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2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”成立的( )
A. 既不充分也不必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 充分非必要条件
2.在中，点在边上，且，设，，则为( )
A. B. C. D.
3.已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且已知命题：；函数在上有个零点，则以下判断正确的是( )
A. 和均为真命题 B. 为真命题，为假命题
C. 为假命题，为真命题 D. 和均为假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是______．
6.已知，且为第二象限角，则的值是______．
7.已知，则 ______．
8.化简： ______．
9.已知向量与不平行，与平行，则实数 ______．
10.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则 ______．
11.在中，，则的形状为 ．
12.已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则 ______．
13.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
14.设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为______．
15.定义，若函数，
给出下列四个命题：
该函数是周期函数，且最小正周期是；
该函数的值域是；
该函数是偶函数；
对任意，恒成立．
上述命题中错误的序号是______．
16.在中，若，则的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
求与的夹角大小；
求在上的数量投影．
18.本小题分
已知，都是锐角，且，．
求的值；
求的值．
19.本小题分
某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．
当米时，求分隔栏的长；
若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小．
20.本小题分
已知函数的图像，如图所示：
求的解析式；
若在上是严格增函数，求实数的最大值．
将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围．
21.本小题分
对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围；
若函数，，求证：“”是“对任意，为跃点函数”的充分非必要条件；
是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.等腰三角形
12.
13.
14.
15.
16.
17.已知．
则，
则，
则，
则与的夹角为；
在上的数量投影为．
18.因为，都是锐角，且，
；
因为，为锐角，
所以，，
则，
故．
19.因为，所以，由余弦定理可得，
即，整理得，解得负值舍去或，即米；
由，得，又，由正弦定理得，解得，所以，
令，则，
当，即时，取得最大值为，
所以的面积最大值为平方米．
20.由图像可知，，且，
则，，即．
当 时，，即．
所以．
由于，可得，即．
所以的解析式为．
，在上是严格增函数，
所以，，，
且，
则 ，
当时，解得，符合在上是增函数，
当时，解得，此时在上不是单调递增，所以舍去．
因此实数的最大值为．
将函数的图像向右移动个单位，
得到函数，
再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的，
得到函数，周期为．
若在区间上至少有个最大值，则个周期的长度小于等于，
即，所以．
所以实数的取值范围为．
21.由已知得存在实数，
使得，
所以；
证明：若，则，，此时，
则对任意，令，即，
显然是此方程的解，所以对任意实数，为跃点函数；
反之，若对任意，为跃点函数，
即对任意，都有解，
即，
取，得，从而，
因此“是“对任意，为跃点函数的充分非必要条件．
假设存在，由，
得，，
，令，，
即方程，有个根，
当，即，有个根，不符合；
当，即，有个根，不符合；
当，即，有个根，所以；
当，即，有个根，所以．
综上，存在实数和正整数使得函数在上有个跃点”，
符合条件的和的值为或．
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