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2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：集合与常用逻辑语言解答题专项练
一、集合的含义与表示（本大题共1小题）
1．已知数列，，记集合的元素个数为.
（1）若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值；
（2）若为1，3，a，b，且，求和集合；
（3）若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”.
二、集合间的基本关系（本大题共14小题）
2．设集合．
(1)当时，求集合的非空真子集的个数；
(2)若，求整数的所有可能取值．
3．已知集合，.
(1)分别求，.
(2)已知，且，求实数的取值范围.
4．已知集合，.
(1)若，试求；
(2)若, 求实数的取值范围.
5．已知非空集合.
(1)求B；
(2)若，求实数m的取值范围.
6．设集合．
(1)当时，求集合的非空真子集的个数；
(2)若，求整数的所有可能取值．
7．设集合．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
8．已知全集，集合，集合.
(1)求集合；
(2)设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
9．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围．
10．已知集合．
(1)求，；
(2)若，且，求实数的取值范围．
11．已知集合，集合．
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
12． 已知集合，．
当时，求，
若，求实数的取值范围．
13． 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的范围．
14．已知全集，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
15．在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若________，求实数的取值范围．
三、集合的基本运算（本大题共11小题）
16．设集合，，求，．
17．已知集合，．
(1)求；
(2)定义，求．
18．集合．
（1）求；
（2）求．
19．设，函数，若的解集为A，，求实数的取值范围.
20．已知全集，集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
21．已知集合，全集.
(1)当时，求；
(2)若，当时，求实数的取值范围.
22．已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围.
23．已知集合，．
（1）若，求实数a，b满足的条件；
（2）若，求实数m的取值范围．
24．设集合或，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
25．已知集合或.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
26．已知集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
四、集合的综合应用（本大题共11小题）
27．对于集合A，，定义运算“”：{，两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数.

(1)设，，在图1的韦恩图中填入集合A，，并求；
(2)设，，求；
(3)对于有限集合A，，，证明，并求当集合A，是确定集合时，使该式取等号的集合的数量（用含A，的式子表示）.
28．设数集 满足：① ；② ， 且 ，有 ，则称数集 具有性质 .
（1）判断集合 ， 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）证明：集合 具有性质 ；
（3）求满足性质 的所有三元素集 .
29．已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数.
（1）若，求的值；
（2）若集合中的元素构成等差数列，且公差.
（i）当时，求的最小值；
（ii）当时，求的最小值.
30．对于集合 …， 和常数 ，定义： 为集合A相对 的“余弦方差”．
若集合 ， ，求集合A相对 的“余弦方差”；
求证：集合 ，相对任何常数 的“余弦方差”是一个与 无关的定值，并求此定值；
若集合 ， 集合A相对任何常数 的“余弦方差”是一个与 无关的定值，求出 、
31．非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”.
(1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；
(2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”；
(3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”.
32．设，集合，且，称为的生成集，为的伴生集．用表示集合中元素个数，定义．
（1）当时，求和；
（2）是否存在含有三个元素的正整数集合，使得和同时取最小值？若存在，给出一种集合；若不存在，请说明理由；
（3）当时，求的最小值，并给出此时的集合．
33．若非空实数集A中存在最大元素和最小元素，则记，．
(1)已知，求和；
(2)已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由；
(3)已知，为正整数，，若，求证：为奇数．
34．已知集合，对于，，定义．
(1)已知，求所有的，使得：
(2)已知，求证：为偶数；
(3)已知，对任意，均有，求的最大值．
35．已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的.且，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点 ，称集合S为n连续共线点集.
(1)若 判断S是否为3连续共线点集 是否为4连续共线点集
(2)已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为.
（i）若，求n的最大值;
（ii）对给定的正整数n，求的最小值.
36．设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质.
(1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；
(2)若具有性质：
①求证：；
②求的值.
37．已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中的任意一对元素，，都有，则称集合S具有性质P.
(1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由；
(2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否具有性质P？并说明理由；
(3)当，时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.
五、充分条件与必要条件（本大题共11小题）
38．设，已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若B不是空集，设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
39．已知集合，集合.
(1)存在，使成立，求集合；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
40．已知，.
