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2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：图形的性质解答题专项练
1．如图，斜坡AB长130米，坡度现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角为求平台DE的长；（结果保留根号）
(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin33）
2．如图，PB为的切线，B为切点，过B做OP的垂线BA，垂足为C，交于点A，连接PA，AO，并延长AO交于点E，与PB的延长线交于点D.
(1)求证：PA是的切线；
(2)若，且OC=4，求PA的长和的值.
3．如图，已知∠A，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）：
(1)选取适当的边长，在所给的∠A图形上画一个含∠A的直角三角形ABC，并标上字母，其中点C为直角顶点，点B为另一锐角顶点；
(2)以AC为一边作等边△ACD；
(3)若设∠A=30°，BC边长为a，则BD的长为__________________.
4．九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长里，南边城墙长里，东门点，南门点分别是，的中点，，里，经过点，则等于多少里？请你根据上述题意，求出的长度．
5．已知：是任意三角形．

(1)如图所示，点、、分别是边、、的中点，求证：．
(2)如图所示，点、分别在边、上，且，，点、是边的三等分点，你认为是否正确？请说明你的理由．
(3)如图所示，点、分别在边、上，且，，点、、、是边的等分点，则______．请直接将该小问的答案写在横线上
6．如图，中，，平分交于点点在边上，且求证：．

7．如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)若平分，，：：，写出求长的思路．
8．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时.如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移吗？
9．如图1，矩形的顶点，分别在轴与轴上，且点，点，点为矩形，两边上的一个点．
(1)当点与重合时，求直线的函数解析式；
(2)如图2，当在边上，将矩形沿着折叠，点对应点恰落在边上，求此时点的坐标．
(3)是否存在使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，飞船从地面处发射，在垂直发射的过程中，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；飞船从点飞行后到达点处，此时在地面处测得处的仰角为.

(1)求点离地面的高度；
(2)求飞船从处到处的平均速度.（结果精确到，考数据：）
11．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长.（结果保留根号）
12．在菱形ABCD中，，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且，连接BE，EF.

(1)如图1，当E是线段AC的中点时，求证：.
(2)如图2，当点E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.
13．如图，在“飞镖形”中，，，，分别是，，，的中点.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，那么四边形是什么四边形？
14．如图，在△ABC中，，以△ABC的一条边为直径作半圆，交于点，过点作于点．
(1)求证：是半圆的切线．
(2)若，，求的长．
15．如图，在中，是直径，点是上一点，，，点在上，，连接并延长交于点，连接，，垂足为.

(1)求证：；
(2)求的长.
16．在中，，.
(1)如图1，在中，，，F是AE中点，连接BF.若，求线段BF的长；
(2)如图2，在中，，，F是AB中点，连接DF，求的值；
(3)如图3，在中，，，E是AB中点，F是AE中点，连接BD，DF，求的值.
17．如图矩形中，，，，分别为，的中点，点，从，同时出发，在边，上以每秒个单位向，运动，运动时间为（）.
(1)如图1，连接，，，，求证：无论在内取任何值，四边形总为平行四边形；
(2)如图2，连接交于，若，求的值；
(3)在运动过程中，是否存在某时刻使得于 若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由.
18．如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF．
19．已知在中，，，点D是边AC上一点，点E在直线BC上运动，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，点F落在直线AB．

(1)如图1，点E、F分别在边BC、AB上，若，连接EF，，，求BF的长度；
(2)如图2，点E、F分别在边BC、AB上，作交AB于点G，请猜想线段AF、AB、FG之间的数量关系，并证明；
(3)若，点E在直线BC上运动，当为等腰三角形时，请直接写出的值．
20．（1）如图1，在四边形中，点为上一点，，则，所以有结论.如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，试举一反例说明.
（2）如图3，在中，，点以每秒1个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为（秒），当以为圆心，以为半径的圆恰好与相切时，求的值.

