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2024-2025学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则复数为虚数单位的模为( )
A. B. C. D.
4.已知直线与曲线相切，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是( )
A. B. C. D.
6.关于的展开式，下列说法正确的是( )
A. 第项的二项式系数最大
B. 当时，被除的余数为
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中存在连续三项的系数成等差数列
7.若函数为自然对数的底数，的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，则三个内角中最小的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是( )
A. 事件，，两两互斥 B. 事件，，两两独立
C. D.
10.设平面向量满足，，记，，，则下列说法正确的是( )
A. 存在，使得向量与向量垂直
B. 的最小值为
C. 若，则向量在向量上的投影向量为
D. 的最小值为
11.已知正四面体的棱长为，四面体内部一点包含边界到三个侧面，，的距离之比为：：，则下列说法正确的是( )
A. 正四面体内切球的半径为
B. 点可以为的重心
C.
D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学生最近五次的数学考试成绩分别为，，，，，则该学生数学成绩的第百分位数为______．
13.已知函数，满足，实数可以为______写出满足条件的一个即可
14.已知函数，若存在实数，使得在区间上有三个零点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，求外接圆的面积．
16.本小题分
在中，，，若平面外的点和线段上的点，满足，，四面体的体积为．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围，如图是根据预赛成绩满分分整理后绘制成的频率分布直方图．
估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线；
从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求；
为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率．
18.本小题分
已知函数，，．
若函数存在个零点，求的取值范围；
记，
当时，求的最小值；
若的最小值为，求的取值范围．
19.本小题分
把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理比如“”；一方面问题视为从包含的个不同的元素中取出个元素，共有种方法；另一方面，还可以视为取出的个元素中，一类是不含有，共有种方法，一类是含有，共有种方法，由分类加法计数原理有“算两次”原理在数学中有广泛的应用．
若函数对任意都有恒成立，求的值为自然对数的底数，；
在中，角，，的对边分别为，，，角的内角平分线交于，证明：；
当时，求的值结果用含的式子表示
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.由题意得，，
可得函数的最小正周期，
可得函数的单调递增区间满足，
解得，
所以的单调递增区间为；
由得，
故，
因为，可得，
所以，解得；
设外接圆的半径为，，
由正弦定理得，
故，
所以外接圆的面积为．
16.证明：取中点，连接，，
由，，
得，，
又因为，且，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则四面体的体积为，
因为四面体的体积为，
所以，
解得，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17.根据频率分布直方图的平均数公式可得：，
又因为，并且前三个矩形面积之和为，
所以第百分位数为，所以估计入围分数线为分；
根据题意可知满足二项分布，所以根据公式可得；
设“在复赛中获奖”，“由推荐入围复赛的学生”，“由预赛入围复赛的学生”，
所以，，，，
进而得到，
因此抽取的学生在复赛中获奖的概率为．
18.的定义域为，令函数，那么，
设函数，那么导函数，令，得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
由于，，当时，，因此
当时，函数，
设函数，那么导函数，
令，得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取到最小值．
，
由知，，当且仅当取到等号，所以，
所以．
19.由，可得，
由，可得，
所以；
证明：要证：，
由正弦定理可得，只需证：，
即证：，
即证：，
又因为，
所以即证：，
只需证：，
而左边右边，
所以成立．
先计算，
构造一个组合问题：从名学生中选出若干人组成班干部，并从中选出班长名及团支书名班长和团支书可由人兼任．
一方面，若班长和团支书由人兼任有种方法，其余人有种选法，共有种方法；
若班长和团支书分别由人担任有种方法，其余人有种选法，共有此时，
故总的方法数为种．
另一方面，从人中选出人组成班干部有种选法，
再从中选出班长人及团支书人可由同一人兼任有种选法，
故对每一个有种选法，
故总的方法数为，
所以；
再计算，
对等式两边对求导，
得，
式两边对求导得，
对于，令，整理得，
对于，令，整理得，
所以，
综上有．
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