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2024-2025 学年湖北省部分重点高中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = 2 4 + ( + 2) 为纯虚数，则实数 的值为( )
A. 2 B. 2 或 2 C. 2 D. 4
2.与向量 = (1, 3)垂直的单位向量是( )
A. ( 3 , 1 1 32 2 ) B. ( 2 , 2 )
C. ( 3 , 1 ) ( 32 2 和 2 ,
1
2 ) D. (
1
2 ,
3
2 )
1 3
和( 2 , 2 )
3.已知圆锥的母线长为 2，高为 3，则圆锥的全面积为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4.已知向量 = (4,2)， = ( 1,3)，则△ 的面积为( )
A. 5 2 B. 7 C. 10 D. 14
5.正方体中， ， ， ， 分别是所在棱的中点，则下列图形中 与 是异面直线，且所成的角为 60°的是
( )
A. B.
C. D.
6.设 ， ， ， 是同一个半径为 2 的球的球面上四点，△ 为等腰直角三角形且面积为 3，则三棱锥
体积的最大值为( )
A. 9 B. 6 C. 92 D. 3
7.在△ 中， = 21， = 5， = 4， 为△ 的外心，则 的值为( )
A. 72 B.
7
2 C.
7 3 D. 7 32 2
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8.已知向量 ， 满足：| | = 1，| + 2 | = 3，则| | + | + |的最大值为( )
A. 3 B. 10 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 = 1 3 4 ( 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A.复数 1的虚部为25
B. | | = 25
C.复数 对应的点在第一象限
D.复数 满足| | = 1 2，则| |的最大值为 5 + 1
10.一组样本有互不相等的 5 个数据，平均数记为 0，方差记为 0，下列说法错误的是( )
A.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 0
B.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 0
C.去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 0
D.去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 0
11.如图，四面体 中， 是棱 上的动点， 是棱 上的动点( 、 不
与四面体的顶点重合).记 与 所成的角为 ， 与平面 的所成的角为
，平面 与平面 的夹角为 ，则 ， ， 的大小关系不可能是( )
(注：平面 与平面 相交形成的四个二面角中，不大于 90°的二面角称为平面
与平面 的夹角)
A. > > B. > > C. > > D. > >
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.我市某所高中共有学生 1800 人，其中一、二、三年级的人数比为 5：4：3，采用分层抽样的方法从中
抽取一个容量为 240 的样本，则应抽取一年级的人数为______．
13.已知向量 , , 满足| | = 1，| | = 7，2 + + = 0.若 2 与 夹角是 3，则| | = ______．
14.设正方体 1 1 1 1的棱长为 1，点 在正方体的表面上运动，且满足 1 与平面 成 45°的
角，则点 轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

复数 的共轭复数为 , 为虚数单位．
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(1)若 1 + 是关于 的实系数一元二次方程 2 + + 1 = 0 的一根，求实数 ， 的值．

(2)若 3 | | = 7 9 ，求复数 ．
16.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 1 = 4， = 3， = 5．
(1)求证： 1 ⊥平面 1 ；
(2)求直线 1 1与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取 500 名学生的竞赛成绩为样本，按照[30,50)，[50,70)，
[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成 6 组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计

算出：成绩在[30,90)内的学生的平均成绩为 21 = 65 分，方差为 1 = 200；成绩在[90,150]内的学生的平均

成绩为 2 = 115 分，方差为 22 = 225；样本的学生的平均成绩为 = 97 分.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)成绩位列前 60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？(取整数分)
(3)求样本的方差 2．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若△ 的面积 = 3 3， = 6 ，且有 3 + =
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2 ．
(1)求角 和角 ；
(2)若 = 2 ，求| |．
19.(本小题 17 分)
(1)如图 1，直线 与△ 的三边所在直线分别相交于 ， ， 三点.若 = ， = ， = ，
证明： = 1．
(2)四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，经过 的平面 分别与棱 ， 相交于点 ， (不与顶
点重合)，证明：
①若 // ，则 // (如图 2)；
②平面 始终平分四面体 的体积.请仅就 与平面 相交于点 时(如图 3)证明此结论．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.100 人
13.32
14.2 2 + 2
15.(1)法一：由已知有方程 2 + + 1 = 0 的两根为 1 ± ，
= (1 + ) + (1 ) = 2由根与系数的关系得 1
= (1 + )(1 ) = 2
∴ = 12 , = 1．
(1)法二：由 1 + 是方程的根，所以有 (1 + )2 + (1 + ) + 1 = 0，
( + 1) + (2 + ) + 1 = 0 =
1
整理得 ，根据复数相等 2 + = 0，解得 2 ． = 1
∴ = 12 , = 1．