21．如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接．
(1)如图1，当时，与之间的位置关系是__________，数量关系是__________．
(2)如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
(3)在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
22．如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)当的半径为2，时，求的值．
23．中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，）
24．如图，内接于半圆，是直径，过作直线使.是弧的中点，交于，于，交于.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）求证：.
（3）若的面积为，且，，求的面积.
25．仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路.经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方.(参考数据：，，，)
(1)求的距离；(结果精确到个位)
(2)小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
26．如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
27．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
(1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与____ “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如图2，与是“融通三角形”，其中，则____．
(2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
(3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长．
28．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一辆自行车的实物图．图(2)是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档与的长分别为和，且它们互相垂直，座杆的长为．点A，，在同一条直线上，且．（参考数据：，，
(1)求车架档的长；
(2)求车座点E到车架档的距离（结果精确到）．
29．如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，．

(1)求证：是的切线；
(2)已知，，点为的内心，求的长．
30．如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
31．如图，在锐角△ABC中，AB=AC，∠ACB的平分线与AB交于点D，过△ABC的外心O作CD的垂线与AC交于点E，过E作AB的平行线与CD交于点F．证明：
（1）C、E、0、F四点共圆；
（2）A、0、F三点共线；
（3）EA=EF．
32．半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具.如图是一种轻体侧翻自卸半挂车.图1是半挂车拉货状态截面示意图，图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，已知该车的车厢长为13米，宽为2.5米．高为2米，车板离地的距离为1米．请你计算：


(1)该半挂车的车厢容积为______立方米；
(2)该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为可全部卸完货物，求此时车身最高点离地面的距离.（参考数据：，，，结果保留一位小数.）
33．如图，是的直径，与相交于点E．过点D的圆O的切线，交的延长线于点F，．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
34．如图，在扇形AOB中，，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D．
（1）若过点D作OB的垂线，垂足为E，求证：DE与半圆C相切；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
35．根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？
素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中为椅背，为坐垫，C，D为焊接点，且与平行，支架，所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O．设计方案中，要求A，B两点离地面高度均为5厘米，A，B两点之间距离为70厘米；
素材二：经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求：
(1)椅背长度小于坐垫长度；
(2)为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E点在竖直方向上至少高出12厘米．
（，，）
任务：
(1)根据素材求底座半径；
(2)计算图3中点B距离地面的高度；
(3)①求椅背的长度范围；（结果精确到0.1m）
②设计一种符合要求的方案．
36．如图，以为直径的交的边于点，且，为弧上的一点：

