资源简介

1.1.1　集合及其表示方法
第一课时　集合的含义
1.下列所给对象不能组成集合的是（　　）
A.一个平面内的所有点
B.所有小于零的实数
C.某校高一（1）班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
2.下列元素与集合的关系中，正确的是（　　）
A.－1∈N B.0 N*
C.∈Q D. R
3.若集合A有三个元素1，2，x2，则x的值可以是（　　）
A. B.1
C.0，2 D.－1，－
4.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（　　）
A.2∈A，且2∈B
B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B
C.2∈A，且（3，10）∈B
D.（3，10）∈A，且2∈B
5.（多选）已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合为M，则下列判断错误的是（　　）
A.0 M B.1∈M
C.－2∈M D.2∈M
6.用符号“∈、 ”填空：　　　　Q.
7.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b　 　　A，ab　　　　A.（填∈或 ）
8.设A是由满足不等式x＜6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a的值为　　　　.
9.由实数x，－x，｜x｜，，－，所组成的集合中最多含有（　　）
A.2个元素 B.3个元素
C.4个元素 D.5个元素
10.设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是　　　　.
11.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
（1）求实数x应满足的条件；
（2）若－2∈A，求实数x的值.
第一课时　集合的含义
1.C　一个平面内的所有点具有确定性，符合集合定义，故A正确；
所有小于零的实数具有确定性，符合集合定义，故B正确；
某校高一（1）班的高个子学生目标不确定，不符合集合定义，故C不正确；
某一天到商场买过货物的顾客具有确定性，符合集合定义，故D正确.故选C.
2.B　因为－1是负整数，不是自然数，所以A不正确；
因为0不是正整数，所以B正确；
因为是无理数，不是有理数，所以C不正确；
因为是实数，所以D不正确.故选B.
3.C　因为集合A有三个元素1，2，x2，所以x2≠1且x2≠2，所以x≠±1且x≠±，即x可以是实数范围内除去±1和±的任何值，显然四个选项中只有选项C符合.
4.C　集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C.
5.AB　当x，y都大于零时，＋＝1＋1＝2；
当x，y中一个大于零，另一个小于零时，＋＝0；
当x，y都小于零时，＋＝－1－1＝－2.
根据元素与集合的关系，可知0∈M，1 M，－2∈M，2∈M.故选A、B.
6.∈　解析：根据元素与集合之间的关系得＝3∈Q.
7. 　∈　解析：∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b A，ab∈A.
8.0或1　解析：∵a∈A且3a∈A，
∴解得a＜2.又a∈N，∴a＝0或1.
9.A　＝｜x｜，－＝－x，而｜x｜＝x或－x，所以共有x和－x两种形式.且当x＝0时，集合中有1个元素，当x≠0时，集合中有2个元素x，－x，所以组成的集合中最多含有2个元素.故选A.
10.8　解析：若a∈P，b∈Q，则a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P＋Q中有8个元素.
11.解：（1）根据集合中元素的互异性，可知
即x≠0且x≠3且x≠－1.
（2）因为x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，且－2∈A，
所以x＝－2.
1 / 11.1.1　集合及其表示方法
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系 数学抽象
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合 数学抽象、直观想象
3.在具体情景中，了解空集的含义 数学抽象
第一课时　集合的含义
　　9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午3点钟开始在班级进行开学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书.
【问题】　（1）这个通知的对象有哪些？
（2）这些对象能组成一个集合吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　元素与集合的概念
1.集合与元素
2.集合相等
给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全　　　　，就称这两个集合相等，记作A＝B.
3.集合元素的特性
【想一想】
1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
2.某班所有的高个子男生能否组成一个集合？
3.某班身高高于175厘米的男生能否组成一个集合？
知识点二　元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 a是集合A的元素 a　　A a属于A
不属于 a不是集合A的元素 a　　A a不属于A
【想一想】
1.元素与集合之间有第三种关系吗？
2.符号“∈”“ ”的左边可以是集合吗？
知识点三　空集、常用数集、集合的分类
1.空集
（1）定义：　　　　　　　　的集合；
（2）符号：　　　.
