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四川省凉山州2025届高中毕业生第三次诊断性检测数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1．（2025·凉山模拟）复数的虚部为（　　）
A． B．2 C． D．4
2．（2025·凉山模拟）设，向量，，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·凉山模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．2
4．（2025·凉山模拟）设等差数列的公差为d，若，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025·凉山模拟）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥的高为（　　）
A． B．1 C．2 D．
6．（2025·凉山模拟）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·凉山模拟）已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·凉山模拟）已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9．（2025·凉山模拟）已知直线和平面，则下列命题中正确的有（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2025·凉山模拟）下列说法正确的有（　　）
A．这组数据的第百分位数是
B．若一组数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为1
C．若变量服从二项分布，则
D．若变量服从正态分布，，则
11．（2025·凉山模拟）已知，则（　　）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．（2025·凉山模拟）函数的图象在点处的切线的斜率为　 　．
13．（2025·凉山模拟）点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点，，则　 　．
14．（2025·凉山模拟）已知集合，则满足的有序集组的个数为　 　．（用数字作答）
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（2025·凉山模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若外接圆的半径为1，求面积的最大值．
16．（2025·凉山模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
17．（2025·凉山模拟）已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值．
18．（2025·凉山模拟）设a为实数，函数．
（1）若曲线过点，求a的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）若恰有两个极值点，求a的取值范围．
19．（2025·凉山模拟）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．
（1）为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：
　 喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计
男性 60 40 100
女性 45 55 100
合计 105 95 200
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？
（2）某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为．
（ⅰ）计算，，并求的通项公式；
（ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，虚部为4.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简求得复数，结合复数虚部的概念求解即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：若，则，解得，
则是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求得，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据同角三角函数的基本关系，结合正弦、余弦二倍角公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列， 若 ，则，即，
又因为，所以，所以，
则公差.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据等差数列的性质可得，，再求等差数列的公差即可.
5．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，
则圆锥的侧面积为，轴截面的面积为，
由题意可得，解得.
故答案为：A.
【分析】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，求圆锥的侧面积与轴截面的面积，根据题意列出等式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递增，
结合二次函数的图象与性质，则，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数的图象与性质，得到，求实数的取值范围即可.
7．【答案】C
【知识点】余弦函数的图象；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
因为函数在上有且仅有2个零点，
所以当时，解得；
当时，解得；
当时，解得，
综上，.
故答案为：C.
【分析】先利用诱导公式化简函数可得，当时，，再分三种情况，列不等式，求实数m的取值范围即可.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线的渐近线方程为：，
曲线可化简为：，
即曲线为双勾函数，其渐近线方程为，
曲线的图象，如图所示：
要使曲线与曲线无公共点，
需满足，解得，则，
故曲线的离心率的取值范围为：.
故答案为：B.
【分析】先求双曲线的渐近线方程，化简曲线的方程易知曲线为双勾函数，作出曲线的图象，要使曲线与曲线无公共点，需满足，求得，利用离心率公式求曲线的离心率的取值范围即可.
9．【答案】A,C
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故选项A正确；
B、因为，所以或，故选项B错误；
C、因为，所以存在直线使得，又因为，所以，又，所以，故选项C正确；
D、因为，所以平行或相交，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】根据线面，面面平行和垂直的判定定理及性质定理逐一判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、数据从小到大排序为，
，则这组数据的第百分位数是，故A正确；
B、 根据方差性质可知：数据，，…，的方差为，故B错误；
C、若变量服从二项分布，则，故C正确；
D、 若变量服从正态分布，，，
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数的概念计算即可判断A；根据方差的性质即可判断B；利用二项分布均值计算公式即可判断C；根据正态分布的对称性求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】点与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：易知表示圆心，半径为的圆；
A、表示圆上一点到点的距离，
易知，则的最小值为，故A正确；
B、圆上一点到直线的距离为，
，求的最小值，即求，
即为到直线的距离减半径，
因为到直线的距离为，
所以，则的最小值为，故B错误；
C、
表示圆上一点到点距离之和，
，当三点在一条直线上时取等，
则的最小值是，故C正确；
D、
表示圆上一点到点距离之差的2倍，
，当三点在一条直线上时取等，
的最大值是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】表示圆上一点到点的距离，利用两点间距离公式求最小值为即可判断A；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可判断B；表示圆上一点到点距离之和，据此求解即可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，据此求解即可判断D.
