资源简介

第二课时　集合的表示及区间
1.已知集合M＝{（x，y）｜x，y∈N*，x＋y＜3}，则M中元素的个数为（　　）
A.1　　　　　　　　 B.2
C.3 D.0
2.集合{x∈N*｜x－4＜1}用列举法表示为（　　）
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5，} D.{1，2，3，4，5}
3.方程x2－1＝0的解集可表示为（　　）
A.{x2－1＝0}
B.{x｜x＝1，或x＝－1}
C.{－1，1}
D.{x＝1，x＝－1}
4.（多选）已知集合A＝{x｜x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（　　）
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1＋x2∈B D.x1＋x2＋x3∈A
5.若二次根式有意义，则x的取值范围用区间表示为　　　　.
6.若a，b，x∈R且a，b≠0，集合B＝，则用列举法可表示为　　　　.
7.集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
8.定义新集合运算A B＝{x｜x＝x1·x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，3，4}，B＝{2，3}，则A B所有元素之和为（　　）
A.48 B.54
C.40 D.36
9.已知方程x2＋ax＋b＝0的解集为{2，－1}，则方程ax＋b＝0的解集为　　　　.
10.已知关于x的方程mx＋4＝3x－n（m，n∈R）.
（1）求方程的解集A；
（2）若n＝4，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B.
第二课时　集合的表示及区间
1.A　集合M＝{（x，y）｜x，y∈N*，x＋y＜3}＝{（1，1）}，所以M中只有1个元素.故选A.
2.B　∵x－4＜1，∴x＜5.又x∈N*，∴{x∈N*｜x－4＜1}＝{1，2，3，4}.故选B.
3.C　因为x2－1＝0，所以x＝±1，故方程x2－1＝0的解集可表示为{－1，1}，故选C.
4.ABC　∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的.易知A、B、C均正确.
5.　解析：由题意知，要使有意义，则x－2≥0，得x≥2.所以x的取值范围为.
6.{－2，0，2}　解析：当a＜0，b＜0时，x＝＋＝－1－1＝－2，
当a＜0，b＞0时，x＝＋＝－1＋1＝0，
当a＞0，b＜0时，x＝＋＝1－1＝0，
当a＞0，b＞0时，x＝＋＝1＋1＝2，
所以用列举法可表示为{－2，0，2}.
7.解：（1）当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
（2）当k≠0时，要使集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}.
8.C　由题意，A B＝{2，3，6，9，8，12}，则所有元素和为：2＋3＋6＋9＋8＋12＝40.故选C.
9.{－2}　解析：因为方程x2＋ax＋b＝0的解集为{2，－1}，所以解得
所以方程ax＋b＝0即为－x－2＝0，
所以x＝－2，即所求方程的解集为{－2}.
10.解：（1）由题意，可得（3－m）x＝4＋n，
①当m≠3时，解集为A＝；
②当m＝3，n＝－4时，解集为A＝R；
③当m＝3，n≠－4时，解集为A＝ .
（2）由题意及（1）问结论知，m≠3，且x＝∈N*，
所以3－m＝1或2或4或8，所以B＝{2，1，－1，－5}.
1 / 1第二课时　集合的表示及区间
　　语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……
【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　列举法
把集合中的元素　　　　　　出来（相邻元素之间用　　　分隔），并写在　　　　内，以此来表示集合的方法称为列举法.
提醒　使用列举法表示集合的四个注意点：①元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；②元素不重复，满足元素的互异性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
知识点二　描述法
这种表示集合的方法，称为　　　　　　　，简称为描述法.
【想一想】
集合A＝{x｜x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？
知识点三　区间的概念及表示
1.区间定义及表示
设a，b是两个实数，而且a＜b.
定义 名称 符号 数轴表示
{x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x｜a＜x＜b} 开区间 　　
{x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 　　
{x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 　　
2.无穷的概念及无穷区间的表示
定义 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤a} {x｜x＜a}
符号 （－∞，＋∞） 　　 　　 　　 （－∞，a）
【想一想】
1.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
2.“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
1.方程组的解集是（　　）
A.{（1，－1），（－1，1）}
B.{（1，1），（－1，1）}
C.{（1，－1），（－1，－1）}
D.
2.集合{x∈N｜x－2＜3}用列举法表示是（　　）
A.{1，2，3，4}　　　　 B.{1，2，3，4，5}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{0，1，2，3，4}
3.若[0，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是　　　　.
