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2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：函数解答题专项练
一、函数的概念与性质（本大题共14小题）
1．已知函数若在上存在最小值,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为A，的值域为B.
（1）求A和B；
（2）若，求的最大值.
3．已知是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求，的值；
（2）求的解析式；
（3）画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程）
4．已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，.
（1）证明：为奇函数.
（2）解不等式.
（3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
5．已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，.
（1）求函数与的解析式；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
6．已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断的单调性，求在区间上的最大值；
(3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
7．已知是定义在上的单调递增函数，且.
(1)解不等式；
(2)若对和恒成立，求实数的取值范围.
8．已知函数，图象经过点，且.
（1）求的值；
（2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性.
9．已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.
10．设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
11．设函数，函数.
（1）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求实数的最大值.
12．已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)当时，解不等式<；
(2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围．
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
14．已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在两个不相等的正实数，满足．
①求在上的最小值；
②证明：．
二、基本初等函数Ⅰ（本大题共12小题）
15．（1）；
（2）.
16．已知函数.
(1)若，求该函数的值域；
(2)证明：当时，恒成立.
17．设，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最值.
18．已知函数为偶函数.
（1）求t的值；
（2）求的最小值；
19．已知函数，记集合A为的定义域.
(1)求集合A；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)当时，求函数的值域.
20．已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求的值
（2）当时，记，的值域分别为集合A，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围
（3）设，且在上的最小值为，求实数的值．
21．已知函数，记.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.
22．已知函数若存在，且，使得．
（1）求实数a的取值集合A；
（2）若，且函数的值域为R，求实数a的取值范围．
23．已知函数．
(1)若为偶函数，求实数的值；
(2)当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
24．已知幂函数是定义在R上的偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值．
25．已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设.
（1）求，的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
26．已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值；
(3)若满足，则称为函数的不动点． 若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
三、函数的应用（本大题共16小题）
27．舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：
天数 1 2 3
舆论场指数 12 48 156
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.
(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；
(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.
28．（本小题满分15分）已知函数,.
（1） 求函数的值域；
（2） 求满足方程的的值.
29．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本200万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完．
(1)求2024年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
30．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
求的解析式；
求函数在内的“和谐区间”；
若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.
31．已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”．
（1）设函数．
（i）当时，求在上的最大“Ω点”；
（ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围；
（2）设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于．
32．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
（1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
33．如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成.
（1）求的解析式；
（2）已知，求的取值范围；
（3）若方程存在实数解，求的取值范围.
34．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
35．定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数.
（1）当时
（i）判断的奇偶性，并求在的极值；
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：；
（2）当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
36．在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为.
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论：
（2）求函数的最小值；
（3）求证：对，.
37．对于正整数m，记集合为所有m次整数系数多项式方程的实数根构成的集合，即，其中x称为代数数．例如是整数系数多项式方程的根，所以，它是代数数．
(1)判断是否为代数数，并说明理由；
(2)设，，若恒成立，求实数t的最大值；
(3)设无理数，求证：存在正实数t，对于一切且，都有．
38．已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，其中分别为奇函数，偶函数.
(1)求在上的最大值；
(2)求证：；
(3)求证：仅有1个零点，且.
39．已知函数，其中.
(1)若函数的定义域为，求的值；
(2)记函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围；
(3)当时，若，证明：函数在上存在唯一的零点，且.
40．对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，满足：（1）对任意的，；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“压缩函数”.区间上所有“压缩函数”构成的集合记作.
（1）判断下列函数是否属于集合？（请直接写出结论）
① ②
（2）设，若，求实数a的取值范围；
（3）设，若对任意的，，均有.求M的最小值，并说明理由.
41．数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，．
(1)若，求的值；
(2)已知四元数．
（i）若，求证：；
（ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：．
42．正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．
已知函数，，．
（1）求的值；
（2）设函数，求的值域；
（3）本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
①判断函数的零点个数，并说明理由；
②判断函数的零点个数，并说明理由．
四、导数在函数问题中的应用（本大题共12小题）
43．(13分)
已知函数f(x)=x4-(a+b)x+ab,其中-1(1)若a=0,b=,求f(x)的最小值;
(2)证明:f(x)至少有两个零点.
44．（15分）
已知函数是奇函数.
（1） 求；
（2） 求曲线在点处的切线方程；
（3） 证明:函数有且仅有1个零点.
45．已知在时有极值0．
（1）求常数，的值；
（2）求在区间上的最值．
46．已知函数是函数的导函数，且．
（1）求；
（2）若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：．
47．(17分)
已知函数f(x)=2sin x-x.
(1)若函数F(x)与f(x)的图象关于点对称,求F(x)的解析式;
(2)当x∈[0,π]时,f(x)≤m,求实数m的取值范围;
(3)判断函数g(x)=(x+1)f(x)+1在内的零点个数,并说明理由.
48．已知函数.
(1)证明曲线是轴对称图形；
(2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）.
49．已知函数.
(1)是否存在实数，使得为函数的极小值点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)求证：当时，图象上总存在关于原点对称的两点.
50．已知函数.
（1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程；
（2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.