(1)若是真命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
41．已知非空集合，．
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
42．设全集为，已知集合，
(1)当时，求
(2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.
43．（1）设，证明：的充要条件是.
（2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明.
44．已知或．
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
45．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.
(1)若，且和都是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
46．设，已知集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
47．已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？
(1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由；
(2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
48．已知集合．
(1)当时，求和；
(2)若是成立的充分不必要条件，这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
六、全称量词、存在量词（本大题共3小题）
49．已知命题，使；命题，使.
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
50．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若有且只有一个为真，求实数的取值范围．
51．已知命题“，使得”．
(1)写出命题p的否定形式；
(2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围．
七、与基本不等式有关的恒成立与能成立问题（本大题共1小题）
52．已知关于的不等式的解集为，集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】（1），；
（2）；
（3）见详解.
【详解】（1）集合，.
（2）由为1，3，，，当之一为2时，不妨令，则互不相等，
是集合中元素，又，则，，解得，不符合题意，
则必有，得，，互不相等，
则3，，都是集合中的元素，又，则，解得，，
因此为1，3，9，27，所以.
（3）充分性：若是递增的等比数列，设的公比为，
当时，，
所以，且，故充分性成立；
必要性：若是递增数列，且，则，
于是，且互不相等，又，
则，且互不相等，
因此，，
从而，所以为等比数列，故必要性成立，
综上，“”的充要条件是“为等比数列”.
2．【答案】(1)14
(2)1和2
【详解】（1）当时，，则，
所以非空真子集的个数为.
（2）依题意，，由，得，解得，
所以整数的所有可能取值为1和2．
3．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由，解得，所以，
所以，
.
（2）因为，，
所以，解得，
求实数的取值范围为.
4．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，
所以.
（2）由，
因为方程的判别式，
所以当，即时，，符合题意；
当，即时，，不符合题意；
当，即时，有，则，无解，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
5．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
所以，解得，
所以.
（2）因为，，
且，则，解得；
所以m的取值范围是.
6．【答案】(1)14
(2)1和2．
【详解】（1）当时，，
故，其中含有4个元素，
故其非空真子集的个数为．
（2）由题意可得，
由，
可得
解得，
故整数的所有可能取值为1和2．
7．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以，或，
若，，
所以.
（2）因为，所以，解得.
8．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
等价于，解得或，
故或，，
而，
所以.
（2）由（1）知，，
由是的充分不必要条件，故为的真子集，
又，
故，解得，
故实数a的取值范围是.
9．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，
，
当时，，所以，
所以．
（2），，
若，显然，
则或，
解得或，
即a的取值范围是.
10．【答案】(1)，
(2)．
【详解】（1）因为或，
所以
所以
（2）因
由，可得，则
所以，解得
则实数的取值范围为．
11．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）借助一元二次不等式的解法得到集合，再利用题意所给条件得到集合，即可结合并集定义得到，结合交集与补集定义得到；
（2）由可得，再分及进行讨论并计算即可得.
【详解】（1），
或，
，,
，
；
（2），,
若，则，可得；
若，则有，无解，
实数的取值范围为．
12．【答案】见详解
【详解】当时，，
或，
所以，
由得，，
当，即时，，满足，则
当时，，由，得或，
解，得无解
解，得，则，
所以实数的取值范围是
13．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
由时，集合，
，
所以，
（2）
当，即时，集合，符合，
当时，由，有， 解得 ，
综上可知，若，则的范围是.
14．【答案】（1）
（2）.
【详解】（1）由得，即，
所以集合.
又全集，所以，
当时，集合，
所以.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则且.
所以或，解得.
故实数的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由不等式，解得或，可得或，
当时，可得，则，
所以．
（2）由集合或和，
若选择①：由或，可得，
要使得，则，解得，所以实数的取值范围为；
若选择②：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为；
若选择③：由，可得，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
16．【答案】答案见解析
【分析】首先化简集合B，然后根据集合、分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案．
【详解】解：因为
所以
又因为，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当且且时，所以，
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以.
（2）因为，且，,
所以.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由得,所以,
因为,所以.
（2）因为或，
所以.
