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1.1.3　集合的基本运算
第一课时　交集与并集
1.（2021·天津高考1题）设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（　　）
A.{0} B.{0，1，3，5}
C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
2.已知集合A＝{x｜－3＜x≤2}，B＝{x｜－2＜x≤3}，则A∪B＝（　　）
A.（－3，3] B.（－3，3）
C.（－3，2] D.（－2，2]
3.已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A.2 B.3
C.4 D.6
4.（2021·全国乙卷2题）已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（　　）
A. B.S
C.T D.Z
5.（多选）设集合A＝{x｜x2－7x＋12＝0}，B＝{x｜ax－1＝0}，若A∪B＝A，则实数a的值可以为（　　）
A. B.0
C.3 D.
6.设集合A＝{x∈N｜0＜x＜4}，B＝{2，3，4}，若集合M满足M （A∩B），则集合M的个数有　　　　个.
7.已知集合A＝{a，1，2b}，B＝{a2，b，a＋b}，若0∈A∩B，则b＝　　　　.
8.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店：
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有　　　　种；
（2）这三天售出的商品最少有　　　　种.
9.已知集合A＝（－3，4]，集合B＝[k＋1，2k－1].
（1）若A∪B＝A，求k的取值范围；
（2）若A∩B＝A，求k的取值范围.
10.设集合A＝{x｜2a＜x＜a＋2}，B＝{x｜x＜－3或x＞5}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
11.若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N*}，Q＝{x｜x＝5n＋2，n∈N*}，则P∩Q＝（　　）
A.{x｜x＝15k＋7，k∈N*}
B.{x｜x＝15k－7，k∈N*}
C.{x｜x＝15k＋8，k∈N*}
D.{x｜x＝15k－8，k∈N*}
12.已知集合A＝{－2，0，3}，M＝{x｜x2＋（a＋1）x－6＝0}，N＝{y｜y2＋2y－b＝0}，若M∪N＝A，求实数a，b的值.
13.设集合A＝，B＝{x｜n－≤x≤n}，且A，B都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x｜a≤x≤b}的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是　　　　.
14.在①A∩B＝{3}；②A∩B＝{6}；③A∩B＝{3，6}，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合B存在，求a的值；若问题中的集合B不存在，说明理由.
问题：是否存在集合B，使得A＝{1，3，a2＋3a－4}，B＝{0，6，a2＋4a－2，a＋3}，且　　　　？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第一课时　交集与并集
1.C　由A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}得A∩B＝{1}，所以（A∩B）∪C＝{1}∪{0，2，4}＝{0，1，2，4}，故选C.
2.A　在数轴上表示出集合A，B，如图：则A∪B＝（－3，3]，故选A.
3.C　由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.
4.C　法一（通解）　在集合T中，令n＝k（k∈Z），则t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T S，所以T∩S＝T，故选C.
法二（优解）　S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T S，所以T∩S＝T，故选C.
5.ABD　由A∪B＝A，得B A，又A＝{x｜x2－7x＋12＝0}＝{3，4}，
当B＝ ，即a＝0时，B A成立；
当B≠ 时，B＝{3}，a＝，或B＝{4}，a＝，故选A、B、D.
6.4　解析：由题意A∩B＝{2，3}，其子集有4个，即M有4个.
7.0　解析：若0∈A∩B时，由a＋b≠b可知a≠0，必有b＝0.
8.（1）16　（2）29　解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示.
由图可知：（1）第一天售出但第二天未售出的商品有19－（3－x）－x＝16（种）.
（2）这三天售出的商品有（16－y）＋y＋x＋（3－x）＋（6＋x）＋（4－x）＋（14－y）＝43－y（种）.
由于所以0≤y≤14.
所以（43－y）min＝43－14＝29.
9.解：（1）∵A∪B＝A，∴B A，
①当B＝ 时，k＋1≥2k－1，∴k≤2.
②当B≠ 时，则根据题意如图所示：
根据数轴可得解得2＜k≤.
综合①②可得k的取值范围为.
（2）∵A∩B＝A，∴A B.
又A＝{x｜－3＜x≤4}，B＝{x｜k＋1≤x≤2k－1}，可知B≠ .