2.常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
3.集合的分类
（1）集合
（2）空集是　　　　集.
提醒　N与N*的区别：N中的元素是从0开始非负整数，N*中的元素是从1开始的正整数.
1.用“book”中的字母组成的集合中元素个数为（　　）
A.1　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
2.下列元素与集合的关系判断正确的是　 　（填序号）.
①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤ R.
3.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为　　　　.
题型一 集合的相关概念
【例1】　2024年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级.则下列对象能组成一个集合的是哪些？并说明你的理由.
（1）你所在班级中全体同学；
（2）班级中比较高的同学；
（3）班级中身高超过178 cm的同学；
（4）班级中比较胖的同学；
（5）班级中体重超过75 kg的同学；
（6）学习成绩比较好的同学；
（7）总分前五名的同学.
尝试解答
通性通法
判断一组对象能否组成集合的标准
　　判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
【跟踪训练】
1.给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程x2＋x－1＝0的实数根；④全国著名的高等院校.以上能组成集合的是（　　）
A.①③　　　　　　 B.①②
C.①②③ D.①②③④
2.下面能组成集合的是（　　）
A.中国的小河流
B.大于5且小于11的偶数
C.高一年级的优秀学生
D.某班级跑得快的学生
题型二 元素与集合的关系
【例2】　（1）（多选）下列关系中，正确的是（　　）
A.∈R B. Q
C.｜－3｜∈N D.0∈
（2）若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为　　　　.
尝试解答
通性通法
1.判断元素与集合关系的2种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
2.已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素.反之，当a A时，结论恰恰相反.
利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.
【跟踪训练】
1.下列关系中，正确的是（　　）
A.－2∈N* B.∈Z
C.π Q D.5 N
2.已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2，且元素a∈A，a B，则a的值为　　　　.
题型三 集合中元素的特性及应用
【例3】　（链接教科书第9页练习B组4题）已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为　　　　.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值.
2.（变条件）本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
通性通法
　　根据集合中元素的特性求解参数取值（范围）的3个步骤
【跟踪训练】
1.若方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为（　　）
A.1　　　　　　　　B.2
C.3 D.4
2.已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，则实数a＝　　　　.
1.下列选项中能组成集合的是（　　）
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.我市在2024年9月1日前注册的中学生
D.数学必修第一册课本中所有的难题
2.已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
3.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.N*中最小的数是1
B.若－a N*，则a∈N*
C.若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2
D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
4.若x∈N，且∈N，则x＝　　　.
第一课时　集合的含义
【基础知识·重落实】
知识点一
1.确定的、不同的　每个对象　2.相同　3.确定　不同
想一想
1.提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
2.提示：某班所有的高个子男生不能组成集合，因为高个子男生没有明确的标准.
3.提示：某班身高高于175厘米的男生能组成一个集合，因为标准确定.
知识点二
　∈　
想一想
1.提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果.
2.提示：∈和 具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合.
知识点三
1.（1）不含任何元素　（2） 　2.N　N*或N＋　Z　Q　R　3.（1）有限　无限　（2）有限
自我诊断
1.C　由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素.
2.①④　解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π Q， Q，－1∈Z，∈R.
3.0或－1　解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，
－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意.
综上所述，实数a的值为0或－1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）班级中全体同学是确定的，所以可以组成一个集合.
（2）因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合.
（3）因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以组成一个集合.
（4）因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合.
（5）因为“体重超过75 kg”是确定的，所以可以组成一个集合.
（6）因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合.
（7）因为“总分前五名”是确定的，所以可以组成一个集合.
跟踪训练
1.A　① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以组成集合.
②中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能组成集合.
③方程x2＋x－1＝0的实数根是确定的，所以能组成集合.
④全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不能组成集合.故选A.
2.B　由题意，对于A，我国的小河流不能组成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于B，大于5小于11的偶数为6，8，10，可以组成集合；
对于C，高一年级的优秀学生不能组成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于D，某班级跑得快的学生不能组成集合，不符合集合中元素的确定性.故选B.