(1)求证：为的切线；
(2)连接，且，过点的弦分别交弦，直径于点，，若，，求的值．
37．如图，平行四边形中，平分，交于点，交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)若点是的中点．
①求证：；
②若，，求平行四边形的面积．
38．在中，，是斜边边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
39．如图，在中，，，点是上一点.
（1）若为的角平分线，求的长；
（2）若，求的值.
40．如图，是的直径，过外一点P作的两条切线，切点分别为C，D，连接．求证：;
41．如图，矩形中点E为边上一点，将沿AE翻折后，点B恰好落在对角线的中点F上．
（1）证明：
（2）若，求折痕AE的长度
42．如图，已知AB是的直径，点C，E在上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且，．
(1)求证：是的平分线；
(2)求的度数；
(3)求的值．
43．如图，四边形内接于，是的中点，，的延长线上有一点，，连结，.
(1)证明：；
(2)如图1，设，的延长线交于点，若平分，证明：；
(3)如图2，连结交于点，若，求.
44．（1）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，求的值.
（2）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，求正方形的面积之和.
45．如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，
①求的面积；
②点为上一点，连接交半径于点，若，求的长．
46．如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点，，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
(1)浮出水面2.5秒后，盛水筒距离水面约多高？
(2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，已知，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点恰好在直线上）？
（参考数据，，
参考答案
1．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可知，然后利用特殊角的三角函数值可求出的长度，最后利用求解即可；
（2）过点作、，先通过求出的长度，在中，求出的长度，最后利用求解.
【详解】（1）过作，垂足为，
因为，所以，因为为中点 所以为中点，
在，,
设，，则,
所以 即 ，，
所以，，
因为在中，，
所以，
所以，
所以平台的长为（）米，
（2）过作、，垂足分别为、，
所以四边形为矩形，所以，
因为，，所以，
因为为中点，所以为中点即，
所以，
因为在中，，
在中，，
所以.
所以广告的长度约为米.
2．【答案】(1)证明见详解
(2)，
【分析】（1）连接，利用圆的性质及全等三角形性质证得即可推理得证.
（2）由（1）的信息，利用勾股定理及相似三角形性质求出；连接，可得，再利用平行线推比例式求出，进而求出.
【详解】（1）连接，由，得是弦的中点，即垂直平分线段，
所以，而，则≌，
所以，又切于点，
则，即，
所以PA是的切线.
（2）由，，得，
由（1）知，，又，则∽，
所以，所以；
由（1）得，，连接，
由为的直径，得，则，
所以，即，解得，
在中，.
3．【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
(3)或
【分析】（1）在一边上任取一点C，然后过点C作AC的垂线与另一边相交于点B，则即为所求作的三角形；
（2）分别以A，C为圆心，以AC长为半径画弧，相交于点D，连接AD，CD，则即为所求作的等边三角形；
（3）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，然后分两种情况：①点D在AC的下方时，作交BC的延长线于点E，求出DE，CE的长度，然后求出BE的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解；②点D在AC的上方时，求出，根据等边三角形的性质可得，再根据对称性可得与关于AB成轴对称，根据轴对称的性质可得．
【详解】（1）如图所示，为所求作的直角三角形（答案不唯一）；
（2）如图所示，为所求作的等边三角形，有点在的上方与下方两种情况；
（3），边长为，，
根据勾股定理，，
①点在的下方时，作交的延长线于点，
则，，
，
在中，；
②点在的上方时，，
，，
，与关于成轴对称，，
，；
综上所述，的长度为或．
4．【答案】
【分析】利用平行线的性质及相似三角形性质，列式计算即得.
【详解】由四边形是矩形，，，得，
则，，于是∽，
则，即，所以.
所以等于里．
5．【答案】(1)证明见解析
(2)正确，理由见解析
(3)
【分析】（1）由三角形的中位线定理可得到四边形是平行四边形，故有．
（2）由平行线分线段成比例，可得到四边形是平行四边形， ，，，可得；
（3）类似的，可得到.
【详解】（1）证明：如图中，

，，，
，，，
四边形是平行四边形，．
（2）解：结论正确，理由：连接．

，，
同理：，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，，
．
（3）．
理由：连接，

∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∵点、、、是边的等分点，
∴与平行且相等，与平行且相等，…，与平行且相等，
∴四边形、、…、都是平行四边形，
∴，，…，，
∴，，…，，
∴．
6．【答案】证明见解析
【分析】由，有，可得，证明≌，可得．
【详解】证明：，
，
，
又，
，
平分交于点，
，
在和中，由，得，
．
7．【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）连接，只需证明即可.
（2）先判断为等腰直角三角形，由得；再由得：，结合，可求.
【详解】（1）连接，，．
为的直径，所以.
点为的中点，．
，
∴
又，
∴.
是的切线
（2）平分，
，
，
，
为的直径，
，
是等腰直角三角形，