题型一 用列举法表示集合
【例1】　（链接教科书第9页练习A组3题）用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
尝试解答
通性通法
用列举法表示集合的3个步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
提醒　用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开.
【跟踪训练】
　（多选）下列集合中，可以表示为{2，3}的是（　　）
A.方程x2＋5x＋6＝0的解集
B.最小的两个质数
C.大于1小于4的整数
D.不等式组的整数解
题型二 用描述法表示集合
【例2】　（链接教科书第9页练习A组4题）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合；
（2）坐标平面内第一象限的点的集合；
（3）大于4的所有偶数.
尝试解答
通性通法
1.描述法表示集合的2个步骤
2.选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.
【跟踪训练】
1.集合A＝{x∈N｜xy＝16，y∈N}的元素个数为（　　）
A.3　　　 B.4
C.5　　　 D.6
2.用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A＝　　　.
题型三 区间及其表示
【例3】　（链接教科书第9页练习A组5题）将下列集合用区间及数轴表示出来：
（1）{x｜x＜2}；
（2）{x｜x≥3}；
（3）{x｜－1≤x＜5}.
尝试解答
通性通法
用区间表示数集的原则和方法
（1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错；
（2）用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字（或字母）之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
【跟踪训练】
1.不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（　　）
A.[2，＋∞] B.[2，＋∞）
C.（－∞，2） D.（－∞，2]
2.已知△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，则第三边AC的长的取值范围用区间表示为　　　　.
题型四 集合与方程的综合问题
【例4】　（1）若集合A＝{x∈R｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝（　　）
A.1 B.2
C.0 D.0或1
（2）设∈，则集合x｜x2－x－a＝0中所有元素之积为　　　　.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若本例（1）中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a的取值范围.
通性通法
集合与方程综合问题的解题策略
（1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根；
（2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数（含参数）的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
【跟踪训练】
　已知集合A＝{x｜mx2－3x＋2＝0}.
（1）若A是单元素集，求m的值及集合A；
（2）求集合P＝{m｜m使得A至少含有一个元素}.
　以实际问题为背景的集合问题
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验.每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策：
（1）本市户籍适龄儿童入学.凡年满6周岁（2018年8月31日以前出生）的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证（监护人持有）的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学.
（2）非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学.
该市东城区2024年的入学顺位可以参考2023年公布的入学顺位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片户口＋‘（外）曾祖父’房屋产权”.
【问题探究】
1.若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，某儿童a具有该市户口（非本区），a是集合A的元素吗？
提示：a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母.
2.某儿童b的父母在东城区有房屋产权，则b是集合A中的元素吗？
提示：b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口.
【迁移应用】
　给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合.判断集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x｜x＝3k，k∈Z}是不是闭集合，并给出证明.
1.集合{（x，y）｜y＝2x－1}表示（　　）
A.方程y＝2x－1
B.点（x，y）
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
2.集合A＝用列举法可以表示为（　　）
A.{3，6}　　　　 B.{1，2}
C.{0，1，2} D.{－2，－1，0，1，2}
3.用描述法表示下图中的阴影部分可以是　　　　.
第二课时　集合的表示及区间
【基础知识·重落实】
知识点一
　一一列举　逗号　大括号
知识点二
　符号　竖线　特征性质　特征性质描述法
想一想
　提示：A＝{x｜x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合.
知识点三
1.（a，b）　[a，b）　（a，b]　2.[a，＋∞）　（a，＋∞）　（－∞，a]
想一想
1.提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.
2.提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.所以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
自我诊断
1.A　由可得：或所以方程组的解集是{（1，－1），（－1，1）}.故选A.
2.D　由题知{x∈N｜x－2＜3}＝{x∈N｜x＜5}＝{0，1，2，3，4}.故选D.
3.　解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a－1＞0，解得：a＞，所以a的取值范围是.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
（2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}.
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），
故交点组成的集合是{（0，1）}.
跟踪训练
　BCD　对于A，方程x2＋5x＋6＝0的解集为{－2，－3}，不符合；
对于B，最小的两个质数组成的集合为{2，3}，符合；
对于C，大于1小于4的整数组成的集合为{2，3}，符合；
对于D，由可得即1＜x＜，故整数解集为{2，3}，符合.故选B、C、D.
【例2】　解：（1）根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x｜x＝3n＋1，n∈N}.
（2）第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{（x，y）｜x＞0，y＞0}.
（3）偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x｜x＝2n，n∈Z且n≥3}.