【例2】　（1）ABC　（2）2，1，0　解析：（1）是实数，是无理数，｜－3｜＝3是自然数，空集中没有元素.因此，A、B、C正确，D错误.
（2）由题意可得：3－x可以为1，2，3，6，且x为自然数，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.
跟踪训练
1.C　对于A，－2是负整数，则－2 N*，A错误；
对于B，是分数，则 Z，B错误；
对于C，π是无理数，则π Q，C正确；
对于D，5是自然数，则5∈N，D错误.故选C.
2.3　解析：∵a∈A，a B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.
【例3】　－1　解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴a＝－1.
母题探究
1.解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.当a＝2时A中两个元素是2和4，符合元素的互异性；
当a＝时A中两个元素是和2，符合元素的互异性；
当a＝－时，A中两个元素是－和2，符合元素的互异性.
故所求实数a的值是2或或－.
2.解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.
跟踪训练
1.C　方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的实数根分别是2，3和2，－1，又集合中的元素具有互异性，所以集合M中的元素个数为3个.故选C.
2.0　解析：由a∈A可知：a＝1或a＝a2.
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或a＝1（舍去）.
当a＝0时，A中含有两个元素0和1，满足题意.
综上可知，a＝0.
随堂检测
1.C　∵组成集合的元素具有确定性，选项A、B、D中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确.故选C.
2.D　因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形.故选D.
3.AC　因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；
对B，若a＝，则满足－a N*，但a N*，B错误；
对D，x2＋4＝4x的解集中只有一个元素2，D错误.故选A、C.
4.1　解析：因为x∈N，且∈N，则x＝1.
5 / 5(共57张PPT)
1.1.1　集合及其表示方法
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的
属于关系 数学抽象
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础
上，用符号语言刻画集合 数学抽象、直观
想象
3.在具体情景中，了解空集的含义 数学抽象
第一课时　集合的含义
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午3点钟开始在班级进
行开学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书.
【问题】　（1）这个通知的对象有哪些？
（2）这些对象能组成一个集合吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　元素与集合的概念
1. 集合与元素
2. 集合相等
给定两个集合 A 和 B ，如果组成它们的元素完全 ，就称这
两个集合相等，记作 A ＝ B .
3. 集合元素的特性
相同　
【想一想】
1. 集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现
实生活中的各种各样的事物或人等.
2. 某班所有的高个子男生能否组成一个集合？
提示：某班所有的高个子男生不能组成集合，因为高个子男生没有
明确的标准.
3. 某班身高高于175厘米的男生能否组成一个集合？
提示：某班身高高于175厘米的男生能组成一个集合，因为标准
确定.
知识点二　元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 a 是集合 A 的元素 a A a 属于 A
不属于 a 不是集合 A 的元素 a A a 不属于 A
∈　
　
【想一想】
1. 元素与集合之间有第三种关系吗？
提示：对于一个元素 a 与一个集合 A 而言，只有“ a ∈ A ”与“ a
A ”这两种结果.
2. 符号“∈”“ ”的左边可以是集合吗？
提示：∈和 具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不
可以是集合.
知识点三　空集、常用数集、集合的分类
1. 空集
（1）定义： 的集合；
（2）符号： .
2. 常用的数集及其记法
常用的 数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
记法
不含任何元素　
　
N　
N*或N＋　
Z　
Q　
R　
3. 集合的分类
（1）集合
（2）空集是 集.
提醒　N与N*的区别：N中的元素是从0开始非负整数，N*中
的元素是从1开始的正整数.
有限　
1. 用“book”中的字母组成的集合中元素个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由集合中元素的互异性可知，该集合中共有
“b”“o”“k”三个元素.
2. 下列元素与集合的关系判断正确的是 　　 　（填序号）.
①0∈N；②π∈Q；③ ∈Q；④－1∈Z；⑤ R.
①④
解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实
数集，故0∈N，π Q， Q，－1∈Z， ∈R.
