即的最大值点为.

（2）解：设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，
则
所以从已经用药的患者中随机抽取一名患者，该患者痊愈的概率为.
（3）解：设随机变量为生产药品产生的年利润
①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入2条生产线，
当，1条生产线运行，
年利润，
当时，2条生产线运行，
年利润，
此时的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3条生产线，
当时，1条生产线运行，
年利润 ，
当时2条生产线运行，
年利润，
当时，3条生产线运行，年利润，
此时的分布列如下：
400 1700 3000
所以
因为
综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先由已知条件求得的解析式，再对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性即可求得的最大值点；
（2）设事件为“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，利用全概率公式即可该患者痊愈的概率 ；
（3）设随机变量为生产药品产生的年利润，分别讨论投入1条，2条，3条生产线时所对应的概率，代入期望公式求解，比较大小即可得解.
（1）100个病人中恰好有80人被治愈的概率为，
则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的最大值点为.
（2）设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”，
事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，
则
因此：
所以.
（3）设随机变量为生产药品产生的年利润
①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入2条生产线，当，1条生产线运行，
年利润，当时，2条生产线运行，
年利润，
此时的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行，
年利润 ，
当时2条生产线运行，年利润，
当时，3条生产线运行，年利润，
此时的分布列如下：
400 1700 3000
所以
综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
17．【答案】（1）解：由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，
显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，
令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递减，
在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，
在与上单调递减.
（2）解：由时，则函数，
可得，解得或，
所以函数的定义域为，
由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，
则函数的极大值为，
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由已知条件和函数解析式明确函数的定义域，并判断函数的奇偶性，再根据化简后的解析式和求导判断函数单调性的方法，从而讨论出函数的单调性.
（2）由函数解析式明确函数的定义域，并判断函数的奇偶性，再利用导数与极值的关系以及分类讨论的方法，从而得出函数的极值．
（1）由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减.
（2）由时，则函数，可得，解得或，
所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，则函数的极大值为，
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
18．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为 ，为的中点 ，所以BC=AM=BM=1，
因为 是等边三角形，所以∠A=60°，DM=1，
在平行四边形中 ，AD∥BC，所以∠MBC=120°，
在中，由余弦定理得，
在中，因为，
所以，
又平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，则，
由（1）知平面.
又平面，所以平面平面，
又平面平面，平面
所以平面，
因为平面，得，
过作，则，
又，
如图所示，建立空间直角坐标系，
所以，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：易知平面的一个法向量为.
由（2）知，，
因为，所以，
所以.
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，所以，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】平面向量的共线定理；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，分别求得直线AD的方向向量和平面ABM的法向量，即可数量积公式即可求得 直线与平面所成角的正弦值；
（3）求得平面与平面 的法向量，进而利用数量积公式求得平面与平面所成角的余弦值即可．
（1）如图，连接，则，
由余弦定理得，
在中，有，
所以，又平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，则，
由（1）知平面.又平面，
所以平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
过作，则，又，
建立如图空间直角坐标系，
则，
得，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
得，设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）易知平面的一个法向量为.
由（2）知，，
由，得，
所以.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
得，设平面与平面所成角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明：抛物线C的方程可化为，求导可得，
将点的坐标代入抛物线C的方程，有，
过点的切线的方程为，代入，有，
整理为，令，可得，有，
故数列是公比为的等比数列，
同理，数列也是公比为的等比数列；
（2）解：由焦点，设直线的方程为，
联立方程消去y后整理为，有，
由数列是公比为的等比数列，有，
有，
有，
两边乘以，有，
两式作差，有，
有，可得；
（3）证明：由（2）知，点的坐标为，点的坐标为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，有，
故当时，直线过定点．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列概念与表示；直线的点斜式方程；恒过定点的直线；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求在点的坐标，得到数列的递推关系式，即可证明等比数列；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和；
（3）根据（2）的结果求点，的坐标，再求直线的直线方程，即可判断定点.
（1）抛物线C的方程可化为，求导可得，
将点的坐标代入抛物线C的方程，有，
过点的切线的方程为，代入，有，
整理为，令，可得，有，
故数列是公比为的等比数列，
同理，数列也是公比为的等比数列；
（2）由焦点，设直线的方程为，
联立方程消去y后整理为，有，
由数列是公比为的等比数列，有，
有，
有，
两边乘以，有，
两式作差，有，
有，可得；
（3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为，
直线的斜率为，
直线的方程为，
令，有，
故当时，直线过定点．
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