由数轴可知
解得k∈ ，即当A∩B＝A时，k不存在.
10.A　因为集合A＝{x｜2a＜x＜a＋2}，
若A＝ ，有2a≥a＋2，解得a≥2，此时A∩B＝ ，于是得a≥2，
若A≠ ，因为集合B＝{x｜x＜－3或x＞5}，则由A∩B＝ 得：解得－≤a＜2，
综上得：a≥－，所以实数a的取值范围为.故选A.
11.D　依题意，当m∈N*，n∈N*时，3m＋1∈P，5n＋2∈Q，如果它们是相同元素，则当m∈N*，n∈N*时，3m＋1＝5n＋2，即m＝＝＋2，于是得n－1是3的整数倍，令n－1＝3（k－1），k∈N*，则n＝3k－2，k∈N*，此时，m＝5k－3，k∈N*，因此，集合P，Q的公共元素是15k－8，k∈N*，所以P∩Q＝{x｜x＝15k－8，k∈N*}.故选D.
12.解：因为A＝{－2，0，3}，0 M且M∪N＝A，
所以0∈N.
将y＝0代入方程y2＋2y－b＝0，解得b＝0.
由此可得N＝{y｜y2＋2y＝0}＝{0，－2}.
因为3 N且M∪N＝A，所以3∈M.
将x＝3代入方程x2＋（a＋1）x－6＝0，解得a＝－2.
此时M＝{x｜x2－x－6＝0}＝{－2，3}，满足M∪N＝A，
所以a＝－2，b＝0.
13.　解析：由题可知，A的长度为，B的长度为， A，B都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，
当A∩B的长度取最小值时，m与n应分别在区间[0，1]的左右两端，
即m＝0，n＝1，则A＝，B＝，
故此时A∩B＝的长度的最小值是：－＝.
14.解：选择条件①：
∵A∩B＝{3}，∴a2＋4a－2＝3或a＋3＝3.
若a2＋4a－2＝3，解得a＝1或－5；
当a＝1时，A＝{1，3，0}，B＝{0，6，3，4}，则A∩B＝{0，3}≠{3}舍去；
当a＝－5时，A＝{1，3，6}，B＝{0，6，3，－2}，则A∩B＝{3，6}≠{3}舍去；
若a＋3＝3，即a＝0，此时A＝{1，3，－4}，B＝{0，6，－2，3}，∴A∩B＝{3}符合题意；
综上所述当A∩B＝{3}时，集合B存在，此时a＝0.
选择条件②：
∵A∩B＝{6}，∴a2＋3a－4＝6，解得a＝2或－5；
当a＝2时，B＝{0，6，10，5}，则A∩B＝{6}符合题意；
当a＝－5时，B＝{0，6，3，－2}，则A∩B＝{3，6}≠{6}舍去；
故当A∩B＝{6}时，集合B存在，此时a＝2.
选择条件③：
∵A∩B＝{3，6}，∴a2＋3a－4＝6，解得a＝2或－5
当a＝2时，B＝{0，6，10，5}，则A∩B＝{6}≠{3，6}舍去；
当a＝－5时B＝{0，6，3，－2}，则A∩B＝{3，6}符合题意；
故当A∩B＝{3，6}时，集合B存在，此时a＝－5.
2 / 21.1.3　集合的基本运算
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 数学抽象、数学运算
2.在具体情境中，了解全集的含义 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、数学运算
4.能使用维恩图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 直观想象、数学运算
第一课时　交集与并集
　　某班级有两个微信群，文学群成员有：梅、兰、竹、桂、松、柳，他们组成的集合用A表示；数学群成员有：梅、竹、松、枫、杨、桦，他们组成的集合用B表示，若S表示两个群都加入的同学组成的集合.
【问题】　集合S与集合A，B有怎样的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　交集
1.交集的相关概念
2.交集的性质
（1）A∩B＝　　　　；（2）A∩A＝　　　；
（3）A∩ ＝ ∩A＝　　　；（4）A B A∩B＝　　　.