3. 已知集合 A 中含有两个元素 a －3和2 a －1，若－3∈ A ，则实数 a 的
值为 　　 　　.
0或－1
解析：∵－3∈ A ，∴－3＝ a －3或－3＝2 a －1.若－3＝ a －3，则 a
＝0.此时集合 A 中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2 a －
1，则 a ＝－1，此时集合 A 中含有两个元素－4，－3，符合题意.综
上所述，实数 a 的值为0或－1.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合的相关概念
【例1】　2024年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班
级.则下列对象能组成一个集合的是哪些？并说明你的理由.
（1）你所在班级中全体同学；
解：班级中全体同学是确定的，所以可以组成一个集合.
（2）班级中比较高的同学；
解：因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不
能组成一个集合.
（3）班级中身高超过178 cm的同学；
解：因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以组成一个集合.
（4）班级中比较胖的同学；
解：因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不
能组成一个集合.
（5）班级中体重超过75 kg的同学；
解：因为“体重超过75 kg”是确定的，所以可以组成一个集合.
（6）学习成绩比较好的同学；
解：因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合.
（7）总分前五名的同学.
解：因为“总分前五名”是确定的，所以可以组成一个集合.
通性通法
判断一组对象能否组成集合的标准
　　判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，
如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同
时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
【跟踪训练】
1. 给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近 的实数的全
体；③方程 x2＋ x －1＝0的实数根；④全国著名的高等院校.以上能
组成集合的是（　　）
A. ①③ B. ①②
C. ①②③ D. ①②③④
解析：　① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗
斯、英国.所以可以组成集合.
②中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能组成集合.
③方程 x2＋ x －1＝0的实数根是确定的，所以能组成集合.
④全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不能组成集合.
故选A.
2. 下面能组成集合的是（　　）
A. 中国的小河流
B. 大于5且小于11的偶数
C. 高一年级的优秀学生
D. 某班级跑得快的学生
解析：　由题意，对于A，我国的小河流不能组成集合，不符合集
合中元素的确定性； 对于B，大于5小于11的偶数为6，8，10，可以
组成集合；对于C，高一年级的优秀学生不能组成集合，不符合集
合中元素的确定性；对于D，某班级跑得快的学生不能组成集合，
不符合集合中元素的确定性.故选B.
题型二 元素与集合的关系
【例2】　（1）（多选）下列关系中，正确的是（　ABC　）
A. ∈R B. Q
C. ｜－3｜∈N D. 0∈
解析： 是无理数，｜－3｜＝3是自然数，空集中没有元
素.因此，A、B、C正确，D错误.
ABC
（2）若集合 A 中的元素 x 满足 ∈N， x ∈N，则集合 A 中的元素
为 .
解析：由题意可得：3－ x 可以为1，2，3，6，且 x 为自然数，因
此 x 的值为2，1，0.因此 A 中元素有2，1，0.
2，1，0　
通性通法
1. 判断元素与集合关系的2种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在
已知集合中是否出现即可；
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是
否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知
集合中的元素具有什么特征.
2. 已知元素与集合的关系求参数的思路
当 a ∈ A 时，则 a 一定等于集合 A 中的某个元素.反之，当 a A 时，
结论恰恰相反.
利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意
根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.
【跟踪训练】
1. 下列关系中，正确的是（　　）
A. －2∈N* B. ∈Z
C. π Q D. 5 N
解析：　对于A，－2是负整数，则－2 N*，A错误；对于B， Z，B错误；对于C，π是无理数，则π Q，C正确；对
于D，5是自然数，则5∈N，D错误.故选C.
2. 已知集合 A 中有四个元素0，1，2，3，集合 B 中有三个元素0，1，
2，且元素 a ∈ A ， a B ，则 a 的值为 .
解析：∵ a ∈ A ， a B ，∴由元素与集合之间的关系知， a ＝3.
3
题型三 集合中元素的特性及应用
【例3】　（链接教科书第9页练习B组4题）已知集合 A 含有两个元素
a 和 a2，若1∈ A ，则实数 a 的值为 .