（i）求函数的极值；
（ii）若，且，求实数的取值范围.
51．（17分）
设函数.
（1） 当时,求的最小值.
（2） 讨论函数的图象是否有对称中心.若有,请求出；若无,请说明理由.
（3） 当时,都有,求实数的取值集合.
52．（17分）
已知函数且,的图象关于直线对称的图象对应的函数记为.
（1） 若,方程有且只有一个实数解,求的值；
（2） 讨论方程在上实数解的个数；
（3） 若,设函数,若,求的取值范围.
53．（17分）
已知函数且,的图象关于直线对称的图象对应的函数记为.
（1） 若,方程有且只有一个实数解,求的值；
（2） 讨论方程在上实数解的个数；
（3） 若,设函数,若,求的取值范围.
54．（17分）
设函数.
（1） 当时,求的最小值.
（2） 讨论函数的图象是否有对称中心.若有,请求出；若无,请说明理由.
（3） 当时,都有,求实数的取值集合.
参考答案
1．【答案】D
【详解】当时，单调递增，则在上有最小值，为；当时，单调递减，则在上无最小值.若在上存在最小值，则，即.设，显然在上单调递增，且，解不等式，可得.故选.
【思路导引】
的范围
【一题多解】
（数形结合）在同一平面直角坐标系中画出函数和在上的图象，
如图所示.设两函数图象的交点的横坐标为，由图象可知，当时，在上不存在最小值，当时，在上存在最小值，又，即，.故选D.
2．【答案】（1）A为，B为
（2）3
【详解】（1）解：由题意，函数，满足，
解得，所以函数的定义域为，
而函数在R上是增函数，
，，
所以函数的值域为，
故定义域A为，值域B为.
（2）解：由（1）可知，若，
则，解得，
所以的最大值为3，此时满足，
故最大值为3.
3．【答案】（1）；
（2）；
（3）见详解.
【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，，
所以，；
（2）因为偶函数在时有，
所以时，，
所以；
（3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为，
作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图，
由图象知增区间是和，减区间是和.
4．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）由题意函数的定义域为，定义域关于原点对称，
令，则，故.
令，则，故.
故为奇函数.
（2）任取，且.
由题意，，，
故，即，
又，故在上为减函数.
因为，所以，，
故即，
即，化简可得，解得.
（3）由（2）知在上为减函数，故在上最大值为.
要使对任意的，恒成立，则，即对任意恒成立.
又是关于的一次函数，故只需，
即，解得.
5．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数，
则，可得，
联立方程，解得，.
（2）因为，即，
又因为，令，则，
可得，整理可得，
原题意等价于在上恒成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，
所以实数的取值范围为.
6．【答案】(1)奇函数；
(2)为上的减函数；在上的最大值为6；
(3)存在，实数a的取值范围为．
【详解】（1）取，则，
∴，
取，，则，
∴对任意恒成立，
∴为奇函数；
（2）任取且， 则，
因为，故，
令，则有，
即，
∵时，，
故时，，
∴，
∴．
故为上的减函数．
∴，，
∵，，
令，则，故，
因为
令，则，即，
由（1）知：为奇函数，故，
故，解得：，
故，
故在上的最大值为6；
（3）∵在上是减函数，
∴，
∵，对所有，恒成立．
∴，恒成立；
即，恒成立，
令，则，即，
解得：或．
∴实数a的取值范围为．
7．【答案】(1)解集为
(2)
【详解】（1）是定义在上的单调递增函数，且，
则，即.
有,解得，
故所求解集为.
（2）在上单调递增，
当时，.
问题转化为，
即，对成立.
接下来求的取值范围.
设，
①若，则，对成立；
②若，则是关于的一次函数，要使，对成立，必须，且，
或.
或或，即的取值范围是.
8．【答案】（1）
（2）在区间上单调递增，理由见详解
【详解】（1）由题意得，解得，
（2）在区间上单调递增，理由如下：
任取，且，
故
，
因为，所以，
又，所以，
故，
故，在区间上单调递增.
9．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）向量，，
.
（2），
，
，，，
所以的取值范围为.
（3）由（1）（2）可知，函数，
令，则，
，其图象抛物线开口向上，对称轴方程为，
当，即时，最小值为，解得（舍去）；
当，即时，最小值为，解得或（舍去）；
当，即时，最小值为.
综上可知，.
10．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；
（2）采用作差比较大小，整理化简得；
（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.
【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，
.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.
【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.
11．【答案】（1）
（2）1
【详解】（1）对于任意的，总存在，使得，
即，
其中，，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
因为是减函数，所以当时，，
所以，解得.
（2）时，可得，，
即，
因为，分离参数可得
，
由题意，不等式在存在解集，则
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，解得，
所以的最大值为1.
12．【答案】(1){或}
(2)
【详解】（1）当时，由函数单调性的性质可得函数是减函数，
所以不等式<等价于，
即原不等式解集为；
（2）由于是偶函数，则，
代入化简得，
解得，又，
令，则由，，
可得，
令，可得，
则在区间上有零点，
可转化为在上有解，
易知函数在上单调递增，
所以，则，
解得，故的取值范围为．
13．【答案】（1）；
（2）存在，
【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，
当时，，且，
所以，解得，
所以当时，，
当时，，所以，
所以函数的解析式为.