【想一想】
1.当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？
2.若A∩B＝A，则集合A与B有什么关系？
3.若A∩B＝A∩C，则一定有B＝C吗？
知识点二　并集
1.并集的相关概念
2.并集的性质
（1）A∪B＝　　　　；（2）A∪A＝　　　；
（3）A∪ ＝ ∪A＝　　　；（4）A B A∪B＝　　　.
【想一想】
1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
2.若A∪B＝A，则集合A与B有什么关系？
1.已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝（　　）
A.{1}　　　　　　　　 B.{2}
C.{3} D.{1，2，3}
2.已知集合A＝{x｜1≤x＜4}，B＝{x｜0＜x＜3}，则A∪B＝（　　）
A.{x｜0＜x＜1} B.{x｜0＜x＜4}
C.{x｜1≤x＜3} D.{x｜1≤x＜4}
3.已知集合A＝{1，2}，B＝{a，3}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝　　　　.
题型一 交集的运算
【例1】　（链接教科书第16页例1）（1）设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（　　）
A.{1，3，5，7}　　　　 B.{2，3}
C.{2，3，5} D.{1，2，3，5，7，8}
（2）（2021·全国甲卷1题）设集合M＝{x｜0＜x＜4}，N＝，则M∩N＝（　　）
A. B.
C.{x｜4≤x＜5} D.{x｜0＜x≤5}
尝试解答
通性通法
求两个集合的交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.
【跟踪训练】
1.（2023·新高考 Ⅱ 卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（　　）
A.2 B.1
C. D.－1
2.若集合A＝{x｜2x＋1＞0}，B＝（－1，3），则A∩B＝　　　　.
题型二 并集的运算
【例2】　（1）设集合M＝{x｜x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x｜x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝（　　）
A.{0} B.{0，2}
C.{－2，0} D.{－2，0，2}
（2）（2021·北京高考1题）已知集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜0≤x≤2}，则A∪B＝（　　）
A.（－1，2） B.（－1，2]
C.[0，1） D.[0，1]
尝试解答
通性通法
求集合并集的2种基本方法
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
【跟踪训练】
1.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∪B＝（　　）
A.{x｜2＜x≤3} B.{x｜2≤x≤3}
C.{x｜1≤x＜4} D.{x｜1＜x＜4}
2.已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是　　　　.
题型三 由集合的并集、交集求参数
【例3】　（1）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（　　）
A.－4 B.－2
C.2 D.4
（2）已知集合A＝{x｜x≤1}，B＝{x｜x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是　　　　.
尝试解答
通性通法
求集合运算中参数的思路
（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系；
（2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解或解集；
（3）解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点：
①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件；
②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性.
【跟踪训练】
1.（多选）已知集合M＝{1，4，x}，N＝{2，3}，若M∪N＝{1，2，3，4}，则x的可能取值为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知A＝{x｜a＜x≤a＋8}，B＝{x｜x＜－1，或x＞5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为　　　　.
题型四 用维恩图解决实际问题
【例4】　为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
尝试解答
通性通法
用维恩图解决实际问题的步骤
（1）利用维恩图将集合间的关系直观地表示出来，即根据维恩图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言；
（2）通过解方程和限制条件的运用解决问题.
【跟踪训练】
某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　　　　.
1.若集合A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，则A∪B＝（　　）
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{1，2} D.{0}
2.（2021·新高考 Ⅰ 卷1题）设集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
3.设A＝{x｜－3≤x≤3}，B＝{y｜y＝－x2＋t}.若A∩B＝ ，则实数t的取值范围是（　　）
A.t＜－3 B.t≤－3
C.t＞3 D.t≥3
4.（多选）已知集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜ax－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值可能是（　　）
A.2　　　B.－1 C.1　　　D.0
5.已知集合A＝{3，m}，B＝{m，m＋1}，若A∩B＝{4}，则A∪B＝　　　　.
第一课时　交集与并集
【基础知识·重落实】
知识点一
1.A∩B　2.（1）B∩A　（2）A　（3） 　（4）A
想一想
1.提示：有，交集为空集.
2.提示：A B.
3.提示：不一定，如A＝{0}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3}，满足A∩B＝A∩C＝ ，但是B≠C.