，
，
∵，是公共角，
∽，
：：，
,
设为，
：：，
∴,
，
解得.
即.
8．【答案】梯子的顶端沿墙下滑时，梯子底端并不是也外移，而是外移.
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论．
【详解】∵在中，，，，
∴，
∴，
在中，，
，，
∴，
∴，
∴，
∴梯子的顶端沿墙下滑时，梯子底端并不是也外移，而是外移.
9．【答案】(1)；
(2)；
(3)存在， P坐标为或或.
【分析】（1）设直线解析式为，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）当点B的对应点恰好落在边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P坐标；
（3）存在，分别以为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【详解】（1）∵，，
设此时直线解析式为，
把，分别代入，得，解得，
则此时直线解析式为．
（2）设，则，如图2，
∵，
∴=8，
∴，
∵，
∴，解得
则此时点P的坐标是．
（3）存在，理由为：
若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当，
在中，，
根据勾股定理得： ，
∴，即；
②当时，此时；
③当时，
在中，，
根据勾股定理得：，
∴，即，
综上，满足题意的P坐标为或或．
10．【答案】(1)4km
(2)0.3km/s
【分析】（1）利用正弦函数求即可；
（2）利用余弦函数得到，然后利用正切函数得到，最后求平均速度即可.
【详解】（1）km，
所以点离地面的高度为4km.
（2）km，km，
设飞船从处到处的平均速度为，则km/s，
所以飞船从处到处的平均速度为0.3km/s.
11．【答案】米
【分析】根据图形先由得到的长，进而得到，再由斜坡坡度关系得到米，最后由勾股定理计算可得.
【详解】因为米，坡度为，
所以，
所以，
所以米，
因为米，所以米，
又，斜坡坡度为，
所以，即，解得米，
所以米，
所以斜坡的长为米.
12．【答案】(1)证明见解析；
(2)结论成立，证明见解析.
【分析】(1)由四边形是菱形，，可知是等边三角形，进而得，再计算得即可证得结论.
(2)过点作，可得，是等边三角形，结合等边三角形性质得，进而可证明即可得证.
【详解】(1)由四边形是菱形，得，而，则是等边三角形，
即，又是线段的中点，于是，，
而，则，又，则，因此，
所以.
(2)结论成立；理由如下：
过点作交于点，如图：
由四边形为菱形，，得，是等边三角形，，
，，，则，，，
由，得，又，则是等边三角形，
即，则，，又，则，
在和中，由，，，
得（SAS），
所以.