（2）假设存在正实数满足题意.
因为当时，，
所以函数在上是增函数，
所以，即，
所以是方程的两个不相等的正根，
所以，且，
所以,所以,
所以存在正实数，使得当时，函数的值域为.
14．【答案】（1）；
（2）①见详解；②见详解.
【详解】（1）由，则，故，可得；
（2）①由题设，易得且，只需讨论的情况，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，
且，即在处连续，
当时，在上，显然其在上单调递增，
不存在两个不相等的正实数，满足，舍去；
当时，，
在上单调递增，在上单调递增，
在处连续，故其在上单调递增，
不存在两个不相等的正实数，满足，舍去；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时存在两个不相等的正实数，满足，
若，则在上单调递减，最小值为；
若，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为；
综上，时最小值为，时最小值为；
②不妨设，结合①分析，有、、三种情况，
当时，由，即，
对于，均有，
即，即，
又，故，，则，
结合图知，对于、两种情况必有，
当时，，则，
结合图知，对于、两种情况必有，
综上，，得证.
15．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）
；
（2）
.
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：，令，，则，
令，则，
因此，的值域为.
（2）解：由（1）可得，，
因此，即该不等式恒成立.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
则，
由题意可得，解得，
故函数定义域为；
（2）由（1）可得，
令，
根据二次函数的性质可得，当时，
故，
故函数的值域为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵为偶函数,
∴
即,
∴,
∴.
（2）
,
当时, ,
故,即在上单调递增,又为偶函数,
∴在上单调递减,
∴的最小值为.
19．【答案】(1)
(2)为奇函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）对于，
有，解得，故.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知的定义域关于原点对称，
又，
故为奇函数.
（3）令，则其图象开口向上，对称轴为，又，
所以在上单调递增，
当时，；当时，；
所以，又在上递减，
所以，即
故的值域为.
20．【答案】（1）-2
（2）
（3）或．
【详解】（1）由幂函数的定义得，解得：或，
当时，在上单调递增，符合题意
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．
综上可知：；
（2）由（1）得，
当时，，即；
当时，因为单调递增，
故，即，
由命题是成立的必要条件，则，显然，
则，解得：，
所以实数的取值范围为；
（3）根据题意得，的对称轴为，
当，即时，在上单调递增，，
解得：（舍去），或，
当时，即，，
解得：或（舍去），
当，即时，，
解得：（舍去），
综上所述，或．
21．【答案】（1）
（2）奇函数，见详解
（3）不存在，理由见详解
【详解】（1）由题意知
要使有意义，则有
，得
所以函数的定义域为：
（2）由（1）知函数F(x)的定义域为：，关于原点对称，
函数为上的奇函数.
（3），
假设存在这样的实数，则由
可知
令，则在上递减，在上递减，
是方程，即有两个在上的实数解
问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解
令，则有
，
解得，又，∴
故这样的实数不存在.
22．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）当，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：
存在且，使得成立.
当，即a≥2时，
若存在且，使得成立，
则﹣1+a＞a2﹣7a+14，
解得3＜a＜5，
综上所述，实数a的取值集合；
（2）设，由题意可知能够取到一切的正数，
当a=0时，z=3x+4能够取到一切的正数；
当a＞0，判别式，即为，
解得a≥9或0＜a≤1．
综上可得，a的范围是
即为0≤a≤1．
23．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）定义域为，
因为为偶函数，所以，
即，
即，解得：，
此时，定义域为R，
且，
所以为偶函数，符合题意，
所以；
（2）当时，，
不等式，即，
可化为：，
即对任意恒成立，
记，只需，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以，解得：，
即实数的取值范围为；
（3）当时，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
则可化为，
又因为在上单调递增，所以，
换底得：，
即，
令，则，
问题转化为在上有两不同实数根，
即有两不同实数根，
令，
分别作出图象如图所示：
故在上有两根，只需，解得：，
即实数的取值范围为．
24．【答案】(1)
(2)当时，函数的最大值为7
【详解】（1）根据题意可得，即，
所以，解得，又函数是定义在上的偶函数，
所以，即函数的解析式为．
（2）由（1）可知
因，所以，当时，，函数的最大值为7．
25．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）的对称轴为，因为，
所以在区间上的单调递增，
所以，，
解得，.
（2），，
因为不等式在上有解，令，
则在上有解，代入得，即，
令，则在上有解，
因为在处取得最大值1，所以，实数的取值范围.
26．【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由，，
当时，即，
函数在单调递减，所以；
当时，函数在单调递增，所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离大，
所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离小，
所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离和端点与对称轴的距离相等，
所以；
综上所述：.
（3）因为函数有两个不相等的不动点，，且，，
所以，即方程有两个不相等的正实根，，
所以，解得，所以，
，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以.
故的最小值为.
27．【答案】(1)③
(2)
(3)
【详解】（1）③；
根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③；
（2）将表格数据代入，得，，
解得，
故函数为，
则第4天时的舆论场指数为.
