资源简介

1.1.2　集合的基本关系
1.能正确表示集合M＝{x∈R｜0≤x≤2}和集合N＝{x∈R｜x2－x＝0}关系的维恩图是（　　）
2.已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为（　　）
A.2　　　　　　　　 B.4
C.6 D.8
3.下列各式中：①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2} {2，1，0}；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}.正确的个数是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.设集合M＝{x∈Z｜｜x－1｜＜2}，N＝{y∈N｜y＝－x2＋2x＋1，x∈R}，则（　　）
A.N∈M B.M N
C.N M D.M＝N
5.（多选）下列集合中，与{1，2}相等的是（　　）
A.{，（－2）0}
B.{x∈N｜｜x｜≤2}
C.{x｜x2－3x＋2＝0}
D.
6.已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B A，则实数m＝　　　　.
7.若a∈R，集合A＝{1，a，a＋2}，B＝{1，3，5}，且A＝B，则a＝　　　　 　.
8.已知集合A＝{x｜x2＝1}，B＝{x｜ax－1＝0}，若B A，则实数a＝　　　.
9.设集合A＝{x｜－1≤x＋1≤6}，B＝{x｜m－1＜x＜2m＋1}.
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（2）若A B，求m的取值范围.
10.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x｜0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A C B的集合C的个数为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
11.若x∈A，且∈A，则称A为“影子关系”集合.在集合M＝的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（　　）
A.3个 B.4个
C.7个 D.8个
12.已知集合A＝{x｜｜x－a｜＝4}，集合B＝{1，2，b}.
（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；
（2）若A B成立，求出对应的实数对（a，b）.
13.设集合U＝{2，3，5，6，9}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是　　 　.
14.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.设4∈，则满足条件的所有a组成的集合为A，集合B＝.
（1）求集合A；
（2）若A，B两个集合可以构成“全食”或“偏食”，求实数b的值.
1.1.2　集合的基本关系
1.B　解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其对应的维恩图如选项B所示.
2.B　根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个.
3.B　①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0，1，2} {2，1，0}，正确；
③空集是任意集合的子集，故 {0，1，2}，正确；
④空集没有任何元素，故 ≠{0}，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故{0，1}，{（0，1）}为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.故选B.
4.D　根据题意，M＝{x∈Z｜－1＜x＜3}＝{0，1，2}，
N＝{y∈N｜y＝－（x－1）2＋2}＝{y∈N｜y≤2}＝{0，1，2}，M＝N，选项D正确.故选D.
5.AC　A，{，（－2）0}＝{1，2}，可选；
B，{x∈N｜｜x｜≤2}＝{0，1，2}，与{1，2}不相等，不选；
C，{x｜x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，可选；
D，＝{（1，2）}，与{1，2}不相等，不选.故选A、C.
6.4　解析：∵B A，∴元素3，4必为A中元素，∴m＝4.
7.3　解析：∵A＝B，∴解得a＝3，或无解，所以a＝3.
8.0，1或－1　解析：根据题意知，A＝{－1，1}，∵B A，∴①B＝ 时，a＝0；
②B≠ 时，B＝，此时，＝1或＝－1，解得a＝1或a＝－1.
9.解：化简集合A，得A＝{x｜－2≤x≤5}.
（1）∵x∈Z，
∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254（个）.
（2）①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝ A；
②当m＞－2时，
B＝{x｜m－1＜x＜2m＋1}，
因此，若要B A，
则只要 －1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围是{m｜－1≤m≤2，或m≤－2}.
10.C　由题得A＝{x｜x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x｜（x－1）（x－2）＝0，x∈R}＝{1，2}，
易知B＝{x｜0＜x＜5，x∈N}＝{1，2，3，4}.
因为A C B，所以集合C＝{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.故选C.
11.C　由“影子关系”集合定义可知，集合M＝{0，，，1，2，3，4}中，为影子关系的集合有M1＝{1}，M2＝，M3＝，M4＝，M5＝，M6＝，M7＝.故选C.
12.解：（1）对于任意实数b都有A B，当且仅当集合A中的元素为1，2时成立.
∵A＝{a－4，a＋4}，
∴或
解方程组可知无解.
∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A B.
（2）由（1）易知，若A B，
则或
或或
解得或或或
则所求实数对为（5，9）或（6，10）或（－3，－7）或（－2，－6）.