【关键点拨】在无法直接证明全等的情况下，要合理作辅助线进行解答，在本题中，就需要作出辅助线构造等边三角形，然后利用等边三角形的性质找出全等的条件进行解答.
13．【答案】(1)证明见解析；
(2)四边形是菱形.
【分析】(1)根据中位线定理可证一组对边平行且相等，即可得证；
(2)根据中位线定理，再结合可证平行四边形的邻边相等，即可得证.
【详解】(1)连接，
，，，分别是，，，的中点，
，分别是，的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形.
(2) 四边形是菱形，理由如下：
连接，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
由(1)得，且，
，
平行四边形是菱形.
14．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接OD，则，
，
又，故，
所以，故，
，
因为，所以，
则，即，
而OD为圆O的半径，故是半圆的切线；
（2）AB是圆O的直径，则，
，即，
又，，
，
，
由于，
故，故，
即.
15．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断，再利用同弧所对的圆周角相等，可得，从而证明；
（2）在中，求出，，利用，设，把的三边表示出来，再利用求出，最后在中求出的值，也即是的长.
【详解】（1）是的直径，，
，
又,
.
（2）在中，，，
又，则，，
又，，
在中，设，则，故，
又，，
，即，解得，
，
在中，，
即，解得，
即.
16．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由，，，可求的长；
（2）将绕点顺时针旋转得，证明三点共线，，设，勾股定理求出和即可；
（3）将绕点顺时针旋转，得，证明三点共线，，，设，求出和即可.
【详解】（1）在中，，.
若，则，，
如图1，在中，，由，得
，F是AE中点，则，
中，.
（2）在中，，， F是AB中点，
连接，则为等边三角形，如图所示，
将绕点顺时针旋转，得，
，，则为等边三角形，，
又，则三点共线，
，，则，
，则，
中，，，为中点，连接，
则有，为等边三角形，，
，，所以为直角三角形，，
不妨设，则，
，
所以；
（3）在中，，，
中，，，E是AB中点，F是AE中点，
将绕点逆时针旋转，得，如图所示，
由（2）同理可得为等边三角形，三点共线，，
由，有，又，则有，得，
不妨设，则，
，，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】(1)根据三角形的全等可得四边形两组对边分别相等，即可得证；
(2)根据相似可得边长之比，进而可得；
(3)根据勾股定理结合相似可得边长比进而可得方程，进而可得解.
【详解】(1)四边形是矩形，
，，，
，分别为，的中点，
，
点，从，同时出发，在边，上以每秒个单位向，运动，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
四边形总为平行四边形；
(2)根据题意得：，
，
作交于，交于，如图2所示：
则为的中点，为的中点，，
是梯形的中位线，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
若，的值为；
(3)不存在，理由如下：
，，，
，
作交于，如图3所示：
由(2)得：，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即 ，
解得：或，
，
不存在.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据菱形的边长，根据锐角三角函数可求对角线的长度，进而可求面积，
（2）根据图形中的角度关系，利用三角形的内角和，以及外角和，垂直平分线等几何性质，通过证明角相等，进而得线段相等.
（1）
∵四边形ABCD是菱形，∴且AO＝CO，BO＝DO．
∵∠ABC＝60°，∴．
∵AB＝10，，∴，，
∴AC＝2AO＝10，，
∴菱形ABCD的面积．
（2）
证明：如图，连接EC，
设∠BAE的度数为x．
∵四边形ABCD为菱形，∴BD是AC的垂直平分线，
∴，，．
∵，∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，∴．
∵，∴．
19．【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或或
【详解】（1）由题意可得，，
则，
由，故，
故有，故，
故四边形为平行四边形，
则，
则，故，
故；
（2），理由如下：
延长、交于点，连接，取中点，连接，
由题意可得，，则，
又，则，
由，故，又，
故与相似，故有，
由，故，
又为中点，故，则，
故，又，
故与相似，故有，即，
即，
即，又，故，
即可得，即；

（3）的值可能为或或，理由如下：
①连接，过点作于点，
由题意可得，，
则，
故当点在线段上且不与端点重合时，点在点左侧，
如下图：

若为等腰三角形，则有，
，又，，
故与全等，故，，故点在的角平分线上，
即有，则，
，，
此时；
②当点在点处时，由，且点在直线上，
故，故点在点处，如下图：

此时中有，符合要求，
则点，即；
③若点在点处时，由①可知，此时，
即为包含角的直角三角形，故舍去；
④若点在射线上且不在线段上时，如下图：

此时，，，
不可能为等腰三角形，故舍去；
⑤若点在射线上且不在线段上时，
连接，过点作于点，如下图：

由题意可得，，
则，
，又，，
故与全等，故，，故点在的角平分线上，
即有，若为等腰三角形，则有，
则，
则，，
此时；
综上所述：当为等腰三角形时，的值可能为或或.
20．【答案】（1）依然成立，证明见详解
（2）或
【分析】（1）利用三角形相似即可根据相似比求解；
（2）根据三角形的角的关系可证相似，利用相似比即可求解.
【详解】（1）结论仍然成立.理由如下：
证明：如图所示，
，
又.
；
（2）如图，过点作交于点.
.
由勾股定理可得.