12．【答案】0
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
，则函数的图象在点处的切线的斜率为.
故答案为：0.
【分析】求函数的定义，再求导，利用导数的几何意义求解即可.
13．【答案】5
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设左焦点为，右焦点为，连接，如图所示：
因为，分别为、的中点，，所以，
由椭圆的定义可得：，，
满足，则，.
故答案为：.
【分析】设左焦点为，右焦点为，连接，由题意，结合椭圆的定义求得，即可求的值.
14．【答案】729
【知识点】子集与真子集；基本计数原理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：设集合B的元素个数为，则集合B的个数有个，
易知集合B的子集有个，即集合A的个数有个；
则有序集组的个数为个.
故答案为：729.
【分析】设集合的元素个数为，易知集合B的个数有个，集合A的个数有个，结合二项式定理求解即可.
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
整理得，则，
因为，所以；
（2）解：因为外接圆的半径为1，，所以，解得，
则，因为，所以，
当且仅当时等号成立，
则，即面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化简可得，再由余弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论，结合正弦定理求出，再由余弦定理和基本不等式求出，最后根据三角形的面积公式求解即可.
（1）由已知及正弦定理可得，
整理得，
∴，
∵，∴．
（2）∵外接圆的半径为1，
∴，得，∴，
又，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
即面积的最大值为
16．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为，所以，
又因为，，平面，则平面，且平面PBE，
所以，
又因为为的中线，所以；
（2）解：在菱形中，，由，
则，，
，则，
在中，，，
则，即且，
在中，，即，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
取的中点，连接，
则，
因为，所以，，，
则，即二面角的余弦值是.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，进而可得，即可证得结论；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，取的中点，连接，利用空间向量夹角公式求二面角即可.
（1）取CD的中点E，连接BE，PE，
由，得，
又因为，，平面PBE，则平面PBE，
且平面PBE，可得，
因为BE为的中线，所以
（2）在菱形ABCD中，，由，
则，，
，则，
在中，，，
则，即且，
在中，，即，
故可以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
取PC的中点F，连接BF，
则，
由，得，
可知二面角的大小，
可得，，
则，
所以二面角的余弦值是.
17．【答案】（1）解：易知抛物线的焦点，
到抛物线的焦点的距离为 ，即，解得，
则的方程为；
（2）解：设，，
联立，消去整理可得，，则，
由韦达定理可得：，
由，可得，解得，
则，
当且仅当时等号成立，即面积的最小值为.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线定义列式求解即可；
（2）联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，根据计算可得，再根据化简求值即可.
（1）抛物线的准线为，焦点
由抛物线定义可得，解得，
故的方程为
（2）设，，
联立，
故，
又则，
由，
解得：或（舍去），
（当且仅当时，等号成立）.
18．【答案】（1）解：函数，
因为曲线过点，所以，
即，且，则所以或；
（2）解：当时，函数定义域为，，
令，则，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，且，，
故当时，，当时，，且；
（3）解：函数，求导可得，
由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，
且，，
若恰有两个极值点，则，即，
则a的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 若曲线过点， 将点代入曲线方程求解出的值即可；
（2）将代入，求函数的定义域，以及导函数，令导函数为新的函数对进行求导，得到导数的零点和最小值点，进而求得导函数的正负情况进而得到原函数的单调情况，得到的最小值即可；
（3）结合第二小问，得到在上单调递减，在上单调递增，且，，则恰有两个极值点，则导数有两个零点且在零点处符号发生变化，列不等式组，求解即可.
（1）因为曲线过点，
所以，
即，且
所以或
（2）当时，，
所以，
令，
则，则在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以，，，
所以
（3），
由（2）小题解答可知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
若恰有两个极值点，则，即，
所以a的取值范围为
19．【答案】（1）解：零假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关，
，
依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，即喜爱排球运动与性别无关；
（2）解：（ⅰ）由题意，，
且时，
则
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即；
（ⅱ）由题意，，
且时，
所以，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
即
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）（ⅰ）构造是以为首项，为公比的等比数列进行求解即可；
（ⅱ）构造数列是以为首项，为公比的等比数列进行求解即可.
（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
，
依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，
可以认为喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关.