跟踪训练
1.C　因为x∈N，y∈N，xy＝16，所以x，y是16的因数，所以x的取值有：1，2，4，8，16，共5个元素，故选C.
2.{n｜n＝4k＋3，k∈N}　解析：被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，因此A＝{n｜n＝4k＋3，k∈N}.
【例3】　解：（1）{x｜x＜2}用区间表示为（－∞，2），用数轴表示如下：
（2）{x｜x≥3}用区间表示为[3，＋∞），用数轴表示如下：
（3）{x｜－1≤x＜5}用区间表示为[－1，5），用数轴表示如下：
跟踪训练
1.B　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间为[2，＋∞）.
2.（1，5）　解析：因为△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，所以BC－AB＜AC＜AB＋BC，即1＜AC＜5.
【例4】　（1）D　（2）　解析：（1）当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意.
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素.
（2）因为∈，
所以－a－＝0，解得a＝－，
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝＞0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，所以＝，
故集合的所有元素的积为×9＝.
母题探究
解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素.由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为.
跟踪训练
　解：（1）当m＝0时，方程－3x＋2＝0，有一个解x＝，符合题意，故A＝；
当m≠0，A只有一个元素，则二次方程mx2－3x＋2＝0只有一个根，
所以Δ＝0，得m＝，得A＝.
（2）A至少含有一个元素，则m＝0或有.
拓视野　以实际问题为背景的集合问题
迁移应用
　解：因为4∈A，4＋4＝8 A，所以A不是闭集合；
任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z，
则a＋b＝3m＋3n＝3（m＋n），且m＋n∈Z，
所以a＋b∈B，
同理，a－b∈B，故B为闭集合.
随堂检测
1.D　本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.
2.B　因为∈N*，所以3－x＝1，2，3，6，可得x＝2，1，0，－3，因为x∈N*，所以x＝1，2，集合A＝{1，2}，故选B.
3.{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}　解析：可以用{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}来表示图中阴影部分.
5 / 5(共63张PPT)
第二课时　
集合的表示及区间
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同
的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日
快樂”，英文为“Happy Birthday”……
【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　列举法
把集合中的元素 出来（相邻元素之间用 分
隔），并写在 内，以此来表示集合的方法称为列举法.
一一列举　
逗号　
大括号　
提醒　使用列举法表示集合的四个注意点：①元素间用“，”分隔
开，其一般形式为{ a1， a2，…， an }；②元素不重复，满足元素的互
异性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含有有限个元素且
个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且
集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列
举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
知识点二　描述法
这种表示集合的方法，称为 ，简称为描述法.
特征性质描述法　
【想一想】
集合 A ＝{ x ｜ x －1＝0}与集合 B ＝{1}表示同一个集合吗？
提示： A ＝{ x ｜ x －1＝0}＝{1}与集合 B 表示同一个集合.
知识点三　区间的概念及表示
1. 区间定义及表示
设 a ， b 是两个实数，而且 a ＜ b .
（ a ， b ）　
定义 名称 符号 数轴表示
{ x ｜ a ≤ x
≤ b } 闭区间 [ a ， b ]
{ x ｜ a ＜ x
＜ b } 开区间
定义 名称 符号 数轴表示
{ x ｜ a ≤ x
＜ b } 半开半闭区间
{ x ｜ a ＜ x
≤ b } 半开半闭区间
[ a ， b ）　
（ a ， b ]　
2. 无穷的概念及无穷区间的表示
定义 R { x ｜ x ≥
a } { x ｜ x ＞
a } { x ｜ x ≤
a } { x ｜ x ＜
a }
符号 （－∞，
＋∞）


（－∞，
a ）
[ a ，＋
∞）　
（ a ，
＋∞）　
（－
∞， a ]　
【想一想】
1. 区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间
表示.
2. “∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可
以是中括号吗？
提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.所以“－∞”
或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
1. 方程组的解集是（　　）
A. {（1，－1），（－1，1）}
B. {（1，1），（－1，1）}
C. {（1，－1），（－1，－1）}
D.
解析：　由
的解集是{（1，－1），（－1，1）}.
故选A.
2. 集合{ x ∈N｜ x －2＜3}用列举法表示是（　　）
A. {1，2，3，4} B. {1，2，3，4，5}
C. {0，1，2，3，4，5} D. {0，1，2，3，4}
解析：　由题知{ x ∈N｜ x －2＜3}＝{ x ∈N｜ x ＜5}＝{0，1，
2，3，4}.故选D.