13.{3，5，9}　解析：不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1＋5＋10＋10＝26＞23，故排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为{5，6，9}，第25位的子集为{3，6，9}，第24位的子集为{2，6，9}，第23位的子集为{3，5，9}.
14.解：（1）由题意可知，＝｜a｜≠－a，故a＞0，
所以，＝4或a2＝4，解得a＝4或a＝2，
故A＝{4，2}.
（2）当b＝0时，B＝ ，则满足B是A的真子集，此时A与B构成“全食”；
当b＞0时，B＝，此时A与B无法构成“全食”，可构成“偏食”，
则＝4或＝2，解得b＝1或b＝2.
故b的值为0或1或2.
2 / 21.1.2　集合的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义 数学抽象
2.能识别给定集合的子集 数学抽象
3.了解空集与其他集合的关系 数学抽象
4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观想象
　　所有中国公民构成的集合为B，北京市的中国公民构成的集合为A.
【问题】　（1）集合A中元素与集合B中元素存在怎样的关系？
（2）集合A与集合B有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　子集
1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A B（或B A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）.
2.如果A不是B的子集，记作A B（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
3.性质：A A； A.
【想一想】
1.任意两个集合之间是否有包含关系？
2.符号“∈”与“ ”有什么区别？
知识点二　真子集
1.真子集的有关概念与性质
（1）概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B（或B A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）；
（2）性质：对于集合A，B，C，①如果A B，B C，则A C；②如果A B，B C，则A　　C.
2.维恩图
（1）概念：如果用平面上一条封闭曲线的　　　　来表示集合，这种示意图通常称为维恩图；
（2）维恩图的优点及其表示
①优点：形象直观；
②表示：通常用　　　　的　　　　代表集合.
【想一想】
1.任何集合A是其本身的真子集吗？
2.空集是任何集合的真子集吗？
3.你认为“ ”和“ ”有什么区别和联系？
知识点三　集合的相等与子集的关系
性质：由集合相等的定义可知：如果　　　　且　　　　，则A＝B；反之，如果A＝B，则　　　　且　　　　.
1.（多选）下列表述正确的是（　　）
A.{1} {1，2}　　　 B.{0} {1，2}
C.{1，2} {2} D.{1，2} {2，1}
2.已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则（　　）
A.P∈Q B.P Q
C.Q P D.Q∈P
3.若M＝{x｜（x－1）（x＋2）＝0}，N＝{1，－2}，P＝{（x，y）｜y＝（x－1）（x＋2）}，则这三个集合中，具有相等关系的是　　　　.
题型一 集合间关系的判断
【例1】　（链接教科书第13页例3）指出下列各对集合之间的关系：
（1）A＝{－1，1}，B＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}；
（2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}；
（3）A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}；
（4）M＝{x｜x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N*}；
（5）A＝{x｜x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x｜x＝a2－4a＋5，a∈R}.
尝试解答
通性通法
1.判断集合间关系的常用方法
2.已知集合相等求参数的方法
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系.首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解.当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论.求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性.
【跟踪训练】
1.下列各组两个集合A和B表示同一集合的是（　　）
A.A＝{π}，B＝{3.14}
B.A＝{2，3}，B＝{（2，3）}
C.A＝{1，，π}，B＝{π，1，｜－｜}
D.A＝{x｜－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}
2.若集合M＝，N＝，则集合M，N之间的关系是　　　　.
题型二 确定有限集合的子集、真子集及其个数
【例2】　（链接教科书第11页例1）（1）集合M＝{1，2，3}的真子集个数是（　　）
A.6　　　　　　　　 B.7
C.8 D.9
（2）满足{1，2} M {1，2，3，4，5}的集合M有　　　　个.
尝试解答
通性通法
1.求集合子集、真子集个数的3个步骤
2.与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
（1）A的子集的个数为2n个；
（2）A的真子集的个数为2n－1个；
（3）A的非空真子集的个数为2n－2个.
【跟踪训练】
1.集合{x∈N｜－4＜x－1＜4，x≠1}的非空真子集的个数为（　　）
A.31　　　　　　　　 B.30
C.15 D.14
2.若集合A＝{x｜x2－3x＝0}，B＝{0，1，2，3}，则满足A M B的集合M的个数是　　　　 　.