以点为圆心，为半径的圆与相切，.
又，
，即，
，即或.
故的值为或.
21．【答案】(1)；
(2)，证明见解析；
(3)①，18；②或.
【分析】（1）由证明，即可得出；
（2）由已知得出，即可得出；
（3）①由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出，数形结合即可求解；②过D作于H，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1），
理由：∵，∴，
∵，
∴，，
在和中，
∵，∴，
∴，，
∴，即．
（2），
证明：，
又，
，则，
结合，
．
（3）①连接交于O，由（1）知，，
，且，
，
∵点F与点C关于对称，
垂直平分，
，
，∴四边形是正方形，
，
与x的函数表达式为，
由，其最小值为18．
②过D作于H，则是等腰直角三角形，
，
连接，由直角三角形性质有，
∴，
，
，则，
，解得或，
或．
22．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用题意可知是的中垂线，再由同位角相等可得，得出即可得证；
（2）由，再由直角三角形得出即可.
【详解】（1）连接，设与交于点F．
，∴点O、B在的垂直平分线上，
垂直平分，即，
，
，
是的直径，是的切线；
（2）的半径为2，是的直径，，
，
，
，
.
23．【答案】9.2尺
【分析】解直角三角形，分别求出的长可得，再由春分和秋分时日影顶端为的中点即可得解.
【详解】在中，尺，，
（尺）；
在中，尺，，
（尺）；
（尺），
观察可知，春分和秋分时日影顶端为的中点，
（尺），
∴春分和秋分时日影长度为9.2尺．
24．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）16.
【分析】（1）根据题中条件，由角之间的关系，证明，即可得出结论成立；
（2）先由题意，得到，，再由，推出，即可得出结论成立；
（3）连结，根据题中条件，证明，得出，进而可得出结果.
【详解】证明：（1）∵是直径，
∴，.
∵，∴，即，
∴是半圆的切线.
（2）如图，∵是弧的中点，
∴，
∵是直径，∴，故，
∵，∴，
∴，
∴.
（3）连结，则，
∵，是弧的中点，∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查平面几何的证明，以及由三角形相似求三角形面积，属于中档题型.
25．【答案】(1)的距离约为550米；
(2)小亮先到达E点.
【分析】(1)设的延长线交于点F，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可；
(2)在中，求解米，在中，求解米，再进一步求解即可．
【详解】(1)设的延长线交于点F，
由题意知：和都是直角三角形，四边形是矩形，，
在中，
∵，米，
∴(米)，
∴米，
∴在中，
∵，米，
∴(米)，
∴(米)，
答：的距离约为550米；
(2)在中，
∵，米，
∴(米)，
∴在中，
∵，米，
∴(米)，
∴米，
∴小华到达E点所花时间为，
小亮到达E点所花时间为，
∵，
∴小亮先到达E点.
26．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)连接，证明，再证明，由此可得，结合切线性质证明结论.
(2)由条件求，解三角形求，结合三角形面积公式和扇形面积公式可求阴影部分面积.
【详解】(1)连接，

是直径，
，
，，
，
，
， 是的半径，
直线是的切线；
(2)，，
，
，
在中，，，
，解得，
．
27．【答案】(1)①是；②；
(2)；
(3)的值为4或.
【分析】(1)①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明全等于，得出，即可证明；
(2)在线段上取点G，使，连接，由(1)可得全等于，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解；
(3)分两种情况：当时；当时进行讨论，分别计算出的长即可得．
【详解】(1)①∵，
∴ ，
∵，
∴与是“融通三角形”；
②如图，在线段上取点G，使，连接，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)由题意可得：，
在线段上取点G，使，连接，
由(1)可知，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴融通角是；
(3)分两种情况：当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴符合题意，
∴；
当时，过点D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴符合题意，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
综上：的值为4或.
28．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)在中利用勾股定理求即可．
(2)过点作，在中，利用三角函数求，即可得到答案．
【详解】(1)在中，，，
则，
所以车架档的长是.
(2)过点作，垂足为，
因为，
可得，
所以车座点到车架档的距离约是．
29．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)连接，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
(2)连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】(1)连接，

