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2024-2025学年辽宁省普通高中联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.函数在上的最大值为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.“或”是“幂函数为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若函数，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
10.若物体原来的温度为单位：，环境温度为单位：，物体的温度冷却到，单位：与需用时间单位：分钟满足为正常数现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况，则( )
A. 当时，经过分钟，这杯水的温度大约为
B. 当时，这杯开水冷却到大约需要分钟
C. 若，则
D. 这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短
11.已知函数则下列结论正确的是( )
A. 当时，函数在上单调递减
B. 若函数有且仅有两个零点，则
C. 当时，若存在实数，，使得，则的最小值为
D. 已知点在的图象上，且的图象上存在点，，使得，关于坐标原点的对称点也在的图象上，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温单位：，为太阳落山后的时间单位：当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为______．
13.若，，且，则的最小值为______．
14.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的值；
求的极值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求在上的值域；
若在上单调递增，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数的两个极值点分别为，．
求，的值；
已知，求证：不等式在上恒成立．
18.本小题分
已知函数是奇函数．
求的值；
若，当时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，求曲线与曲线的公切线；
已知，若的两个极值点为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，，
所以，
所以，解得；
由可知，，
所以，
令，解得舍去或，
所以当变化时，，变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增
所以仅有极小值为，无极大值．
16.当时，．
令，，．
则，
当时；当时，
故函数，的值域为．
所以当时，在上的值域为．
当时，，满足在上单调递增，满足题意；
当时，设，则，．
因为单调递增，
所以要使在上单调递增，
须使在上单调递增，
所以解得．
综上可得：实数的取值范围为，即．
17.由题意，的定义域为，且，
函数的两个极值点分别为，，，解得，
此时，．
当时，，当时，，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
满足的两个极值点分别为，，
，；
证明：，即，，
令，则，
若，则恒成立，在上单调递增，，
若，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
的极小值为，也是最小值，
令，，则，在上单调递减，
．
综上所述，在上恒成立，即不等式在上恒成立．
18.根据函数为奇函数，得，
即，
那么，即，整理得，
根据上式对定义域内一切都成立，得，解得或，
当时，函数的定义域为，关于原点对称，，满足为奇函数；
当时，函数的定义域为，不关于原点对称，不满足函数为奇函数，
因此．
根据第一问知函数，
定义域为，
当时，单调递减，且，，
令，则，恒成立等价于恒成立，
当时，，当时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，因此，
所以的取值范围是．
19.解：，
当时，在时恒成立，此时在单调递增；
当时，令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
，则，，，
设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，
此时切线方程为，
设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，
此时切线方程为，
所以，时两边都是单调的，
且时，等号成立，故，
公切线方程为；
，
，即，
因为的两个极值点为，，
所以有两个不同的正数解，所以，
又，代入解得，
，，
令，，
，
所以在单调递减，
．
故的取值范围为．
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