19．【答案】或
【详解】，的解集为A，
当时，，所以，
此时，不满足题；
当时，令，解得其两根为，，
当时，，，则或，
因为，所以，即，
化简得，解得，
当时，，，则，
因为，所以，即，
化简得，解得，
综上，使成立的的取值范围为或.
20．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解分式方程可得集合，由可得集合，再利用补集与交集定义计算即可得解；
（2）由题意可得，再分及计算即可得.
【详解】（1）等价于，所以，
得，则，
若，则， ，
所以；
（2）若，则，
当时，有，则，
当时，则，解得，
综上，m的取值范围为.
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合A的补集，根据交集运算可得答案；
（2）根据，，列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）当时，，
则或，
故；
（2）若，当时，需满足，
解得，即实数的取值范围为.
22．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1），
.
或，
或.
（2）“”是“”成立的充分不必要条件，是的真子集.
又.
等号不同时成立，即，解得，经检验“”满足题意.
的取值范围是.
23．【答案】（1），;（2）.
【详解】解：（1）；，
∴，;
（2）,
∴分情况讨论①，即时得；
②若，即，中只有一个元素1符合题意；
③若，即时得，∴
∴综上．
24．【答案】(1)或
(2)或．
【详解】（1）由题意，得或．
又，，则．
结合数轴，可得或
解得或．
则实数的取值范围是或．
（2）由，得．
当时，，即，满足．
当时，结合数轴，如图（1）（4），可得或
解得或．
则实数的取值范围是或．
25．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
又因为或，所以；
（2）若，
当，即时，，满足；
当，即时，，
要满足，只需，
解得，又因为，所以.
综上可知，实数的取值范围为.
26．【答案】(1)或；
(2)或
【详解】（1），
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为或；
（2），当时，，解得，
当时，或，
解得或，
故实数的取值范围为或.
27．【答案】(1)韦恩图见解析，;
(2);
(3)证明见解析，集合的数量为个.
【详解】（1）如图1.
.
（2），，,
.
（3）画出韦恩图，如图2，将划分成7个集合，，，,

则,
,
,
故不等式成立,
当且仅当时，上式取等号.
等价于，等价于，
故当且仅当取等号.
故此时，如图3，集合，其中是确定的集合,
是的子集，所以满足要求的集合的数量为个.

28．【答案】（1）若 ， ，则 ，故集合 不具有性质 ；
集合 中元素均为整数，满足①，且 ， ， ，满足②，
故集合 具有性质 .
（2）证明：① ， ；
② 且 ， ，则集合 具有性质 .
（3） ， .
证明：对于三元素集 ，不妨设 ，
若 ，则 ，与三元素集矛盾，所以 .
若 ，则 ，与三元素集矛盾，所以 .
所以 ， 只能取 中的两个不同数.
不妨设 ， ， ：
对于 ，集合中元素均为整数，满足①，
， ， ，满足②，
故集合 满足性质 .
对于 ，若 ，
则当 时， ；当 时， ，即 .
对于 ，若 ，
则当 时， ；当 时， ，即 .
综上，满足性质 的所有三元素集 ， .
29．【答案】（1）
（2）（i）5；（ii）4050
【详解】（1）若，则，此时，，
，所以.
（2）（i）解法一：设，则有，
，
所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多，
而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小，
，此时.
解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有
又中最小元素为，则，则有，所以，
另一方面，当时，，此时，
综上，时，的最小值为5.
（ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则
引理的证明：对任意
当时，，当时，，
因此有；
另一方面，再证明可以取到满足的所有整数，
①取，当依次取时，可取到满足的所有整数；
②取，当依次取时，可取到满足的所有偶数；
③取，当依次取时，可取到满足或的所有奇数；
④取，此时，
由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有
综上，引理得证．
故当时，，，
又，即，则有，
所以；
另一方面，当时，，，，
此时，
综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050.
30．【答案】见详解
【详解】 依题意得，
当集合 时，
集合 相对于常数 的“余弦方差”
此时“余弦方差”是一个常数，且常数为 ；
要使 是一个与 无关的定值，则
因为 ，
所以 与 的终边关于y轴对称或关于原点对称，
所以
又
则当 时，
当 时，
故 ， 或 ， 时，集合A相对任何常数 的“余弦方差”是一个与 无关的定值.