（3）若本次舆情不是严重的，则恒成立，
原式等于，故两边同时除以，得到，
不妨设，故原式等于，整理得，
由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可，
代入得，解得，
故的最小值为.
28．【答案】
【解】（1） ，因为，，所以，，
即，故的值域是.
（2） 由，得.
当时，,,方程无解；
当时，，整理得，即.
因为，所以，即.
故满足方程的的值为.
29．【答案】(1)
(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5842万元．
【详解】（1）（1）当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，
当时，，
当时，
，
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5842万元.
30．【答案】；；存在，.
【解析】利用函数奇偶性的性质写出的解析式；
根据“和谐区间”的定义写出函数在内的“和谐区间”；
设为的一个“和谐区间”，则，即 ，同号，结合分类讨论得出结果.
【详解】解：为上的奇函数，
又当时，，
当时，；
；
设，在上单调递减，
，即，是方程的两个不相等的正根.
在内的“和谐区间”为.
设为的一个“和谐区间”，则，，同号.
当时，同理可求在内的“和谐区间”为.

依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根.
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上所述，实数的取值集合为.
31．【答案】（1）（i）；（ii）
（2）见详解
【详解】（1）（i）当时，，
则，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
即对，，当时，都有，
即在上的最大“Ω点”为；
（ii）由题意可得在时恒成立，
，
令，，
则，
当时，恒成立，故在上单调递减，
则，
故在上单调递减，此时，符合要求；
当时，令，则，
则当，即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，
有，不符合要求，故舍去；
当，即时，恒成立，故在上单调递减，
则，故在上单调递减，
此时，符合要求；
当，即时，
若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有，解得，
由，故，
由，故，
即当时，符合要求；
综上所述，；
（2）若在D上的“Ω点”个数为，则，符合要求；
若在D上的“Ω点”个数为，令在D上的“Ω点”分别为、、、，
其中、，、、、，
若，
则若，由，则，即，
若，由题意，，，
故，即，又，故，符合要求；
若，
则，，，，
由，则，
若，即，则，
若，由题意，，且，
又，故，即，，，，
即有，即，
由，故，
又，故，
即在D上的“Ω点”个数不小于.
32．【答案】（1）
（2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元
【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当时，，
当时，，
∴．
（2）当时，，
当时，取得最大值9；
当时，，
此时，当即时，取得最大值.
综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
33．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由题意得，解得，所以.
（2）因为在上单调递减，且，
，解得.
（3）存在实数解，即有解，
即函数的图象与函数的图象有交点，
所以，解得或.
故的取值范围为.
34．【答案】（1）；
（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
【详解】（1）由题意，当时，；当时，.
所以.
（2）当时，，令，解得.
易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，
.
当时，，
当且仅当，即时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
35．【答案】（1）（i）偶函数，极小值为，无极大值；（ii）见详解
（2）见详解
【详解】（1）（i）当时，，
因为，故是偶函数，
由，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在的极小值为，无极大值.

（ii）由（i）得，令，则，
对满足方程的有，所以，
设是的任意正实根，则，
则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角，
因为，
所以在第二或第四象限变化时，变化如下，
（为奇数） 0 +
（为偶数） + 0
所以满足的正根都为函数的极值点，
由题可知为方程的全部正实根，
且满足，，
所以，
因为，，，
则，由，可得，
故得证.
（2）由题意得，
当时，，
设对应的切点为，，
对应的切点为，，
由于，所以，，
由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，
又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形，
则，
，
其中，得到，
又，，
即，，
当时，，，
令（），
则，，
在上单调递减，又，所以，
所以，此时，则，
故得证.
36．【答案】（1）奇函数，见详解
（2）
（3）见详解
【详解】（1）因的定义域为，
由可得函数为奇函数.
（2）
，
设，则，当且仅当时取“=”，
则在上单调递增，
所以.
所以函数的最小值为.
（3）① 当时，，.
对于，因，则为偶函数；
设，则，
因为，所以，，，
所以，即在上单调递增.
所以当时，.
对于，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增，
所以当时，.
所以；
② 当时，.
由可得，
所以，
即.
综上可得：对，.
37．【答案】(1)是，理由见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）设则，
可得，
所以是整数系数多项式方程的根，是代数数；
（2）将变形为，
所以问题等价于求的最小值，
因为，，所以列举出的所有可能共有9种，如下：
，，，，，
，，，
经比较得是最小的，因此t的最大值是；
（3）证明：由定义可得，存在整数a，b，c使得，其中，
设，的另一个根为，
则，又可知，否则是有理数，矛盾，
，因为，所以是非零整数，
也就是，
若则在时成立．
若，则，
可得，
因此，在时成立，
而，
所以t取总能保证.
1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等；
2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法；
3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题.
38．【答案】(1)；
(2)证明见详解；
(3)证明见详解.
【详解】（1）由已知得，，，
所以，所以，
所以在上单调递增，
所以在上的值域为，即最大值为；
（2）因为，即①，
所以，即，
因为分别为奇函数，偶函数，
所以②，
由①、②得，，
所以
，
即成立，当且仅当时取等号；
（3）由以上得，，所以定义域为且单调递增，
，
因为，
所以，
由零点存在定理得，存在唯一零点，使得，
所以，
要证，
令，显然函数在定义域上单调递增，
因为，所以，
因为，所以，则，
所以成立，所以成立，原式得证.