题型三 由集合间的关系求参数值（范围）
角度1　由集合相等求参数
【例3】　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值.
尝试解答
通性通法
由集合相等求参数的方法
　　解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的思想方法呈现所有可能的对应情况即可.另外，需注意检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性.
角度2　已知包含关系求参数
【例4】　（链接教科书第11页例2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）在本例条件下，若B A，求实数m的取值范围.
2.（变条件）在本例条件下，若A B，求实数m的取值范围.
通性通法
　　应用集合关系求参数的4个步骤
【跟踪训练】
1.若[－1，2） （－∞，k]，则实数k的取值范围是（　　）
A.k≤2　　　　　　　B.k≥－1
C.k＞－1 D.k≥2
2.设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a－b＝　　　　.
1.（2023·上海高考13题）已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x｜x∈P且x Q}，则M＝（　　）
A.{1} B.{2}
C.{1，2} D.{1，2，3}
2.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，m}.若B A，则m等于（　　）
A.0 B.0或1
C.0或2 D.1或2
3.若集合A＝{x｜x＝3k，k∈Z}，B＝{x｜x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是（　　）
A.A B B.A B
C.A B D.B A
4.（多选）已知集合A＝{x｜ax≤4}，B＝{4，}，若B A，则实数a的值可能是（　　）
A.－1　　　B.1 C.－2　　　D.2
5.已知集合A {0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为　　　　.
1.1.2　集合的基本关系
【基础知识·重落实】
知识点一
想一想
1.提示：不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，这两个集合就没有包含关系.
2.提示：（1）“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1 N.
（2）“ ”是表示集合与集合之间的关系，比如N R，{1，2，3} {3，2，1}.
（3）“∈”的左边是元素，右边是集合，而“ ”的两边均为集合.
知识点二
1.（2） 　2.（1）内部　（2）②封闭曲线　内部
想一想
1.提示：任何集合A不可能是其本身的真子集.
2.提示：空集是任何非空集合的真子集.
3.提示：（1）“ ”和“ ”均表示集合与集合之间的关系.
（2）“ ”表示子集关系，“ ”表示真子集关系.
（3）若A B，则A B.但是，若A B，则A B不一定成立.
知识点三
A B　B A　A B　B A
自我诊断
1.ACD　由子集的概念知A、C、D表述正确；因为0 {1，2}，所以{0} {1，2}.
2.C　集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P.
3.M和N　解析：M为方程（x－1）（x＋2）＝0的解集，故M＝{1，－2}，P表示点集，M，N都为数集，且元素完全相同.故填M和N.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
（2）集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.
（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.
（5）A＝{x｜x＝a2＋1，a∈R}＝{x｜x≥1}，B＝{x｜x＝（a－2）2＋1，a∈R}＝{x｜x≥1}，所以A＝B.
跟踪训练
1.C　A选项中集合A中的元素为无理数，而B中的元素为有理数，故A≠B；
B选项中集合A中的元素为实数，而B中的元素为有序数对，故A≠B；
C选项中因为｜－｜＝，则集合A＝{1，，π}，B＝{π，1，}，故A＝B；
D选项中集合A中的元素为0，1，而B中的元素为1，故A≠B.故选C.
2.M N　解析：因为M＝
＝，
N＝＝，
若x∈M，则x＝＝，
因为k∈Z，所以2k－1∈Z，所以x∈N，所以M N，
又因为0∈N，0 M，所以M N.
【例2】　（1）B　（2）7　解析：（1）集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为 ，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.
（2）由{1，2} M {1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}.
故满足题意的集合M共有7个.
跟踪训练
1.D　由题意得集合{x∈N｜－4＜x－1＜4，x≠1}＝{0，2，3，4}，则该集合的非空真子集个数为24－2＝14个.故选D.
2.4　解析：因为集合A＝{x｜x2－3x＝0}＝{0，3}，B＝{0，1，2，3}，因为A M B，故M有元素0，3，且可能有元素1或2，所以M＝{0，3}或M＝{0，1，3}或M＝{0，2，3}或M＝{0，1，2，3}，故满足A M B的集合M的个数为4.
【例3】　解：∵A＝B，∴或
当时，消去b得ac2＋a－2ac＝0.