（2）（ⅰ）由题意，，
且时，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
（ⅱ）由题意，，
且时，
所以
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
则，
即
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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1．（2025·凉山模拟）复数的虚部为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，虚部为4.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简求得复数，结合复数虚部的概念求解即可.
2．（2025·凉山模拟）设，向量，，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：若，则，解得，
则是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求得，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．（2025·凉山模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据同角三角函数的基本关系，结合正弦、余弦二倍角公式计算即可.
4．（2025·凉山模拟）设等差数列的公差为d，若，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列， 若 ，则，即，
又因为，所以，所以，
则公差.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据等差数列的性质可得，，再求等差数列的公差即可.
5．（2025·凉山模拟）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥的高为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，
则圆锥的侧面积为，轴截面的面积为，
由题意可得，解得.
故答案为：A.
【分析】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，求圆锥的侧面积与轴截面的面积，根据题意列出等式求解即可.
6．（2025·凉山模拟）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递增，
结合二次函数的图象与性质，则，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数的图象与性质，得到，求实数的取值范围即可.
7．（2025·凉山模拟）已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦函数的图象；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
因为函数在上有且仅有2个零点，
所以当时，解得；
当时，解得；
当时，解得，
综上，.
故答案为：C.
【分析】先利用诱导公式化简函数可得，当时，，再分三种情况，列不等式，求实数m的取值范围即可.
8．（2025·凉山模拟）已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线的渐近线方程为：，
曲线可化简为：，
即曲线为双勾函数，其渐近线方程为，
曲线的图象，如图所示：
要使曲线与曲线无公共点，
需满足，解得，则，
故曲线的离心率的取值范围为：.
故答案为：B.
【分析】先求双曲线的渐近线方程，化简曲线的方程易知曲线为双勾函数，作出曲线的图象，要使曲线与曲线无公共点，需满足，求得，利用离心率公式求曲线的离心率的取值范围即可.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9．（2025·凉山模拟）已知直线和平面，则下列命题中正确的有（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,C
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故选项A正确；
B、因为，所以或，故选项B错误；
C、因为，所以存在直线使得，又因为，所以，又，所以，故选项C正确；
D、因为，所以平行或相交，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】根据线面，面面平行和垂直的判定定理及性质定理逐一判断即可.
10．（2025·凉山模拟）下列说法正确的有（　　）
A．这组数据的第百分位数是
B．若一组数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为1
C．若变量服从二项分布，则
D．若变量服从正态分布，，则
【答案】A,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、数据从小到大排序为，
，则这组数据的第百分位数是，故A正确；
B、 根据方差性质可知：数据，，…，的方差为，故B错误；
C、若变量服从二项分布，则，故C正确；
D、 若变量服从正态分布，，，
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数的概念计算即可判断A；根据方差的性质即可判断B；利用二项分布均值计算公式即可判断C；根据正态分布的对称性求解即可判断D.
11．（2025·凉山模拟）已知，则（　　）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】A,C,D
【知识点】点与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：易知表示圆心，半径为的圆；
A、表示圆上一点到点的距离，
易知，则的最小值为，故A正确；
B、圆上一点到直线的距离为，
，求的最小值，即求，
即为到直线的距离减半径，
因为到直线的距离为，
所以，则的最小值为，故B错误；
C、
表示圆上一点到点距离之和，
，当三点在一条直线上时取等，
则的最小值是，故C正确；
D、
表示圆上一点到点距离之差的2倍，
，当三点在一条直线上时取等，
的最大值是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】表示圆上一点到点的距离，利用两点间距离公式求最小值为即可判断A；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可判断B；表示圆上一点到点距离之和，据此求解即可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，据此求解即可判断D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．（2025·凉山模拟）函数的图象在点处的切线的斜率为　 　．
【答案】0
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
，则函数的图象在点处的切线的斜率为.
故答案为：0.
【分析】求函数的定义，再求导，利用导数的几何意义求解即可.
13．（2025·凉山模拟）点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点，，则　 　．
【答案】5
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设左焦点为，右焦点为，连接，如图所示：
因为，分别为、的中点，，所以，
由椭圆的定义可得：，，
满足，则，.
故答案为：.
【分析】设左焦点为，右焦点为，连接，由题意，结合椭圆的定义求得，即可求的值.