39．【答案】(1);
(2);
(3)证明见解析.
【详解】（1），
因为函数的定义域为，
所以不等式的解集为，
所以1，2是方程的两个不等实数根，
所以，即；
（2）由题意知，，
令，则，
①当，即时，，
由，得，又，所以.
②当，即时，，
由，得，又，所以.
③当，即时，，
由，得，
又，所以.
④当，即时，，
由，得，又，所以.
综上所述：
（3）当时，，
所以，
当时，易知单调递增，
又.
由零点存在性定理知函数在上有唯一零点，且，
当时，，所以恒成立，
故在上无零点.
当时，，所以恒成立，
故在上无零点.
综上所述，在上存在唯一的零点，且
因为
又为的零点，所以，
故，
因为，且，所以.
令，则，
显然，在上单调递减，
所以.
40．【答案】（1）①属于集合，②不属于集合；
（2）；
（3）3，理由见详解.
【详解】（1）①属于集合，②不属于集合.
①，，则；1，
表示任意两点斜率的绝对值，所以最大为，符合；
②，，则；
当1，则，而，不符合；
（2）若，时，单调递增.
令，则，
则需，即需单调递减，
而，则，即，
显然符合题意，此时；
综上，
（3）M的最小值为3，理由如下：
一方面，令，则，.
对任意的，，，不妨设.
（a）若，则
（b）若，则
（c）若，则，所以.
综上，，
由，得，
另一方面，设，对任意的，
（a）当时，
（b）当时，由，得，故；
（c）当时，由，得，故；
（d）当时，
综上，恒成立，
所以的最小值为3.
41．【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）由，得，
所以
；
（2）（i）由题意
，
则
，
又因为，
所以，
，
或，
，
故，
所以；
（ii）由，
得，
又因为
，①
当且仅当时取等号，
同理，②
，③
，④
由①②③④得
，
即，
又
，
所以，
所以.
42．【答案】（1）0；
（2）；
（3）答案见详解.
【详解】（1）由题意可，
.
（2）由题意可得，，
，
，
令，则，即，值域为.
（3）选①
，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得，
由得，即，
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
选②
，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得，
，
由得，即，
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
43．【答案】见详解
【详解】(1)【解】当a=0,b=时,f(x)=x4-x,f'(x)=4x3-.
　 1分
令f'(x)=0,解得x=,因为y=x3在定义域内单调递增,
所以当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 4分
因此f(x)的最小值为f=-. 6分
(2)【证明】因为-1注意到f(a)=a2(a2-1)<0,f(-1)=(1+a)(1+b)>0, 8分
f(1)=(1-a)(1-b)>0, 9分
由函数零点存在定理可知,f(x)在(-∞,a),(a,+∞)上各至少有一个零点. 11分
所以f(x)至少有两个零点. 13分
44．【答案】
（1） 【解】第一步:根据奇函数的定义得到关于的方程
函数是奇函数，
，即，
，即对定义域内任意恒成立提示:注意恒成立的应用，
第二步:利用恒成立探究参数的值
，解得或（舍去），，此时，
由得的定义域为，符合题意另解:由（2）可知的定义域中包含0，由，得，此时为奇函数，符合题意.故.············5分
（2） 【解】第一步:求导数，利用导数的几何意义求得直线的斜率
由（1）得，，
，，············7分
第二步:利用直线的点斜式方程求得切线方程
，故曲线在点处的切线方程为，即.············10分
（3） 【证明】第一步:表示出函数并求导
，
函数的定义域为，，
，
第二步:探究导数的正负，确定函数的单调性，进而确定零点个数
，，，，
且不恒为0，故在上为增函数，
有且仅有1个零点，且零点为0.············15分
45．【答案】（1），；
（2）最小值为0，最大值为4
【详解】（1），
由题知：,
解得或．
因为，故舍去；
当时，，
当时，，当时，，当时，，
所以在处有极小值，
所以，，符合题意.
（2）由（1）可知，函数在和上单调递增，在上单调递减．
函数在取得极大值，在取极小值；
因为，
所以，，，，
所以最小值为0，最大值为4
46．【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【详解】（1）由题意，设，（为常数），
又，所以则．
（2）由题意，在内恒成立．
．
令，则，
在区间内单调递增，
即.
所以实数a的取值范围是．
（3）设，
又，则，所以在区间内单调递增．
，，即，
，使，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，
，此时且，
∴，
又，，则，
综上，．
47．【答案】见详解
【详解】(1)解法一:由题意得,F(x)=2-f(π-x)=2-2sin (π-x)+(π-x)=π+2-x-2sin x. 3分
解法二:在函数F(x)图象上任取一点(x,y),该点关于点,1对称的点的坐标为(π-x,2-y), 1分
则点(π-x,2-y)在f(x)的图象上,即2-y=2sin (π-x)-(π-x), 2分
即y=π+2-x-2sin x,所以F(x)=π+2-x-2sin x. 3分
(2)由题意得,f'(x)=2cos x-1,x∈[0,π], 4分
令f'(x)=0,解得x=, 5分
所以当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,
　 7分
所以f(x)在[0,π]上的最大值为f=-, 8分
故实数m的取值范围为. 9分
(3)当x∈时,令g(x)=0,则(x+1)(2sin x-x)+1=0,整理得2sin x-x+=0, 10分
,则h'(x)=2cos x-1-, 11分
当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在上单调递减.