31．【答案】(1)集合是“坏集”， 集合是“好集”；理由见解析
(2)证明见解析
(3)且
【详解】（1）对于集合，当时，，；所以集合是“坏集”；
对于集合，不妨令，
当时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
对于任意，，若和中至少有一个属于，则集合是“好集”.
（2）假设有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，则，，
因为，，所以，，所以有限集合是“坏集”.
（3）当且时，，，所以是“超级好集”；
下面证明：集合中不可能存在其他元素.
由（2）知：集合中不可能同时有大于和小于的元素，
若，且为中大于的元素中最大的元素，
此时，所以，所以不是“超级好集”；
若，且为中小于的元素中最大的元素，
此时，所以，所以不是“超级好集”；
所以中不可能存在其他元素.
所以满足题意的“超级好集”且.
32．【答案】（1）；
所以．
（2）不存在，理由如下：
假设存在这样的三元正整数集合满足条件，不妨设．
考虑：注意到，所以．
当时，，此时，
所以．
事实上，，
所以当取最小值时，一定有．
考虑：注意到，所以．
当时，，此时，
所以．
事实上，，
所以当取最小值时，一定有．
所以．
即，此时，矛盾．
所以满足上述条件的集合不存在．
（3）当时，不妨假设，
此时总有，所以．
对应的，考虑中元素个数最多的情况，
此时显然有互不相同，所以．
所以
下面证明当时，等号成立．
事实上，，且在和之间的所有整数值都取得到，所以此时．
此时若，其中．
则．由于，所以一定有，且．
所以必有，此时．
综上，当时，，
33．【答案】(1)，;
(2)不正确，理由见解析;
(3)证明见解析
【详解】（1）此时，，故，.
（2）不正确，因为当，时，有，故，但.
所以“”不能推出“对任意，都有”.
（3）由定义知，故.
若，则，故.
此时，故，所以为奇数；
若，则，故的最大元素和最小元素同号，从而.
而，故，又因为，所以或.
而为正整数，所以，故，这就得到.
假设是偶数，则是奇数. 由于是偶数，所以和中必有一个偶数，再由是奇数，知是偶数.
设，则，，故.
由于，，故，即.
所以，得.
若，则，得，故为奇数，矛盾；
若，则显然为奇数，矛盾.
这表明假设不成立，所以为奇数.
34．【答案】(1)或或或
(2)证明过程见解析
(3)2
【详解】（1）由题意，若，使得，设，
则，注意到，
从而这四个数中的其中一个要么是0，要么是1，
结合，可知必有3个1和一个0，
所以我们分四种情况讨论即可：
（i），，解得，即此时；
（ii），，解得，即此时；
（iii），，解得，即此时；
（iv），，解得，即此时；
综上所述，满足题意的为或或或；
（2）若，设，，，
则，
由的定义可知， ，
不妨设中有个1，个0，
中有个1，个0，
中有个1，个0，
这意味着有组满足，组满足，
组满足，组满足，
组满足，组满足，
不失一般性，设，
则，
因为，
所以设，
注意到，
在这里，分三种情况讨论：
（i）若，则有，
即组满足，此时，
故是偶数，
（ii）若，则，
，
此时，
故是偶数；
（ii）若，则，
，
此时，
故是偶数；
综上所述，若，则为偶数；
（3）若，对任意，则可设，，
根据的定义可知，，从而，
若，则只能，
即，
这表明，
则所有可能的情况为：或；或；……；或；
下面证明所求的最大值是2，
一方面：当时，可取（取法不唯一），此时满足题意；
另一方面：当时，任取三个不同的，其中必有两个的第一个分量相等，
比如我们就让的第一个分量相等，
而这会导致，这就和矛盾，
故是不可能的，
综上所述，的最大值是2.
35．【答案】(1)为3连续共线点集，不是4连续共线点集.
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）直线经过个点，直线经过个点，
直线经过1个点，所以为3连续共线点集.
没有直线经过中的4个点，所以不是4连续共线点集.