14．（2025·凉山模拟）已知集合，则满足的有序集组的个数为　 　．（用数字作答）
【答案】729
【知识点】子集与真子集；基本计数原理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：设集合B的元素个数为，则集合B的个数有个，
易知集合B的子集有个，即集合A的个数有个；
则有序集组的个数为个.
故答案为：729.
【分析】设集合的元素个数为，易知集合B的个数有个，集合A的个数有个，结合二项式定理求解即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（2025·凉山模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若外接圆的半径为1，求面积的最大值．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
整理得，则，
因为，所以；
（2）解：因为外接圆的半径为1，，所以，解得，
则，因为，所以，
当且仅当时等号成立，
则，即面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化简可得，再由余弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论，结合正弦定理求出，再由余弦定理和基本不等式求出，最后根据三角形的面积公式求解即可.
（1）由已知及正弦定理可得，
整理得，
∴，
∵，∴．
（2）∵外接圆的半径为1，
∴，得，∴，
又，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
即面积的最大值为
16．（2025·凉山模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为，所以，
又因为，，平面，则平面，且平面PBE，
所以，
又因为为的中线，所以；
（2）解：在菱形中，，由，
则，，
，则，
在中，，，
则，即且，
在中，，即，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
取的中点，连接，
则，
因为，所以，，，
则，即二面角的余弦值是.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，进而可得，即可证得结论；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，取的中点，连接，利用空间向量夹角公式求二面角即可.
（1）取CD的中点E，连接BE，PE，
由，得，
又因为，，平面PBE，则平面PBE，
且平面PBE，可得，
因为BE为的中线，所以
（2）在菱形ABCD中，，由，
则，，
，则，
在中，，，
则，即且，
在中，，即，
故可以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
取PC的中点F，连接BF，
则，
由，得，
可知二面角的大小，
可得，，
则，
所以二面角的余弦值是.
17．（2025·凉山模拟）已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值．
【答案】（1）解：易知抛物线的焦点，
到抛物线的焦点的距离为 ，即，解得，
则的方程为；
（2）解：设，，
联立，消去整理可得，，则，
由韦达定理可得：，
由，可得，解得，
则，
当且仅当时等号成立，即面积的最小值为.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线定义列式求解即可；
（2）联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，根据计算可得，再根据化简求值即可.
（1）抛物线的准线为，焦点
由抛物线定义可得，解得，
故的方程为
（2）设，，
联立，
故，
又则，
由，
解得：或（舍去），
（当且仅当时，等号成立）.
18．（2025·凉山模拟）设a为实数，函数．
（1）若曲线过点，求a的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）若恰有两个极值点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：函数，
因为曲线过点，所以，
即，且，则所以或；
（2）解：当时，函数定义域为，，
令，则，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，且，，
故当时，，当时，，且；
（3）解：函数，求导可得，
由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，
且，，
若恰有两个极值点，则，即，
则a的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 若曲线过点， 将点代入曲线方程求解出的值即可；
（2）将代入，求函数的定义域，以及导函数，令导函数为新的函数对进行求导，得到导数的零点和最小值点，进而求得导函数的正负情况进而得到原函数的单调情况，得到的最小值即可；
（3）结合第二小问，得到在上单调递减，在上单调递增，且，，则恰有两个极值点，则导数有两个零点且在零点处符号发生变化，列不等式组，求解即可.
（1）因为曲线过点，
所以，
即，且
所以或
（2）当时，，
所以，
令，
则，则在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以，，，
所以
（3），
由（2）小题解答可知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
若恰有两个极值点，则，即，
所以a的取值范围为
19．（2025·凉山模拟）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．
（1）为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：
　 喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计
男性 60 40 100
女性 45 55 100
合计 105 95 200
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？
（2）某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为．
（ⅰ）计算，，并求的通项公式；
（ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关，
，
依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，即喜爱排球运动与性别无关；
（2）解：（ⅰ）由题意，，
且时，
则
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即；
（ⅱ）由题意，，
且时，
所以，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
即
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）（ⅰ）构造是以为首项，为公比的等比数列进行求解即可；
（ⅱ）构造数列是以为首项，为公比的等比数列进行求解即可.
（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
，
依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，
可以认为喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关.
（2）（ⅰ）由题意，，
且时，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
（ⅱ）由题意，，
且时，
所以
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
则，
即
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