若a＝0，则a＝ac＝ac2＝0，不满足集合中元素的互异性，
∴a≠0，∴c2－2c＋1＝0，∴c＝1，此时a＝ac＝ac2＝a，不满足集合中元素的互异性，舍去.
当时，消去b得2ac2－ac－a＝0.
∵a≠0，∴2c2－c－1＝0.
而c≠1，∴c＝－.
将c＝－代入得b＝－a.
从而可得A＝，B＝，满足题意.
故c的值为－.
【例4】　解：①当B≠ 时，如图所示.
∵B A
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
②当B＝ 时，由m＋1＞2m－1，得m＜2，此时B A.
综上可得，m的取值范围是（－∞，3].
母题探究
1.解：当B＝ 时，m＋1＞2m－1，即m＜2.
当B≠ 时，解得
即2≤m≤3.
综上可知，m的取值范围为（－∞，3].
2.解：∵A B.
∴或
即或
∴m∈ ，即不存在m使A B.
跟踪训练
1.D　
由于[－1，2） （－∞，k]，如图，所以k≥2.故选D.
2.－2　解析：因为{1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0，所以a＋b＝0，所以＝{0，－1，b}.由已知{1，a＋b，a}＝，得{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2.
随堂检测
1.A　集合M由在P中且不在Q中的元素构成，则M＝{1}.故选A.
2.C　因为A＝{0，1，2}，B＝{1，m}，且B A，所以m＝0或2.故选C.
3.D　依题意，集合A的元素是3的倍数，集合B的元素是6的倍数，所以集合B是集合A的真子集.故选D.
4.ABC　因为B A，所以4∈A，∈A，则解得a≤1.故选A、B、C.
5.6　解析：集合{0，1，2}的子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个.
5 / 5(共71张PPT)
1.1.2　集合的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义 数学抽象
2.能识别给定集合的子集 数学抽象
3.了解空集与其他集合的关系 数学抽象
4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对
理解抽象概念的作用 数学抽象、直观
想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　所有中国公民构成的集合为 B ，北京市的中国公民构成的集合为
A .
（2）集合 A 与集合 B 有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【问题】　（1）集合 A 中元素与集合 B 中元素存在怎样的关系？
知识点一　子集
1. 概念：一般地，如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那
么集合 A 称为集合 B 的子集.记作 A B （或 B A ），读作“ A 包含
于 B ”（或“ B 包含 A ”）.
2. 如果 A 不是 B 的子集，记作 A B （或 B A ），读作“ A 不包含于
B ”（或“ B 不包含 A ”）.
3. 性质： A A ； A .
【想一想】
1. 任意两个集合之间是否有包含关系？
提示：不一定，如集合 A ＝{1，3}， B ＝{2，3}，这两个集合就没
有包含关系.
2. 符号“∈”与“ ”有什么区别？
提示：（1）“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－
1 N.
（2）“ ”是表示集合与集合之间的关系，比如N R，{1，2，
3} {3，2，1}.
（3）“∈”的左边是元素，右边是集合，而“ ”的两边均为
集合.
知识点二　真子集
1. 真子集的有关概念与性质
（1）概念：一般地，如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有
一个元素不属于 A ，那么集合 A 称为集合 B 的真子集，记作 A
B （或 B A ），读作“ A 真包含于 B ”（或“ B 真包含
A ”）；
（2）性质：对于集合 A ， B ， C ，①如果 A B ， B C ，则 A
C ；②如果 A B ， B C ，则 A C .
　
（1）概念：如果用平面上一条封闭曲线的 来表示集合，
这种示意图通常称为维恩图；
（2）维恩图的优点及其表示
①优点：形象直观；
②表示：通常用 的 代表集合.
内部　
封闭曲线　
内部　
2. 维恩图
【想一想】
1. 任何集合 A 是其本身的真子集吗？
提示：任何集合 A 不可能是其本身的真子集.
2. 空集是任何集合的真子集吗？
提示：空集是任何非空集合的真子集.
3. 你认为“ ”和“ ”有什么区别和联系？
提示：（1）“ ”和“ ”均表示集合与集合之间的关系.
（2）“ ”表示子集关系，“ ”表示真子集关系.
（3）若 A B ，则 A B . 但是，若 A B ，则 A B 不一定成立.