又h>0,h(π)<0,
所以由零点存在定理得,h(x)在内存在唯一零点.
　 14分
当x∈[π,+∞)时,h(x)=2sin x-x+<2-π+1<0,此时函数h(x)无零点. 16分
综上所述,h(x)在内存在唯一零点,
即g(x)在内的零点个数为1 17分
【关键点拨】第(2)问的解题关键是求出f(x)在[0,π]上的最大值;第(3)问的解题关键是将g(x)的零点个数转化为h(x)=2sin x-x+的零点个数.
【思路导引】(1)F(x)的图象与f(x)的图象关于对称→F(x)=2-f(π-x)=π+2-x-2sin x;
(2)f(x)f(x)在[0,π]上的最大值→m的取值范围;
(3)g(x)=0→h(x)=2sin x-x+ →
→g(x)在内的零点个数为1
48．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明；
（2）写出函数并求导，令，，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解.
【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为，
因为，
，
所以，所以关于对称，
即曲线是轴对称图形；
（2）因为，
则，
令，
则，
令，
则，所以在单调递增，
所以，即，所以在单调递增，
所以，即，所以在单调递增，
又，
则，即，所以，
所以不等式的解集为.
49．【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由，若存在实数，使得为函数的极小值点，
此时，可得，
当时，，则，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，故在定义域内单调递减，与假设矛盾，
所以不存在实数，使得为函数的极小值点.
（2）存在关于原点对称的两点，即，满足，
所以，设且定义域为R，
且，所以为偶函数，
不妨只考虑区间，则
，（注意且），
设，显然时，
当，则，
由且，则，
所以在上单调递减，，即，
所以，即在上单调递减，则，
综上，在上，在上；
设，则，
所以在、都单调递增，，则在上，
由，且，则，，
所以，在上，在上，
综上，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
当，且恒成立，又，
所以，
所以是值域的子集，
故，图象上总存在关于原点对称的两点.
50．【答案】（1）
（2）（i）答案见解析；（ii）.
【详解】（1）为奇函数，有，则，经检验知满足题意，
所以所以，，
所以在点处的切线方程为.
（2）（i），
因为函数既存在极大值，又存在极小值，
则必有两个不等的实根，则，
令可得或，
所以，解得且.
当时，.则有：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值
当时，.则有：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值.
（ii）由，所以，
由题意可得对恒成立，
即
令，其中，
令，则
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即或时，
设方程的两根分别为且，
当时，则，
则在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
当时，则，
则，则当时，，
则在上单调递减，，即不合题意.
综上所述，的取值范围是.
51．【答案】
（1） 直接应用基本不等式即可
当时,（当且仅当,即时取等号）,············2分
所以当时,取最小值4.············3分
（2） 第一步:根据函数图象对称中心的性质进行处理
设点为函数图象的对称中心,则,············4分
所以,即,所以,············5分
所以有,且,且,
即,.············6分
第二步:对进行讨论,求出函数图象的对称中心
当时,无解,此时函数的图象没有对称中心.············7分
当时,,此时函数图象的对称中心为.············8分
（3） 第一步:对不等式进行两边取对数处理
当时,,所以在上恒成立,即.············9分
第二步:构造新的函数,并求导
令,则,
所以,令,则,
所以在上单调递减.············10分
第三步:对参数进行分类讨论,确定函数的最大值
①当时,,则在上单调递减,
此时当时,,舍去；············11分
②当时,由,解得.
当时,,
所以时,,则单调递增；
时,,则单调递减；
所以时,取极大值,也是最大值,则,
所以符合题意；············12分
当时,,
因为时,,则单调递减,
所以时,,舍去；············14分
当时,,
因为时,,则单调递增,
所以时,,舍去.············16分
第四步:得出结论
综上,实数的取值集合为.············17分
【一题多解】
（2）第一步:对函数求导
因为函数,所以,············4分
第二步:对导函数进行求导
令,则.············5分
第三步:分析函数图象的对称中心
若函数的图象有对称中心,则有解.
当时,无解,此时函数的图象没有对称中心;············7分
当时,令,解得,所以函数图象的对称中心为.············8分
（3）第一步:将问题转化为不等式恒成立问题
由题可得,当时,,所以在上恒成立,即在上恒成立.············9分
第二步:构造函数
令,因为,所以在上恒成立.
所以是函数的最大值点,也是极大值点.············12分
第三步:求导,并判断上述结论成立的条件
所以,此时,
则.············14分
第四步:对所得结果进行检验
当时,,因为,，所以，即恒成立.············16分
第五步:得出结论
综上,实数的取值集合为.············17分
【一题多解】
（2）第一步:对函数求导
因为函数,所以,············4分
第二步:对导函数进行求导
令,则.············5分
第三步:分析函数图象的对称中心
若函数的图象有对称中心,则有解.