解析：若1∈ A ，则 a ＝1或 a2＝1，即 a ＝±1.
当 a ＝1时，集合 A 有重复元素，不符合元素的互异性，∴ a ≠1；当 a
＝－1时，集合 A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴ a ＝－1.
－1　
【母题探究】
1. （变条件）本例若将条件“1∈ A ”改为“2∈ A ”，其他条件不
变，求实数 a 的值.
解：因为2∈ A ，所以 a ＝2或 a2＝2，即 a ＝2或 a ＝ 或 a ＝－ .
当 a ＝2时 A 中两个元素是2和4，符合元素的互异性；
当 a ＝ 时 A 中两个元素是 和2，符合元素的互异性；
当 a ＝－ 时， A 中两个元素是－ 和2，符合元素的互异性.
故所求实数 a 的值是2或 或－ .
2. （变条件）本例若去掉条件“1∈ A ”，其他条件不变，则实数 a 的
取值范围是什么？
解：因为 A 中有两个元素 a 和 a2，所以 a ≠ a2，解得 a ≠0且 a ≠1.
通性通法
　　根据集合中元素的特性求解参数取值（范围）的3个步骤
【跟踪训练】
1. 若方程 x2－5 x ＋6＝0和方程 x2－ x －2＝0的所有实数根组成的集合
为 M ，则 M 中的元素个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　方程 x2－5 x ＋6＝0和方程 x2－ x －2＝0的实数根分别是
2，3和2，－1，又集合中的元素具有互异性，所以集合 M 中的元素
个数为3个.故选C.
2. 已知集合 A 含有两个元素1和 a2，若“ a ∈ A ”，则实数 a ＝ .
解析：由 a ∈ A 可知： a ＝1或 a ＝ a2.
当 a ＝1时，此时 a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以 a ≠1.
当 a ＝ a2时， a ＝0或 a ＝1（舍去）.
当 a ＝0时， A 中含有两个元素0和1，满足题意.
综上可知， a ＝0.
0　
1. 下列选项中能组成集合的是（　　）
A. 中央电视台著名节目主持人
B. 我市跑得快的汽车
C. 我市在2024年9月1日前注册的中学生
D. 数学必修第一册课本中所有的难题
解析：　∵组成集合的元素具有确定性，选项A、B、D中没有明
确标准，不符合集合定义，选项C正确.故选C.
2. 已知集合Ω中的三个元素 l ， m ， n 分别是△ ABC 的三边长，则△
ABC 一定不是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析：　因为集合中的元素是互异的，所以 l ， m ， n 互不相等，
即△ ABC 不可能是等腰三角形.故选D.
3. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. N*中最小的数是1
B. 若－ a N*，则 a ∈N*
C. 若 a ∈N*， b ∈N*，则 a ＋ b 最小值是2
D. x2＋4＝4 x 的实数解组成的集合中含有2个元素
解析：AC　因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；
对B，若 a ＝ ，则满足－ a N*，但 a N*，B错误；对D， x2＋4＝4
x 的解集中只有一个元素2，D错误.故选A、C.
4. 若 x ∈N，且 ∈N，则 x ＝ .
解析：因为 x ∈N，且 ∈N，则 x ＝1.
1　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列所给对象不能组成集合的是（　　）
A. 一个平面内的所有点
B. 所有小于零的实数
C. 某校高一（1）班的高个子学生
D. 某一天到商场买过货物的顾客
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解析：　一个平面内的所有点具有确定性，符合集合定义，故A正
确；所有小于零的实数具有确定性，符合集合定义，故B正确；某
校高一（1）班的高个子学生目标不确定，不符合集合定义，故C不
正确；某一天到商场买过货物的顾客具有确定性，符合集合定义，
故D正确.故选C.
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2. 下列元素与集合的关系中，正确的是（　　）
A. －1∈N B. 0 N*
C. ∈Q D. R
解析：　因为－1是负整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不
是正整数，所以B正确；因为 是无理数，不是有理数，所以C不
正确；因为 是实数，所以D不正确.故选B.