知识点三　集合的相等与子集的关系
性质：由集合相等的定义可知：如果 且 ，则 A ＝
B ；反之，如果 A ＝ B ，则 且 .
A B 　
B A 　
A B 　
B A 　
1. （多选）下列表述正确的是（　　）
A. {1} {1，2} B. {0} {1，2}
C. {1，2} {2} D. {1，2} {2，1}
解析：　由子集的概念知A、C、D表述正确；因为0 {1，2}，
所以{0} {1，2}.
2. 已知集合 P ＝{－1，0，1，2}， Q ＝{－1，0，1}，则（　　）
A. P ∈ Q B. P Q
C. Q P D. Q ∈ P
解析：　集合 Q 中的元素都在集合 P 中，所以 Q P .
3. 若 M ＝{ x ｜（ x －1）（ x ＋2）＝0}， N ＝{1，－2}， P ＝
{（ x ， y ）｜ y ＝（ x －1）（ x ＋2）}，则这三个集合中，具
有相等关系的是 .
解析： M 为方程（ x －1）（ x ＋2）＝0的解集，故 M ＝{1，－2}，
P 表示点集， M ， N 都为数集，且元素完全相同.故填 M 和 N .
M 和 N
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合间关系的判断
【例1】　（链接教科书第13页例3）指出下列各对集合之间的关系：
（1） A ＝{－1，1}， B ＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－
1），（1，1）}；
解：集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实
数对，故 A 与 B 之间无包含关系.
（2） A ＝{ x ｜－1＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x －5＜0}；
解：集合 B ＝{ x ｜ x ＜5}，用数
轴表示集合 A ， B 如图所示，由图可
知 A B .
（3） A ＝{ x ｜ x 是等边三角形}， B ＝{ x ｜ x 是等腰三角形}；
解：等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边
相等的三角形，故 A B .
（4） M ＝{ x ｜ x ＝2 n －1， n ∈N*}， N ＝{ x ｜ x ＝2 n ＋1， n ∈N*}；
解：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于 n ∈N*，因此集合 M 含有元素“1”，而集合 N 不含元素“1”，故 N M .
（5） A ＝{ x ｜ x ＝ a2＋1， a ∈R}， B ＝{ x ｜ x ＝ a2－4 a ＋5， a ∈R}.
解：A ＝{ x ｜ x ＝ a2＋1， a ∈R}＝{ x ｜ x ≥1}， B ＝{ x ｜
x ＝（ a －2）2＋1， a ∈R}＝{ x ｜ x ≥1}，所以 A ＝ B .
通性通法
1. 判断集合间关系的常用方法
2. 已知集合相等求参数的方法
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系.首先
分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种
情况，然后通过列方程或方程组求解.当集合中未知元素不止一
个时，往往要分类讨论.求出参数值后要注意检验是否满足集合
中元素的互异性.
【跟踪训练】
1. 下列各组两个集合 A 和 B 表示同一集合的是（　　）
A. A ＝{π}， B ＝{3.14}
B. A ＝{2，3}， B ＝{（2，3）}
C. A ＝{1， ，π}， B ＝{π，1，｜－ ｜}
D. A ＝{ x ｜－1＜ x ≤1， x ∈N}， B ＝{1}
解析：　A选项中集合 A 中的元素为无理数，而 B 中的元素为有理
数，故 A ≠ B ；B选项中集合 A 中的元素为实数，而 B 中的元素为有
序数对，故 A ≠ B ；C选项中因为｜－ ｜＝ ，则集合 A ＝{1，
，π}， B ＝{π，1， }，故 A ＝ B ；D选项中集合 A 中的元素为
0，1，而 B 中的元素为1，故 A ≠ B . 故选C.
2. 若集合 M ＝ ， N ＝{ x ｜ x ＝ ＋ ， k ∈Z}，
则集合 M ， N 之间的关系是 .
解析：因为 M ＝
＝ ，
N ＝
＝ ，
若 x ∈ M ，则 x ＝ ＝ ，
M N 　
因为 k ∈Z，所以2 k －1∈Z，
所以 x ∈ N ，所以 M N ，
又因为0∈ N ，0 M ，所以 M N .