(2)设 = + ( , ∈ )，则 = ( , ∈ )，∵ 3 | | = 7 9 ，
2 2
∴ 3( ) 2 + 2 = 7 9 ，由复数的相等有 3 + = 7，
3 = 9
解得 = 4， = 3，故复数 = 4 + 3 ．
16.(1)证明：在△ 中， = 4， = 3， = 5，
可得 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，
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因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又因为 1 ∩ = ，
所以 ⊥平面 1 1 ，
又因为 1 平面 1 1 ， ⊥ 1 ，
又知四边形 1 1 是正方形，所以 1 ⊥ 1，
又因为 ∩ 1 = ，
所以 1 ⊥平面 1 ；
(2)解：在直三棱柱 1 1 1中， 1 1// ，
所以 1 1与平面 1 所成的角等于 平面 1 所成的角，
设其大小为 ，
设 1 ∩ 1 = ，则 为 1 的中点，连接 ，
由(1)知， ⊥平面 1 ，
所以 与平面 1 所成的角为∠ ，
因为四边形 1 1 为矩形， = 4， 1 = 4，
故 1 = 21 + 2 = 4 2，
所以 = 12 1 = 2 2，
在 △ 中， = sin∠ = 2 2， = 5
因此直线 1 1与平面 所成角的正弦值为
2 2
1 ．5
17.(1)设成绩在[90,150]的频率为 ，则成绩在[30,90)的频率为 1 ，

因为成绩在[30,90)内的学生的平均成绩为 1 = 65，

成绩在[90,150]内的学生的平均成绩为 2 = 115，平均成绩为 = 97，
所以 × 115 + (1 ) × 65 = 97，解得 = 0.64．
则根据频率分布直方图有(0.014 + + 0.006) × 20 = 0.64，解得 = 0.012．
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(2)设获得优胜奖的成绩为 分，易计算得频率分布直方图成绩在[90,110)，[110,130)，[130,150]的频率分
别为 0.28、0.24、0.12，
则优胜奖成绩 位于[90,110)中，
90 0.64 0.60 0.64 0.60 20
由此有110 90 = 0.014×20，解得 = 90 + 0.014 = 90 + 7 ≈ 93，
故以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为 93 分．
(3)样本方差 2

= (1 0.64)[( )2 + 2] + 0.64[( )21 1 2 + 22]，
即 2 = 0.36[(65 97)2 + 200] + 0.64[(115 97)2 + 225]
= 351.36 + 440.64 = 792，
则样本的方差 2 = 792．
1
18.(1) △ = 2 × × = 3 3由已知得 ，两式相除得 = 3，
= × = 6
又 0 < < ，∴ = 3；
又已知 3 + = 2

，
根据余弦定理有
2 2 2 2
3 × + + +
2 2 2 2 2
2 2 = 2 ×
+ 2 2
2 ，化简得 2 = 3 ，∴ 2 = 3
2
由正弦定理得， = 3 =
2
2 ，
又∵ 0 < < 2 3，∴ = 4；
(2) ∵ = 3 , =

4，∴ = =
5 ∴ = 3+112， = 2 ；
又由(1)得 = 12，∴ 2 = 12( 3 1)，
∴ 2 = ( 3+1 )2，化简得 4 2 = ( 3 + 1)2 22 = 24( 3 + 1)，即
2 = 6( 3 + 1)，
∵ = 2 ，∴ 3 = 2 + ，
两边同时平方有 9| |2 = (2 + )2 = 4| |2 + 4 + | |2 = 4 2 + 4 × 6 + 2
= 24( 3 + 1) + 24 + 12( 3 1) = 36( 3 + 1)，
化简得| | = 2 3 + 1．
19.证明：(1)因为 = = 1+ ，由 = ，可得 =
1
1+ ，
又 ， ， 三点共线，所以 = + (1 ) = + 1 1+ 1+ ①，
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由 = ，可得 = 1 + 1+ 1+ ②，
= 1
因为 , 不共线，所以 1+ 1+ 1 ，
1+ = 1+
= 1+ = 1 (1+ ) 所以 (1+ ) 1+ ，
化简得 = 1．
(2)①因为 // ，平面 经过 且与平面 相交于 ，
所以 // ，又 为 的中点，所以 为 的中点，
因为 为 中点，所以 / / ，
因为 , ，所以 // ．
②由已知有 ， ， 三线相交于点 ，
由(1) 有



= 1,
= 1，

因为 ， 分别为 ， 中点，所以 = ，

记 = = ，四面体 的体积为 ，多面体 的体积为 ′，

连接 ， ，则有 四边形 = =
1 (1 △ 12 ) = (1
)，
△ △ 2 2
= △ = 1 = ，△ 2 4
′
所以 = + = 1 2，
即平面 平分四面体 的体积．
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