当时,无解,此时函数的图象没有对称中心;············7分
当时,令,解得,所以函数图象的对称中心为.············8分
（3）第一步:将问题转化为不等式恒成立问题
由题可得,当时,,所以在上恒成立,即在上恒成立.············9分
第二步:构造函数
令,因为,所以在上恒成立.
所以是函数的最大值点,也是极大值点.············12分
第三步:求导,并判断上述结论成立的条件
所以,此时,
则.············14分
第四步:对所得结果进行检验
当时,,因为,，所以，即恒成立.············16分
第五步:得出结论
综上,实数的取值集合为.············17分
52．【答案】
（1） 【解】第一步:求的解析式
因为的图象关于直线对称的图象对应的函数为（提示:同底的指数函数和对数函数的图象关于直线对称），所以，…………1分
第二步:根据对称性列方程
由方程有且只有一个实数解，可知和的图象只有一个公共点，设和的图象的唯一公共点为，
由对称性知，点在直线上，…………2分
因为，，所以…………4分
第三步:求的值
消去，，解得.…………5分
（2） 第一步:把方程变形为同构式
由（1）知，，方程,即且，，两边取对数，得，即.…………6分
第二步:研究函数的图象和性质
令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，…………7分
当时，，当时，，当时， ，当 时，，故的图象如图所示（提示:把方程的解的个数问题转化为图象交点个数问题，要求图象尽可能准确，因此要从函数的单调性、最值、极值、零点、极限等多个角度进行分析）.…………8分
第三步:结合图象得出结论
当时，，方程只有一个解；
当且时，，方程有两个不同的解；
当时，，方程只有一个解.…………10分
第四步:整理结论
综上所述，当或时，方程在上实数解的个数为1；
当且时，方程在上实数解的个数为2.…………11分
【一题多解】 第一步:把方程进行变形
由（1）知，，方程，即且，，两边取对数，得.…………6分
第二步:构造函数，并求导
令且，，则.
第三步:讨论时方程的解的个数
①当时，，在上单调递减，，因此方程有且只有一个解.…………7分
第四步:讨论时方程的解的个数
②当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
当时，，方程有且只有一个解；…………8分
当时，，,因此，
且当 时， ，则在上有一个零点，
因此方程有两个解；…………9分
当时，，，因此，
且当时， ，则在有一个零点，
因此方程有两个解.…………10分
第五步:整理结论
综上所述，当或时，方程在上实数解的个数为1；
当且时，方程在上实数解的个数为2.…………11分
（3） 第一步:代入整理
当时，，则，，
因为，所以，
由，可得，…………13分
第二步:用基本不等式求的范围
由基本不等式，得,…………14分
第三步:构造新函数，求的取值范围
则，…………15分
设，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，…………16分
且 时， （提示:求复合函数的值域，首先求出内层函数的值域（本题中的范围），再求外层函数的值域即可），
所以的取值范围为.…………17分
【一题多解】 第一步:把方程进行变形
由（1）知，，方程，即且，，两边取对数，得.…………6分
第二步:构造函数，并求导
令且，，则.
第三步:讨论时方程的解的个数
①当时，，在上单调递减，，因此方程有且只有一个解.…………7分
第四步:讨论时方程的解的个数
②当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
当时，，方程有且只有一个解；…………8分
当时，，,因此，
且当 时， ，则在上有一个零点，
因此方程有两个解；…………9分
当时，，，因此，
且当时， ，则在有一个零点，
因此方程有两个解.…………10分
第五步:整理结论
综上所述，当或时，方程在上实数解的个数为1；
当且时，方程在上实数解的个数为2.…………11分
（3） 第一步:代入整理
当时，，则，，
因为，所以，
由，可得，…………13分
第二步:用基本不等式求的范围
由基本不等式，得,…………14分
第三步:构造新函数，求的取值范围
则，…………15分
设，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，…………16分
且 时， （提示:求复合函数的值域，首先求出内层函数的值域（本题中的范围），再求外层函数的值域即可），
所以的取值范围为.…………17分
53．【答案】
（1）第一步:求的解析式
因为的图象关于直线对称的图象对应的函数为（提示:同底的指数函数和对数函数的图象关于直线对称），所以，············1分
第二步:根据对称性列方程
由方程有且只有一个实数解，可知和的图象只有一个公共点，设和的图象的唯一公共点为，
由对称性知，点在直线上，············2分
因为，，所以············4分
第三步:求的值
消去，，解得.············5分
（2） 第一步:把方程变形为同构式
由（1）知，，方程,即且，，两边取对数，得，即.············6分
第二步:研究函数的图象和性质
令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，············7分
当时，，当时，，当时， ，当 时，，故的图象如图所示（提示:把方程的解的个数问题转化为图象交点个数问题，要求图象尽可能准确，因此要从函数的单调性、最值、极值、零点、极限等多个角度进行分析）.············8分
第三步:结合图象得出结论
当时，，方程只有一个解；
当且时，，方程有两个不同的解；
当时，，方程只有一个解.············10分
第四步:整理结论
综上所述，当或时，方程在上实数解的个数为1；
当且时，方程在上实数解的个数为2.············11分
（3） 第一步:代入整理
当时，，则，，
因为，所以，
由，可得，············13分
第二步:用基本不等式求的范围
由基本不等式，得,············14分
第三步:构造新函数，求的取值范围
则，············15分
设，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，············16分
且 时， （提示:求复合函数的值域，首先求出内层函数的值域（本题中的范围），再求外层函数的值域即可），
所以的取值范围为.············17分
【一题多解】（2） 第一步:把方程进行变形
由（1）知，，方程，即且，，两边取对数，得.············6分
第二步:构造函数，并求导
令且，，则.