题型二 确定有限集合的子集、真子集及其个数
【例2】　（链接教科书第11页例1）（1）集合 M ＝{1，2，3}的真子
集个数是（　B　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析：集合 M 的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，
含有0个为 ，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3
个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.
（2）满足{1，2} M {1，2，3，4，5}的集合 M 有 个.
解析：由{1，2} M {1，2，3，4，5}，可以确定集合 M 必含
有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此集合 M 的
元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，
5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}.
故满足题意的集合 M 共有7个.
7
通性通法
1. 求集合子集、真子集个数的3个步骤
2. 与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合 A 中含有 n 个元素，则有：
（1） A 的子集的个数为2 n 个；
（2） A 的真子集的个数为2 n －1个；
（3） A 的非空真子集的个数为2 n －2个.
【跟踪训练】
1. 集合{ x ∈N｜－4＜ x －1＜4， x ≠1}的非空真子集的个数为
（　　）
A. 31 B. 30
C. 15 D. 14
解析：　由题意得集合{ x ∈N｜－4＜ x －1＜4， x ≠1}＝{0，2，
3，4}，则该集合的非空真子集个数为24－2＝14个.故选D.
2. 若集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＝0}， B ＝{0，1，2，3}，则满足 A M
B 的集合 M 的个数是 .
解析：因为集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＝0}＝{0，3}， B ＝{0，1，2，
3}，因为 A M B ，故 M 有元素0，3，且可能有元素1或2，所以
M ＝{0，3}或 M ＝{0，1，3}或 M ＝{0，2，3}或 M ＝{0，1，2，
3}，故满足 A M B 的集合 M 的个数为4.
4
题型三 由集合间的关系求参数值（范围）
角度1　由集合相等求参数
【例3】　已知集合 A ＝{ a ， a ＋ b ， a ＋2 b }， B ＝{ a ， ac ， ac2}，
若 A ＝ B ，求 c 的值.
解：∵ A ＝ B ，∴
当时，消去 b 得 ac2＋ a －2 ac ＝0.
若 a ＝0，则 a ＝ ac ＝ ac2＝0，不满足集合中元素的互异性，
∴ a ≠0，∴ c2－2 c ＋1＝0，∴ c ＝1，此时 a ＝ ac ＝ ac2＝ a ，不满足
集合中元素的互异性，舍去.
当时，消去 b 得2 ac2－ ac － a ＝0.
∵ a ≠0，∴2 c2－ c －1＝0.而 c ≠1，∴ c ＝－ .
将 c ＝－得 b ＝－ a .
从而可得 A ＝ ， B ＝ ，满足题意.
故 c 的值为－ .
通性通法
由集合相等求参数的方法
　　解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集
合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的
思想方法呈现所有可能的对应情况即可.另外，需注意检验所求参数的
值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性.
角度2　已知包含关系求参数
【例4】　（链接教科书第11页例2）已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}，
B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，若 B A ，求实数 m 的取值范围.
解：①当 B ≠ 时，如图所示.
∵ B A ∴或
解这两个不等式组，得2≤ m ≤3.
②当 B ＝ 时，由 m ＋1＞2 m －1，得 m ＜2，此时 B A .
综上可得， m 的取值范围是（－∞，3].
【母题探究】
1. （变条件）在本例条件下，若 B A ，求实数 m 的取值范围.
解：当 B ＝ 时， m ＋1＞2 m －1，即 m ＜2.
当 B ≠ 时，
解得即2≤ m ≤3.
综上可知， m 的取值范围为（－∞，3].
2. （变条件）在本例条件下，若 A B ，求实数 m 的取值范围.
解：∵ A B .
∴
即
∴ m ∈ ，即不存在 m 使 A B .
通性通法
应用集合关系求参数的4个步骤
【跟踪训练】
1. 若[－1，2） （－∞， k ]，则实数 k 的取值范围是（　　）
A. k ≤2 B. k ≥－1
C. k ＞－1 D. k ≥2
解析：　由于[－1，2） （－∞， k ]，如图，
所以 k ≥2.故选D.
2. 设 a ， b ∈R，若集合{1， a ＋ b ， a }＝ ，则 a － b ＝ .
解析：因为{1， a ＋ b ， a }中含有元素0， a ≠0，
所以 a ＋ b ＝0，所以 ＝{0，－1， b }.