的平分线交于点G，
，
，，
，
是的半径，
为的切线；
(2)连接，，
点为的内心，
平分，平分，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
（负值舍去），
的长为．
30．【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析.
【分析】(1)由平行四边形的性质得，，再由，得，，即可得出结论；
(2)当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】(1)由于四边形为平行四边形，
，即，，
，
，，
四边形是平行四边形；
(2)当时，四边形是矩形，理由如下：
四边形为平行四边形，，
，
，结合(1)的结论，
四边形是矩形.
31．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）如图，联结0C、0A、OF.因为AB=AC，0为△ABC的外心，所以，0A平分∠BAC，OA =0C.
则.
由OE⊥CD，CD平分∠ACB，知∠OEC=90°-∠ECD.
则.
又由EF//AD，CD平分∠ACB，知∠CFE=∠CDA=∠ABC+∠DCB=.
故∠CFE=∠EOC.
因此，C、E、0、F四点共圆.
（2）由0为△ABC的外心，知∠AOC=2∠B.
因为C、E、O、F四点共圆，所以，∠FOC=∠FEC=∠BAC.
故∠FOC+∠AOC=∠BAC+2∠B=180°.
因此，A、O、F三点共线.
（3）由C、E、0、F四点共圆知∠0FE=∠OCE=∠OAC.
从而，EA=EF.
32．【答案】(1)65
(2)4.2米
【分析】（1）由长方体体积公式即可求解.
（2）根据解直角三角形知识、锐角三角函数知识求得，相加即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
故答案为：65．
（2）过点D作于点F，交于点M，交于点G，
则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，

【方法总结】（2）结合直角三角形、锐角三角函数求得，相加即可得解.
33．【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由圆以及平行线的性质即可求解；
（2）首先证明，再结合相似三角形的性质即可求解.
【详解】（1）如图，连接．
为的切线，
．
，
．
，
．
，
．
（2）如图，连接，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半径为2．
34．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接CD．通过求出和得出后可证明切线；
（2）由扇形面积减去面积，再减去半圆中弓形面积可得阴影部分面积．
【详解】
（1）证明：连接CD．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴DE与半圆C相切．
（2）解：连接OD．
∵OA为圆C的直径，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
由勾股定理，得，
∴的面积．
∵，，
∴，，
∴，的面积的面积，
∴阴影部分的面积的面积（的面积）
．
35．【答案】(1)125 cm；
(2)19.6 cm；
(3)①；②70cm，90cm（答案不唯一）．
【分析】(1)根据四边形为矩形， cm， cm，设底座半径 cm，则 cm，由勾股定理求出即可得出答案；
(2)由四边形为矩形，进而得，，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于的方程，解方程求出即可得出答案；
(3)①过作于，过点作于，先求出，设椅背 cm，则坐垫，即可得，由此解得，据此可得椅背的长度范围；
②在①中椅背的长度范围任取一个的值，再计算出的值即可，例如取 cm，则（cm）；（答案不唯一，只要在的长度范围内即可）．
【详解】(1)过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点，如图所示：
平行于地面，
四边形为矩形， cm，
cm，
设底座半径 cm，则 cm，
cm，
在中， cm， cm， cm，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
底座半径的长度为125 cm；
(2)过点作垂直地面于，于，如图所示：
设，
底座与地面相切于点，
垂直地面于点，
四边形为矩形，
，
由任务一可知：，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
点距离地面的高度为19.6 cm；
(3)①过作于，过点作于，如图所示：
，
，
由任务②可知： cm， cm，
在中，，
，
椅背和坐垫的材料总长度为160 cm，
设椅背 cm，则坐垫 cm，
椅背长度小于坐垫长度，
，
解得：，
在中，，
cm，
在中，，
（cm），
点比点在竖直方向上至少高出12 cm，
，
即：，
，
，
解得：，
又，
，
即：，
椅背的长度范围是：；
②由于，故取，则．
36．【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）由已知条件可得，再结合圆的性质可得，则，从而可证得结论，
（2）由垂径定理可得，则，从而可得，则可求出，进而可求得的值.
【详解】（1）证明：因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为为的直径，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为为的直径，所以为的切线；
（2）解：连接，因为，为的半径，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，
所以

