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2024-2025学年辽宁省普通高中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格工人师傅运用的数学原理是( )
A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面
3.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且与异面，则( )
A. 至多与，中的一条相交 B. 与，均相交
C. 与，均平行 D. 至少与，中的一条相交
5.已知，，复数是关于的方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形的边为轴
旋转一周得到的几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8.已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，底面是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 棱柱至少有五个面
C. 棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
10.已知的内角，，所对的边分别为，，，则( )
A.
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的形状能唯一确定
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点含端点，则下列结论正确的有( )
A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B. 存在点，使得平面平面
C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为______．
13.已知复数，满足，且，则 ______．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 ______，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，在复平面内对应的点分别为，．
若，求；
若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别是，的中点．
证明：平面平面；
若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为，求异面直线与所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，，，，点，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求二面角的正切值；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，的对边分别为，，，且，点为的费马点．
求证：是直角三角形；
若的面积为，且，求的值；
求的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.复数，在复平面内对应的点分别为，．
则，，则，
所以．
由题意可知：，
因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，
故实数的取值范围为．
16.解：因为，所以，
整理得：，
所以由余弦定理得：．
又因为，所以．
因为的面积为，所以，
即，解得，
由余弦定理得：，
因为，，所以，
即，因为，所以．
17.证明：因为，分别是，的中点，
结合三棱柱的定义可得，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
连接，由棱柱的性质，可知，，所以四边形为平行四边形，
所以，，又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
由线面平行的判定定理可得平面，
又因为，，平面，
由面面平行的判定地理可得平面平面．
由知，所以异面直线与所成角为或其补角，
由三棱柱为直三棱柱可得所有的侧棱都与底面垂直，即有平面，
因为，平面，所以，，
所以，，，
所以，即，
所以在中，，
即异面直线与所成角的正弦值为．
18.解：证明：在中，，，，
由余弦定理得．
即，所以，所以．
因为四边形是矩形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，，点是的中点，所以，
又，，平面，
所以平面．
过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示．
由知平面，又，平面，所以，，
又，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角．
因为平面，平面，所以，
又，
所以，
所以，
解得，
在中，，
所以，
即二面角的正切值为．
取的中点，连接，，如图所示，
易得，，又平面，平面，
所以平面，
即点到平面的距离等于点到平面的距离．
因为平面，平面，
所以，所以，
所以．
设点到平面的距离为，
又，
所以，
解得，
设直线与平面所成角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：由，
得，
即，
由正弦定理得，
所以是直角三角形；
由知，
的面积为，
则，
所以在中，，
所以，，
由为的费马点，得，
设，则，，
在中，由正弦定理得，
即，，
在中，由正弦定理得，
则，，
因此，
整理得，
即，
所以，
即．
由为的费马点，得，
设，，，，，，
则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，
得，
化简得，又，，
则，当且仅当时取等号，
整理得，
因此，或舍去，
所以的最小值为．
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