3. 若[0，3 a －1]为一确定区间，则 a 的取值范围是 .
解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3 a －1＞0，解得： a ＞
，所以 a 的取值范围是 .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用列举法表示集合
【例1】　（链接教科书第9页练习A组3题）用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于
0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
（2）方程 x3＝ x 的所有实数解组成的集合；
解：方程 x3＝ x 的解是 x ＝0或 x ＝1或 x ＝－1，所以方程的
解组成的集合为{0，1，－1}.
（3）直线 y ＝2 x ＋1与 y 轴的交点所组成的集合.
解：将 x ＝0代入 y ＝2 x ＋1，得 y ＝1，即交点是（0，1），
故交点组成的集合是{（0，1）}.
通性通法
用列举法表示集合的3个步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
提醒　用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次
序，且元素与元素间用“，”隔开.
【跟踪训练】
（多选）下列集合中，可以表示为{2，3}的是（　　）
A. 方程 x2＋5 x ＋6＝0的解集
B. 最小的两个质数
C. 大于1小于4的整数
D. 不等式组 的整数解
解析：　对于A，方程 x2＋5 x ＋6＝0的解集为{－2，－3}，不符
合；对于B，最小的两个质数组成的集合为{2，3}，符合；
对于C，大于1小于4的整数组成的集合为{2，3}，符合；
对于D，由即1＜ x ＜ ，故整数解集为
{2，3}，符合.故选B、C、D.
题型二 用描述法表示集合
【例2】　（链接教科书第9页练习A组4题）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合；
解：根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为
{ x ｜ x ＝3 n ＋1， n ∈N}.
（2）坐标平面内第一象限的点的集合；
解：第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可
表示为{（ x ， y ）｜ x ＞0， y ＞0}.
（3）大于4的所有偶数.
解：偶数可表示为2 n ， n ∈Z，又因为大于4，故 n ≥3，
从而用描述法表示此集合为{ x ｜ x ＝2 n ， n ∈Z且 n ≥3}.
通性通法
1. 描述法表示集合的2个步骤
2. 选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是
能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合
中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简
单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元
素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.
【跟踪训练】
1. 集合 A ＝{ x ∈N｜ xy ＝16， y ∈N}的元素个数为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析：　因为 x ∈N， y ∈N， xy ＝16，所以 x ， y 是16的因数，所
以 x 的取值有：1，2，4，8，16，共5个元素，故选C.
2. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合 A ＝
.
解析：被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，因此 A ＝{ n ｜ n ＝4 k
＋3， k ∈N}.
{ n ｜ n ＝4 k
＋3， k ∈N}　
题型三 区间及其表示
【例3】　（链接教科书第9页练习A组5题）将下列集合用区间及数轴
表示出来：
（1）{ x ｜ x ＜2}；
解： { x ｜ x ＜2}用区间表示为（－∞，
2），用数轴表示如下：
（2）{ x ｜ x ≥3}；
解： { x ｜ x ≥3}用区间表示为[3，＋
∞），用数轴表示如下：
（3）{ x ｜－1≤ x ＜5}.
解： { x ｜－1≤ x ＜5}用区间表示为[－1，5），用数轴表
示如下：
通性通法
用区间表示数集的原则和方法
（1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区
间的开闭不能弄错；
（2）用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字（或字
母）之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实
心点与空心点的区别.
【跟踪训练】
1. 不等式 x －2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（　　）
A. [2，＋∞] B. [2，＋∞）
C. （－∞，2） D. （－∞，2]
解析：　不等式 x －2≥0的所有解组成的集合为{ x ｜ x ≥2}，表示
成区间为[2，＋∞）.
2. 已知△ ABC 的两边长 AB ＝2， BC ＝3，则第三边 AC 的长的取值范
围用区间表示为 .
解析：因为△ ABC 的两边长 AB ＝2， BC ＝3，
所以 BC － AB ＜ AC ＜ AB ＋ BC ，
即1＜ AC ＜5.
（1，5）
题型四 集合与方程的综合问题
【例4】　（1）若集合 A ＝{ x ∈R｜ ax2＋2 x ＋1＝0， a ∈R}中只有一
个元素，则 a ＝（　D　）
A. 1 B. 2
C. 0 D. 0或1
解析：当 a ＝0时，原方程变为2 x ＋1＝0，
此时 x ＝－ ，符合题意；
当 a ≠0时，方程 ax2＋2 x ＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4 a ＝0，即 a ＝1，原方程的解为 x ＝－1，符合题意.