37．【答案】(1)证明见详解
(2)①证明见详解；②
【分析】（1）根据题意，证得，进而证得，即可得证；
（2）①根据题意，证得，得到，结合（1）知，即可得证；②根据，结合等边三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在平行四边形中，可得且,
所以，
因为平分，所以，所以，
所以，所以.
（2）证明：①因为，所以，
因为点为的中点，可得，所以，所以，
由（1）知，所以；
②由①知，所以，
因为，所以为等边三角形，
又因为，所以.
38．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据两组对应角相等的两个三角形相似即得；
（2）利用（1）中三角形相似，代入相应边长计算即得.
【详解】（1）∵，，
∴，
又，∴；
（2）由（1）知,
故得，即，
解得.
39．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）过点作于点,由条件有，，根据,可求出答案.
（2）过点作于点,设，则,由，则，可得，利用勾股定理可得出答案.
【详解】（1）过点作于点，∵，，∴.∵，∴.
设，则，∴.∵为的角平分线，∴，
∴，解得.∴.
（2）同（1）过点作于点，由（1）可知，设，则，
∵，∴，∴，由勾股定理可知，，
∴，即，∴.∴.
∵，∴，∴.
40．【答案】证明见解析
【分析】判断出是的垂直平分线，即可得出结论.
【详解】连接，则有，
是的两条切线，切点分别为C，D，则有，
且，易得，即，
所以直线是线段的垂直平分线，有.
41．【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【分析】
（1）若要证明两三角形全等，直角三角形利用两边夹一角相等即可得证；
（2）由角的关系，利用三角比求长度即可得解.
【详解】
（1） 矩形，
由对折可得：
为的中点，
（2），
由折叠可得：
42．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以是的平分线.
（2）解：如图所示，连接，设，
根据（1）证明可知：，
所以，
因为，所以，所以，
因为，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以.
（3）解：设圆的半径为，，则，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，所以，即，
解得，所以.
43．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）延长交于，是的中点，根据圆的对称性知道，
，则，根据三角形内角和及垂直定义，可知.
（2）
设，则，
前面已经证明，所以,
,
则，
又，
故，，，
，
所以，
所以.
（3）设，设，，
如图，延长到点，延长与圆交于，使.由得到，，，四点共圆，
相交弦定理：，
这即，得到，
∴，故，故.
44．【答案】（1）2023；（2）3
【分析】（1）观察数表可得为正整数）在第行，第列，即可得出结果；
（2）设正方形的边长分别为，表达出图甲和乙中阴影部分面积，代换即可得出结果.
【详解】（1）观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，
为正整数）在第行，第列，
在第行，第24列，
所以，
；
（2）设正方形的边长分别为，
则图甲中阴影部分面积为：，
图乙中阴影部分面积为：，即，故
.
所以正方形的面积之和为.
45．【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据三角形的边角关系可证明，即可求证，
（2）根据三角形相似，可得线段成比例，即可求解.
【详解】（1）连接，如图，

为的直径，，
．
，
，
，
，
，
，
．
为的半径，
是的切线；
（2）①，，
,，故，
．
，，
设，则．
，，
，．
，．
为的直径，，
的面积；
②，
，
，，
，
，
．
，，
,，
．
46．【答案】(1)
(2)6.5秒
【分析】（1）根据锐角三角函数即可求解，
（2）根据三角形的边角关系，结合锐角三角函数即可求解.
【详解】（1）连接，，过点作，垂足为，如图：
由题意得，筒车每秒转，
盛水简浮出水面2.5秒后，此时，
，，
，
，
在中，，
，
此时盛水简距离水面的高度．
（2）如图，因为点在上，且与相切，所以当在直线上时，此时是切点，
连接，所以，
在中，，
．
在中，，
，
，
需要的时间为（秒，
从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒恰好在直线上．
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