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2024-2025学年青海省西宁市湟中一中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.若圆锥的轴截面过圆锥轴的一个截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形它们有共同的对称中心与对称轴单独拿出来放置于同一平面，如图所示已知分米，分米，点在正方形
的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.与向量共线的单位向量( )
A. B. C. D.
10.已知复数是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 复数的虚部等于 B.
C. D. 若是实数，是纯虚数，则
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在中，，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数其中为虚数单位，当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为______．
13.在正四棱台中，，则该棱台的表面积为______，体积为______．
14.圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，且．
求角；
若，的面积为，求．
16.本小题分
已知向量，．
当，且时，求；
当，，求向量与的夹角．
17.本小题分
已知平面向量，满足，，且．
求在方向上的投影向量；
若，求实数的值．
18.本小题分
如图，在中，，点在边上，且．
，，求；
，恰为边上的高，求角；
，求的取值范围．
19.本小题分
在中，设，，所对的边分别为，，，已知．
求角的值；
若：：，判断的形状；
若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理及，得，
因为，所以，即，
因为，
所以．
由得，，
因为，所以，
又，所以，
由余弦定理得，，
所以．
16.解：，
，，
，解得或舍去，
，
故；
，，
，解得，，
，
，
．
17.解：由两边平方得，
由，，可得，即有，
所以在方向上的投影向量为；
因为，
所以，
即为，
所以，
解得．
18.解：，为的中点，，
，，，
，
．
由，恰为边上的高，设，，
在中，，
在中，，
，，，
由余弦定理得，
．
由题，，
则，
，且，，
，
则，
，
，，
，，
解得，的取值范围是
19.解：由题意，，
由正弦定理得，
即，
整理得，
由余弦定理得，
因为，
所以；
由：：及正弦定理，
可得，
即，
由，为三角形内角，可知，
又，
所以为等边三角形；
因为，，
由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，则，
从而，
所以．
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