由已知{1， a ＋ b ， a }＝ ，
得{1，0， a }＝{0，－1， b }，所以 a ＝－1， b ＝1，
所以 a － b ＝－2.
－2
1. （2023·上海高考13题）已知集合 P ＝{1，2}， Q ＝{2，3}，若 M ＝
{ x ｜ x ∈ P 且 x Q }，则 M ＝（　　）
A. {1} B. {2}
C. {1，2} D. {1，2，3}
解析：　集合 M 由在 P 中且不在 Q 中的元素构成，则 M ＝{1}.故
选A.
2. 已知集合 A ＝{0，1，2}， B ＝{1， m }.若 B A ，则 m 等于（　　）
A. 0 B. 0或1
C. 0或2 D. 1或2
解析：　因为 A ＝{0，1，2}， B ＝{1， m }，且 B A ，所以 m ＝
0或2.故选C.
3. 若集合 A ＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝6 k ， k ∈Z}，则 A
与 B 之间最适合的关系是（　　）
A. A B B. A B
C. A B D. B A
解析：　依题意，集合 A 的元素是3的倍数，集合 B 的元素是6的
倍数，所以集合 B 是集合 A 的真子集.故选D.
4. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ ax ≤4}， B ＝{4， }，若 B A ，则
实数 a 的值可能是（　　）
A. －1 B. 1
C. －2 D. 2
解析：　因为 B A ，所以4∈ A ， ∈ A ，则解
得 a ≤1.故选A、B、C.
5. 已知集合 A {0，1，2}，且集合 A 中至少含有一个偶数，则这样的
集合 A 的个数为 .
解析：集合{0，1，2}的子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，
{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个.
6
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 能正确表示集合 M ＝{ x ∈R｜0≤ x ≤2}和集合 N ＝{ x ∈R｜ x2－ x
＝0}关系的维恩图是（　　）
解析：　解 x2－ x ＝0得 x ＝1或 x ＝0，故 N ＝{0，1}，易得 N
M ，其对应的维恩图如选项B所示.
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2. 已知集合 A ＝{－1，0，1}，则含有元素0的 A 的子集的个数为
（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析：　根据题意，含有元素0的 A 的子集为{0}，{0，1}，{0，
－1}，{－1，0，1}，共4个.
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3. 下列各式中：①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2} {2，1，0}；③
{0，1，2}；④ ＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}.正
确的个数是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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解析：　①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合
中元素完全相同，它们为同一集合，则{0，1，2} {2，1，0}，正
确；③空集是任意集合的子集，故 {0，1，2}，正确；④空集
没有任何元素，故 ≠{0}，错误；⑤两个集合所研究的对象不
同，故{0，1}，{（0，1）}为不同集合，错误；⑥元素与集合之间
只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选B.
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4. 设集合 M ＝{ x ∈Z｜｜ x －1｜＜2}， N ＝{ y ∈N｜ y ＝－ x2＋2 x ＋
1， x ∈R}，则（　　）
A. N ∈ M B. M N
C. N M D. M ＝ N
解析：　根据题意， M ＝{ x ∈Z｜－1＜ x ＜3}＝{0，1，2}，
N ＝{ y ∈N｜ y ＝－（ x －1）2＋2}＝{ y ∈N｜ y ≤2}＝{0，1，2}，
M ＝ N ，选项D正确.故选D.
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5. （多选）下列集合中，与{1，2}相等的是（　　）
A. { ，（－2）0}
B. { x ∈N｜｜ x ｜≤2}
C. { x ｜ x2－3 x ＋2＝0}
D.
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解析：　A，{ ，（－2）0}＝{1，2}，可选；
B，{ x ∈N｜｜ x ｜≤2}＝{0，1，2}，与{1，2}不相等，不选；
C，{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0}＝{1，2}，可选；
D，＝{（1，2）}，与{1，2}不相等，不选.故
选A、C.
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6. 已知集合 A ＝{－1，3， m }， B ＝{3，4}，若 B A ，则实数 m
＝ .
解析：∵ B A ，∴元素3，4必为 A 中元素，∴ m ＝4.
4　
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7. 若 a ∈R，集合 A ＝{1， a ， a ＋2}， B ＝{1，3，5}，且 A ＝ B ，则
a ＝ .