故当 a ＝0或 a ＝1时，原方程只有一个解，此时 A 中只有一个元素.
（2）设 ∈ ，则集合 x ｜ x2－ x － a ＝0 中所有
元素之积为 .

解析：因为 ∈ ，
所以 － a － ＝0，解得 a ＝－ ，
当 a ＝－ 时，方程 x2－ x ＋ ＝0的判别式Δ＝ －4×
＝ ＞0，由 x2－ x ＋ ＝0，解得 x1＝ ， x2＝9，所以
＝ ，
故集合 ×9＝ .
【母题探究】
（变条件）若本例（1）中“只有一个元素”变为“至少有一个元
素”，求 a 的取值范围.
解： A 中至少有一个元素，即 A 中有一个或两个元素.由例题解析可
知，当 a ＝0或 a ＝1时， A 中有一个元素；当 A 中有两个元素时，Δ＝4
－4 a ＞0，即 a ＜1且 a ≠0.所以 A 中至少有一个元素时， a 的取值范围
为 .
通性通法
集合与方程综合问题的解题策略
（1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，
求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于
方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0，当 a ＝0， b ≠0时，方程有一个解；当 a
≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程
无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根；
（2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数
（含参数）的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进
而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的
讨论中的作用.
【跟踪训练】
　已知集合 A ＝{ x ｜ mx2－3 x ＋2＝0}.
（1）若 A 是单元素集，求 m 的值及集合 A ；
解：当 m ＝0时，方程－3 x ＋2＝0，有一个解 x ＝ ，符合
题意，故 A ＝ ；
当 m ≠0， A 只有一个元素，则二次方程 mx2－3 x ＋2＝0只有一
个根，所以Δ＝0，得 m ＝ ，得 A ＝ .
（2）求集合 P ＝{ m ｜ m 使得 A 至少含有一个元素}.
解：A 至少含有一个元素，
则 m ＝0或.
　以实际问题为背景的集合问题
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验.每年，家有即将
幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，
所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区
今年率先发布了幼升小入学政策：
（1）本市户籍适龄儿童入学.凡年满6周岁（2018年8月31日以前
出生）的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证（监护人
持有）的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登
记入学.
（2）非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东
城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登
记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市
非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育
的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区
内多校划片入学.
该市东城区2024年的入学顺位可以参考2023年公布的入学顺位
说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父
或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户
口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或
其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或
母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片户口＋‘（外）曾祖父’房屋产权”.
1. 若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合 A ，某儿童 a 具有该
市户口（非本区）， a 是集合 A 的元素吗？
提示： a 不一定是 A 中的元素，由于 a 不是东城区户口，还需满足房
屋产权所有人为儿童本人或其父或母.
【问题探究】
2. 某儿童 b 的父母在东城区有房屋产权，则 b 是集合 A 中的元素吗？
提示： b 不一定是 A 中的元素，因为 b 不一定具有本片区户口.
【迁移应用】
给定数集 A ，若对于任意 a ， b ∈ A ，有 a ＋ b ∈ A ，且 a － b ∈
A ，则称集合 A 为闭集合.判断集合 A ＝{－4，－2，0，2，4}， B ＝
{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}是不是闭集合，并给出证明.
解：因为4∈ A ，4＋4＝8 A ，所以 A 不是闭集合；
任取 a ， b ∈ B ，设 a ＝3 m ， b ＝3 n ， m ， n ∈Z，
则 a ＋ b ＝3 m ＋3 n ＝3（ m ＋ n ），且 m ＋ n ∈Z，
所以 a ＋ b ∈ B ，同理， a － b ∈ B ，故 B 为闭集合.
1. 集合{（ x ， y ）｜ y ＝2 x －1}表示（　　）
A. 方程 y ＝2 x －1
B. 点（ x ， y ）
C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D. 一次函数 y ＝2 x －1图象上的所有点组成的集合
解析：　本题中的集合是点集，其表示一次函数 y ＝2 x －1图象上
的所有点组成的集合.故选D.
2. 集合 A ＝ 用列举法可以表示为（　　）
A. {3，6} B. {1，2}
C. {0，1，2} D. {－2，－1，0，1，2}
解析：　因为 ∈N*，所以3－ x ＝1，2，3，6，可得 x ＝2，1，
0，－3，因为 x ∈N*，所以 x ＝1，2，集合 A ＝{1，2}，故选B.
3. 用描述法表示下图中的阴影部分可以是
.