（2）（i）因为，即直线最多经过中的6个点，所以．
时，6个点在一条直线上，没有一条直线恰经过5个点，不满足．
时，5个点在一条直线上，则仅剩1个点，没有一条直线恰经过4个点，不满足．
又当时，
分别恰好经过中4，3，2，1个点，为4连续共线点集，所以．
（ii）设恰经过中的个点，
由于经过个点，恰经过个点，最多与交1个点，即最少需要多个点；
恰经过个点，最多分别与各交1个点，即最少需要多个点；
依次类推，恰经过个点，最多分别与各交1个点，
即最少需要多个点，
所以当是偶数时，最少需要个点，
当是奇数时，最少需要个点．
所以（为不超过的最小整数）．
下面用归纳法构造个元素的点集，为连续共线点集，
①时，因为当时，最少需要1个点，而，结论成立，
当，最少需要2个点，而，结论成立；
②假设时，中有个点，直线恰经过中的个点，
作一条直线不经过原来的个点，且与均各有一个交点，
并在上取异于的两个点，
则各经过个点，然后任选一点，
过该点作不经过其余个点的直线，
则各经过个点，
则点集为连续共线点集，
此时．
所以．
36．【答案】(1)27或32
(2)①证明见解析 ②
【详解】（1）对集合，记其元素个数为. 先证明2个引理.
引理1：若具有性质，则.
引理1的证明：假设结论不成立.
不妨设，则正整数，但，
故一定属于某个，不妨设为.
则由知存在正整数，使得.
这意味着对正整数，有，
，但，矛盾.
所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证.
引理2：若具有性质，则，且.
证明：取集合.
注意到关于正整数的不等式等价于，
而由引理1有，即.
结合是正整数，知对于正整数，当且仅当，
这意味着数列恰有项落入集合，即.
而两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，
故中的元素属于且仅属于某一个，故.
所以，
从而，这就证明了引理2的第一个结论；
再考虑集合中全体元素的和.
一方面，直接由知中全体元素的和为，即.
另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列.
所以的所有元素之和为.
最后，再将这个集合的全部元素之和相加，
得到中全体元素的和为.
这就得到，所以有
.
即，从而，这就证明了引理2的第二个结论.
综上，引理2获证.
回到原题.
将从小到大排列为，则，
由引理2的第一个结论，有.
若，则，
所以每个不等号都取等，从而，故；
情况1：若，则，矛盾；
情况2：若，则，所以，得.
此时如果，则，矛盾；
如果，则，从而，故；
如果，由于，设，，则，.
故对于正整数对，有，
从而，这与矛盾.
综上，的取值只可能是或.
当时，；当时，.
所以的所有可能取值是和.
（2）①由引理1的结论，即知；
②由引理2的第二个结论，即知.
37．【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析
(2)具有性质，理由见解析
(3)
【详解】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由如下：
当时，，，
，
因为对于任意不大于10的，都可以找到该集合中的两个元素，
使得成立，
因为可取，对于该集合中的任意一对元素，，
都有，，
故集合不具有性质，集合具有性质；
（2）具有性质，理由如下：
当时，，
，任取，其中，
因为，所以，
从而，即，故，
因为集合具有性质，故存在不大于100的正整数，
使得对于中的任意一对元素，都有，
对于上述正整数，从中任取一对元素，
其中，则有，
故集合具有性质；
（3）由（2），若集合具有性质，则集合也具有性质.
若，则，则和至少有一个不超过，
则和中至少有一个集合，该集合至少有一半的元素不超过，
设集合中一共有个元素，不妨设中至少有个元素（）不超过，
不妨设为均不超过，
因为若存在不大于的正整数，使集合中的任意一对元素，都有，
则称集合具有性质.
则均不在集合中，
所以集合至少有个元素不在集合中，则，
例如符合题意，
则.
38．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用空集的概念计算即可；
（2）根据充分、必要条件的定义转化为集合间的基本关系计算即可.
【详解】（1）若，由题意可知，即；
（2）结合（1）知，若B不是空集，则，
而是的必要不充分条件等价于B是A的真子集，
即（且等号不能同时取得），解得，
经验证时符合题意，综上.