第三步:讨论时方程的解的个数
①当时，，在上单调递减，，因此方程有且只有一个解.············7分
第四步:讨论时方程的解的个数
②当时，令，得，当时，，单调递减，当时，
，单调递增，所以，
当时，，方程有且只有一个解；············8分
当时，，,因此，
且当 时， ，则在上有一个零点，
因此方程有两个解；············9分
当时，，，因此，
且当时， ，则在有一个零点，
因此方程有两个解.············10分
第五步:整理结论
综上所述，当或时，方程在上实数解的个数为1；
当且时，方程在上实数解的个数为2.············11分
【一题多解】（2） 第一步:把方程进行变形
由（1）知，，方程，即且，，两边取对数，得.············6分
第二步:构造函数，并求导
令且，，则.
第三步:讨论时方程的解的个数
①当时，，在上单调递减，，因此方程有且只有一个解.············7分
第四步:讨论时方程的解的个数
②当时，令，得，当时，，单调递减，当时，
，单调递增，所以，
当时，，方程有且只有一个解；············8分
当时，，,因此，
且当 时， ，则在上有一个零点，
因此方程有两个解；············9分
当时，，，因此，
且当时， ，则在有一个零点，
因此方程有两个解.············10分
第五步:整理结论
综上所述，当或时，方程在上实数解的个数为1；
当且时，方程在上实数解的个数为2.············11分
54．【答案】
（1） 直接应用基本不等式即可
当时,（当且仅当,即时取等号）,…………2分
所以当时,取最小值4.…………3分
（2） 第一步:根据函数图象对称中心的性质进行处理
设点为函数图象的对称中心,则,…………4分
所以,即,
所以,…………5分
所以有,且,且,
即,.…………6分
第二步:对进行讨论,求出函数图象的对称中心
当时,无解,此时函数的图象没有对称中心.…………7分
当时,,此时函数图象的对称中心为.…………8分
（3） 第一步:对不等式进行两边取对数处理
当时,,所以在上恒成立,即.…………9分
第二步:构造新的函数,并求导
令,则,
所以,令,则,
所以在上单调递减.…………10分
第三步:对参数进行分类讨论,确定函数的最大值
①当时,,则在上单调递减,
此时当时,,舍去；…………11分
②当时,由,解得.
当时,,
所以时,,则单调递增；
时,,则单调递减；
所以时,取极大值,也是最大值,则,
所以符合题意；…………12分
当时,,
因为时,,则单调递减,
所以时,,舍去；…………14分
当时,,
因为时,,则单调递增,
所以时,,舍去.…………16分
第四步:得出结论
综上,实数的取值集合为{.…………17分
【一题多解】
（2）第一步:对函数求导
因为函数,所以,…………4分
第二步:对导函数进行求导
令,则.…………5分
第三步:分析函数图象的对称中心
若函数的图象有对称中心,则有解.
当时,无解,此时函数的图象没有对称中心;…………7分
当时,令,解得,所以函数图象的对称中心为.…………8分
（3）第一步:将问题转化为不等式恒成立问题
由题可得,当时,,所以在上恒成立,即在上恒成立.…………9分
第二步:构造函数
令,
因为,所以在上恒成立.
所以是函数的最大值点,也是极大值点.…………12分
第三步:求导,并判断上述结论成立的条件
所以,此时,
则.…………14分
第四步:对所得结果进行检验
当时,,因为,，所以，即恒成立.…………16分
第五步:得出结论
综上,实数的取值集合为.…………17分
【一题多解】
（2）第一步:对函数求导
因为函数,所以,…………4分
第二步:对导函数进行求导
令,则.…………5分
第三步:分析函数图象的对称中心
若函数的图象有对称中心,则有解.
当时,无解,此时函数的图象没有对称中心;…………7分
当时,令,解得,所以函数图象的对称中心为.…………8分
（3）第一步:将问题转化为不等式恒成立问题
由题可得,当时,,所以在上恒成立,即在上恒成立.…………9分
第二步:构造函数
令,
因为,所以在上恒成立.
所以是函数的最大值点,也是极大值点.…………12分
第三步:求导,并判断上述结论成立的条件
所以,此时,
则.…………14分
第四步:对所得结果进行检验
当时,,因为,，所以，即恒成立.…………16分
第五步:得出结论
综上,实数的取值集合为.…………17分
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