解析：可以用{（ x ， y ）｜0≤ x ≤2，0≤ y ≤1}来表示图中阴
影部分.
{（ x ， y ）｜0≤ x ≤2，
0≤ y ≤1}　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知集合 M ＝{（ x ， y ）｜ x ， y ∈N*， x ＋ y ＜3}，则 M 中元素的
个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
解析：　集合 M ＝{（ x ， y ）｜ x ， y ∈N*， x ＋ y ＜3}＝{（1，
1）}，所以 M 中只有1个元素.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. 集合{ x ∈N*｜ x －4＜1}用列举法表示为（　　）
A. {0，1，2，3，4} B. {1，2，3，4}
C. {0，1，2，3，4，5，} D. {1，2，3，4，5}
解析：　∵ x －4＜1，∴ x ＜5.又 x ∈N*，∴{ x ∈N*｜ x －4＜1}＝
{1，2，3，4}.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 方程 x2－1＝0的解集可表示为（　　）
A. { x2－1＝0} B. { x ｜ x ＝1，或 x ＝－1}
C. {－1，1} D. { x ＝1， x ＝－1}
解析：　因为 x2－1＝0，所以 x ＝±1，故方程 x2－1＝0的解集可
表示为{－1，1}，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x ＝2 m －1， m ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝2
n ， n ∈Z}，且 x1， x2∈ A ， x3∈ B ，则下列判断正确的是（　　）
A. x1· x2∈ A B. x2· x3∈ B
C. x1＋ x2∈ B D. x1＋ x2＋ x3∈ A
解析：　∵集合 A 表示奇数集，集合 B 表示偶数集，∴ x1， x2
是奇数， x3是偶数，∴ x1＋ x2＋ x3应为偶数，即D是错误的.易知A、
B、C均正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. 若二次根式 有意义，则 x 的取值范围用区间表示为
.
解析：由题意知，要使 有意义，则 x －2≥0，得 x ≥2.所以 x
的取值范围为 .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. 若 a ， b ， x ∈R且 a ， b ≠0，集合 B ＝{ x ｜ x ＝ ＋ }，
则用列举法可表示为 .
{－2，0，2}　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：当 a ＜0， b ＜0时， x ＝ ＋ ＝－1－1＝－2，
当 a ＜0， b ＞0时， x ＝ ＋ ＝－1＋1＝0，
当 a ＞0， b ＜0时， x ＝ ＋ ＝1－1＝0，
当 a ＞0， b ＞0时， x ＝ ＋ ＝1＋1＝2，
所以用列举法可表示为{－2，0，2}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. 集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}，若集合 A 中只有一个元素，求实
数 k 的值组成的集合.
解：（1）当 k ＝0时，方程 kx2－8 x ＋16＝0变为－8 x ＋16＝0，解
得 x ＝2，满足题意；
（2）当 k ≠0时，要使集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}中只有一个元
素，则方程 kx2－8 x ＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64 k
＝0，解得 k ＝1，此时集合 A ＝{4}，满足题意.
综上所述， k ＝0或 k ＝1，故实数 k 的值组成的集合为{0，1}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 定义新集合运算 A B ＝{ x ｜ x ＝ x1· x2， x1∈ A ， x2∈ B }，若 A ＝
{1，3，4}， B ＝{2，3}，则 A B 所有元素之和为（　　）
A. 48 B. 54
C. 40 D. 36
解析：　由题意， A B ＝{2，3，6，9，8，12}，则所有元素和
为：2＋3＋6＋9＋8＋12＝40.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. 已知方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的解集为{2，－1}，则方程 ax ＋ b ＝0的解
集为 .
解析：因为方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的解集为{2，－1}，所以
所以方程 ax ＋ b ＝0即为－ x －2＝0，
所以 x ＝－2，即所求方程的解集为{－2}.
{－2}　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 已知关于 x 的方程 mx ＋4＝3 x － n （ m ， n ∈R）.
（1）求方程的解集 A ；
解：由题意，可得（3－ m ） x ＝4＋ n ，
①当 m ≠3时，解集为 A ＝ ；
②当 m ＝3， n ＝－4时，解集为 A ＝R；
③当 m ＝3， n ≠－4时，解集为 A ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）若 n ＝4，关于上述方程仅有正整数解，求 m 的所有取值组成
的集合 B .
解：由题意及（1）问结论知， m ≠3，且 x ＝ ∈N*，
所以3－ m ＝1或2或4或8，所以 B ＝{2，1，－1，－5}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