39．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一元二次函数的系数与根的个数的关系，可求得，又，得到，代入集合，化简即可；
（2）由是的必要不充分条件，得且，故对于恒成立，再解含参的恒成立问题即可；
（3）先由命题为真命题，得，根据均值不等式求得，从而求得的范围，又为假命题，再求其补集即为的范围；
根据命题的否定，得，使得，再根据一元二次系数与根的关系进行运算求解即可.
【详解】（1）存在，使成立，
，解得，
又，
当时，集合，
此时.
（2）由题.
是的必要不充分条件，且，
即对于恒成立，
，
由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减，
，
当时，，即，解得，
的取值范围是.
（3）由（2）知，
命题，都有，则.
，当且仅当即时取等号，
，即，
若命题为真命题，则，命题为假命题，，
命题，使得为假命题，
命题，使得为真命题，
则恒成立，
恒成立，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
40．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若是真命题，则，解得，
所以；
（2）因为“”是“”的充分条件，所以，
因为，所以，
解得，所以实数的取值范围为.
41．【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）当时，，
又，
，．
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以且
又∵，
则，，
经检验知，当时，，不合题意，
实数的取值范围．
42．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）当时，，
或，
又因为，
则或
（2）因为“”是“”成立的充分条件，则，
集合，，
当，即，即，符合题意；
当时，，解得：
综上所述，实数m的取值范围是
43．【答案】（1）证明见详解
（2），证明见详解
【分析】（1）分别证明充分性与必要性即可；
（2）利用作差法比较大小即可比较与的大小.
【详解】（1）证明：充分性：如果，
那么，
，
.
必要性：如果，
那么，
，
，，，
.
综上知，的充要条件是.
(2)证明：由
，
都是正实数，且，
即.
44．【答案】（1）或
（2）
【详解】（1）因为p：，所以p：，即，
因为p是q的充分条件，所以或，
解得或，即实数的取值范围是或；
（2）依题意，：，由（1）知p：，
又p是的必要不充分条件，所以，
解得，即实数m的取值范围是．
45．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，不等式为，解得，即，
由，得，即，
由和都是真命题，得，
所以实数的取值范围是.
（2）由，，得，即命题，由（1）知命题，
因为是的充分不必要条件，因此或，解得或，即，
所以实数的取值范围是.
46．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，
当时，，
∴.
（2）∵ “”是“”的必要不充分条件，
∴ ，
由得或，
当，即时，，不满足题意；
当，即时，，
∵ ，
∴，解得，
当，即时，，不满足 .
综上，的取值范围为.
47．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
又，，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）因为是成立的必要不充分条件条件，所以集合是集合的真子集，
若时，，解得，
若时，可得，解得，
综上所述：的取值范围为.
48．【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）得，故集合，
把代入得，解得，故集合，
故；
（2），且，得集合，
是成立的充分不必要条件，故集合是集合的真子集，
则有解得，故实数的取值范围是．
49．【答案】（1）（2）
【详解】解：（1）由命题P为假命题可得：，
即，
所以实数的取值范围是.
（2）为真命题，为假命题，则一真一假.
若为真命题，则有或，若为真命题，则有.
则当真假时，则有
当假真时，则有
所以实数的取值范围是.
50．【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）当时，的最小值为，
由为真命题，即对任意，不等式恒成立，
得，解得，
所以的取值范围.
（2）当时，，当且仅当时取等号，
由为真命题，即存在，使得不等式成立，
得，解得，即，由（1）知，
而有且只有一个为真，则当真假时，，解得；
当假真时，或，解得，
所以的取值范围为或.
51．【答案】(1)，使得
(2)
【分析】（1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解；
（2）根据题意，转化为即不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）由命题“，使得”，
可得命题的否定为：“，使得”，
（2）因为命题是一个假命题，
则命题“，使得”为真命题，
即不等式在上恒成立，
当时，不等式恒成立，满足题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数a的取值范围为．
52．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，1和是方程的两个实数根，且，
得，解得，
是的充分不必要条件，
是的真子集，而
，解得
故的取值范围为
（2）由（1）可得：，
所以，当且仅当时，
取得最小值为，此时.
依题意有，即，
整理得，解得
所以的取值范围为.
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