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2024-2025学年内蒙古乌海一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知平行六面体的体积为，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为( )
A. B. C. D.
4.在三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且，则三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
5.在中，，，，若此三角形有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，，且，，则( )
A. B. C. D.
7.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知正方形的边长为，若动点在以为直径的半圆上正方形内部，含边界，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数满足是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 复数的虚部为 B. 的模为
C. 的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应点在第一象限
10.下列代数式的值为的是( )
A. B.
C. D.
11.已知点，，在所在平面内，下列说法正确的有( )
A. 若，则是的内心
B. 若，则
C. 若，则为的垂心
D. 若，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的表面积为______．
13.已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，则球的体积为______．
14.如图所示，在中，，，，分别是，上的点，且，设与交于点，用向量表示 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且与夹角为，求：
；
与的夹角．
16.本小题分
如图，在高为的正三棱柱中，，是棱的中点．
求三棱锥的体积；
设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．
17.本小题分
已知函数的部分图像如图所示．
求的解析式及对称中心；
若，求的值；
若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，已知．
求；
若外接圆面积为，求的最大值；
若，且的角平分线，求．
19.本小题分
定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形如图，已知平面凸四边形中，，，．
若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且；
求的长；
若，求的值．
若，求四边形面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知得，
，
．
，
，
．
，
与的夹角为．
16.解：因为在高为的正三棱柱中，，是棱的中点．
所以，
所以；
将侧面绕旋转至与侧面共面，
为棱的中点，为棱上一点，如图所示：
当，，三点共线时，取得最小值，
且最小值为．
17.解：由题意可得，周期，
则，，
将点代入可得，，
解得，，，；
令，，解得，
的对称中心为；
由知，
，即，
或
又，
或．
由知，则，
由函数在上恰有个零点，
即在上恰有个解，
即在上恰有个解，
，，
即函数与在区间有个交点，
则，解得，
故的范围为
18.因为，
所以，
即，
由，
所以．
由外接圆面积为得半径，
由，所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，
化简得，
所以的最大值为．
因为是的角平分线，则，
所以的面积，
所以，则，
由，所以，
解得，
综上，．
19.解：已知平面凸四边形中，，，，
已知四边形被对角线分为面积相等的两部分，且，
如图，在中，，，，
由余弦定理可得，则
，
注意到，所以，
又，得，
即，
又因为四边形为凸四边形，，故，
则在中，由余弦定理可得，
所以．
由，如图，以为原点，建立平面直角坐标系，
所以，，，，则．
设，由，
得，
则，
则．
若，
在和中，
由余弦定理得，
则，
四边形面积为：，
即，所以
，
当且仅当，即，时，取最小值，
则，
所以四边形面积的最大值为．
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