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3. 若集合 A 有三个元素1，2， x2，则 x 的值可以是（　　）
A. B. 1
C. 0，2 D. －1，－
解析：　因为集合 A 有三个元素1，2， x2，所以 x2≠1且 x2≠2，所
以 x ≠±1且 x ≠± ，即 x 可以是实数范围内除去±1和± 的任何
值，显然四个选项中只有选项C符合.
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4. 集合 A 的元素 y 满足 y ＝ x2＋1，集合 B 的元素（ x ， y ）满足 y ＝ x2
＋1（ A ， B 中 x ∈R， y ∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正
确的是（　　）
A. 2∈ A ，且2∈ B
B. （1，2）∈ A ，且（1，2）∈ B
C. 2∈ A ，且（3，10）∈ B
D. （3，10）∈ A ，且2∈ B
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解析：　集合 A 中的元素为 y ，是数集，又 y ＝ x2＋1≥1，故2∈
A ，集合 B 中的元素为点（ x ， y ），且满足 y ＝ x2＋1，经验证，
（3，10）∈ B ，故选C.
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5. （多选）已知 x ， y 为非零实数，代数式 ＋ 的值所组成
的集合为 M ，则下列判断错误的是（　　）
A. 0 M B. 1∈ M
C. －2∈ M D. 2∈ M
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解析：　当 x ， y 都大于零时， ＋ ＝1＋1＝2；当 x ，
y 中一个大于零，另一个小于零时， ＋ ＝0；当 x ， y 都
小于零时， ＋ ＝－1－1＝－2.根据元素与集合的关系，
可知0∈ M ，1 M ，－2∈ M ，2∈ M . 故选A、B.
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6. 用符号“∈、 ”填空： Q.
解析：根据元素与集合之间的关系得 ＝3∈Q.
∈
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7. 已知集合 A 是由偶数组成的，集合 B 是由奇数组成的，若 a ∈ A ， b
∈ B ，则 a ＋ b A ， ab A . （填∈或 ）
解析：∵ a 是偶数， b 是奇数，∴ a ＋ b 是奇数， ab 是偶数，故 a ＋
b A ， ab ∈ A .

∈
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8. 设 A 是由满足不等式 x ＜6的自然数组成的集合，若 a ∈ A 且3 a ∈
A ，则 a 的值为 .
解析：∵ a ∈ A 且3 a ∈ A ，
∴解得 a ＜2.
又 a ∈N，∴ a ＝0或1.
0或1
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9. 由实数 x ，－ x ，｜ x ｜， ，－ ，所组成的集合中最多含有
（　　）
A. 2个元素 B. 3个元素
C. 4个元素 D. 5个元素
解析：　 ＝｜ x ｜，－ ＝－ x ，而｜ x ｜＝ x 或－ x ，所以
共有 x 和－ x 两种形式.且当 x ＝0时，集合中有1个元素，当 x ≠0
时，集合中有2个元素 x ，－ x ，所以组成的集合中最多含有2个元
素.故选A.
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10. 设 P ， Q 为两个非空实数集合， P 中含有0，2，5三个元素， Q 中
含有1，2，6三个元素，定义集合 P ＋ Q 中的元素是 a ＋ b ，其中 a
∈ P ， b ∈ Q ，则 P ＋ Q 中元素的个数是 .
解析：若 a ∈ P ， b ∈ Q ，则 a ＋ b 的取值分别为1，2，3，4，6，
7，8，11，则组成的集合 P ＋ Q 中有8个元素.
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11. 设 x ∈R，集合 A 中含有三个元素3， x ， x2－2 x .
（1）求实数 x 应满足的条件；
解：根据集合中元素的互异性，可知
即 x ≠0且 x ≠3且 x ≠－1.
（2）若－2∈ A ，求实数 x 的值.
解：因为 x2－2 x ＝（ x －1）2－1≥－1，且－2∈ A ，
所以 x ＝－2.
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谢 谢 观 看！
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