解析：∵ A ＝ B ，∴解得 a ＝3，或无解，
所以 a ＝3.
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8. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2＝1}， B ＝{ x ｜ ax －1＝0}，若 B A ，则实
数 a ＝ .
解析：根据题意知， A ＝{－1，1}，∵ B A ，∴① B ＝ 时，
a ＝0；
② B ≠ 时， B ＝ ＝1或 ＝－1，解得 a ＝1或 a
＝－1.
0，1或－1　
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9. 设集合 A ＝{ x ｜－1≤ x ＋1≤6}， B ＝{ x ｜ m －1＜ x ＜2 m ＋1}.
（1）当 x ∈Z时，求 A 的非空真子集的个数；
解：化简集合 A ，得 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}.
∵ x ∈Z，∴ A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
即 A 中含有8个元素，
∴ A 的非空真子集数为28－2＝254（个）.
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（2）若 A B ，求 m 的取值范围.
解：①当 m －1≥2 m ＋1，即 m ≤－2时， B ＝ A ；
②当 m ＞－2时， B ＝{ x ｜ m －1＜ x ＜2 m ＋1}，
因此，若要 B A ，则只要 －1≤ m ≤2.
综上所述， m 的取值范围是{ m ｜－1≤ m ≤2，或 m ≤－2}.
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10. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0， x ∈R}， B ＝{ x ｜0＜ x ＜5， x
∈N}，则满足条件 A C B 的集合 C 的个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由题得 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0， x ∈R}＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）＝0， x ∈R}＝{1，2}，
易知 B ＝{ x ｜0＜ x ＜5， x ∈N}＝{1，2，3，4}.
因为 A C B ，所以集合 C ＝{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.
故选C.
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11. 若 x ∈ A ，且 ∈ A ，则称 A 为“影子关系”集合.在集合 M ＝ 的所有非空子集中，为“影子关系”集合的
有（　　）
A. 3个 B. 4个
C. 7个 D. 8个
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解析：　由“影子关系”集合定义可知，集合 M ＝ 中，为影子关系的集合有 M1＝{1}， M2＝
， M3＝ ， M4＝ ， M5＝ ， M6
＝ ， M7＝ .故选C.
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12. 已知集合 A ＝{ x ｜｜ x － a ｜＝4}，集合 B ＝{1，2， b }.
（1）是否存在实数 a ，使得对于任意实数 b 都有 A B ？若存在，
求出对应的 a 值；若不存在，说明理由；
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解：对于任意实数 b 都有 A B ，当且仅当集合 A 中的
元素为1，2时成立.
∵ A ＝{ a －4， a ＋4}，
∴
解方程组可知无解.
∴不存在实数 a ，使得对于任意实数 b 都有 A B .
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（2）若 A B 成立，求出对应的实数对（ a ， b ）.
解：由（1）易知，若 A B ，
则解得则所求实数对为（5，9）或（6，10）或（－3，－7）或（－2，－6）.
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13. 设集合 U ＝{2，3，5，6，9}，对其子集引进“势”的概念：①空
集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若
两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的
“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的
“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺
序排列，则排在第23位的子集是 .
{3，5，9}　
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解析：不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数
有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个
数有10个，因为1＋5＋10＋10＝26＞23，故排在第23位的子集在
含有3个元素的子集中，第26位的子集为{5，6，9}，第25位的子
集为{3，6，9}，第24位的子集为{2，6，9}，第23位的子集为
{3，5，9}.
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14. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；
若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成
“偏食”.设4∈ ，则满足条件的所有 a 组成的集合
为 A ，集合 B ＝ .
（1）求集合 A ；
解：由题意可知， ＝｜ a ｜≠－ a ，故 a ＞0，
所以， ＝4或 a2＝4，
解得 a ＝4或 a ＝2，
故 A ＝{4，2}.
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（2）若 A ， B 两个集合可以构成“全食”或“偏食”，求实数 b
的值.
解：当 b ＝0时， B ＝ ，则满足 B 是 A 的真子集，此时
A 与 B 构成“全食”；
当 b ＞0时， B ＝ ，此时 A 与 B 无法构成“全食”，可
构成“偏食”，则 ＝4或 ＝2，
解得 b ＝1或 b ＝2.
故 b 的值为0或1或2.
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