知识点二
1.A∪B　2.（1）B∪A　（2）A　（3）A　（4）B
想一想
1.提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.
2.提示：B A.
自我诊断
1.B　因为集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∩B＝{2}.故选B.
2.B　因为集合A＝{x｜1≤x＜4}，B＝{x｜0＜x＜3}，所以A∪B＝{x｜0＜x＜4}.故选B.
3.{1，2，3}　解析：由于A∩B＝{1}，所以a＝1，所以A∪B＝{1，2，3}.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　（2）B　解析：（1）因为集合A，B的公共元素为：2，3，5，
故A∩B＝{2，3，5}.故选C.
（2）M∩N＝.
跟踪训练
1.B　由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.综上所述，a＝1.故选B.
2.　解析：∵A＝，B＝（－1，3），
画出数轴如图所示，
∴A∩B＝.
即A∩B＝.
【例2】　（1）D　（2）B　解析：（1）M＝{x｜x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x｜x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D.
（2）由题意可得：A∪B＝{x｜－1＜x≤2}，即A∪B＝（－1，2].故选B.
跟踪训练
1.C　∵A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，∴A∪B＝{x｜1≤x＜4}，故选C.
2.4　解析：依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个.
【例3】　（1）B　（2）（－∞，1]　解析：（1）易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
（2）
因为A∪B＝R，由数轴可知，表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
跟踪训练
1.BC　由题意，集合M＝{1，4，x}，N＝{2，3}，且M∪N＝{1，2，3，4}，根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得x＝2或x＝3.故选B、C.
2.{a｜－3≤a＜－1}　解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，
则解得－3≤a＜－1.
【例4】　解：如图，不妨设参加计算的人为集合A，参加测量的人为集合B，参加绘图的人为集合C.设3项工作都参加的人数为x.
则测绘队总人数为（10－x）＋（8－x）＋（6－x）＋4＋6＋8＋x＝42－2x，
因为0＜x≤6，所以30≤42－2x＜42，
即测绘队人数最少为30人，此时x＝6.
故这个测绘队至少有30人.
跟踪训练
　12　解析：设喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为x（如图），则x＋（15－x）＋[10－（15－x）]＝30－8 x＝12.
随堂检测
1.A　根据并集的定义可得A∪B＝{0，1，2，3}∪{1，2，4}＝{0，1，2，3，4}.
2.B　因为A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}，故选B.
3.A　B＝{y｜y≤t}，结合数轴可知t＜－3.
4.BCD　∵集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜ax－1＝0}，A∩B＝B，∴B A
当a＝0时，B＝ ，成立；
当a≠0时，B＝，故＝－1或＝1，解得a＝－1或a＝1，
综上a的取值可能是－1，0，1.故选B、C、D.
5.{3，4，5}　解析：因为A∩B＝{4}，所以4∈A，即m＝4，则A＝{3，4}，B＝{4，5}，于是A∪B＝{3，4，5}.
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1.1.3　集合的基本运算
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集
合的并集与交集 数学抽象、数学
运算
2.在具体情境中，了解全集的含义 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求
给定子集的补集 数学抽象、数学
运算
4.能使用维恩图表达集合的基本运算，体会图形对
理解抽象概念的作用 直观想象、数学
运算
第一课时　交集与并集
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　某班级有两个微信群，文学群成员有：梅、兰、竹、桂、松、
柳，他们组成的集合用 A 表示；数学群成员有：梅、竹、松、枫、
杨、桦，他们组成的集合用 B 表示，若 S 表示两个群都加入的同学组
成的集合.
【问题】　集合 S 与集合 A ， B 有怎样的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　交集
1. 交集的相关概念
2. 交集的性质
（1） A ∩ B ＝ ；（2） A ∩ A ＝ ；
（3） A ∩ ＝ ∩ A ＝ ；（4） A B A ∩ B ＝ .
B ∩ A 　
A 　
　
A 　
【想一想】
1. 当集合 A ， B 无公共元素时， A 与 B 有交集吗？
提示：有，交集为空集.
2. 若 A ∩ B ＝ A ，则集合 A 与 B 有什么关系？
提示： A B .
3. 若 A ∩ B ＝ A ∩ C ，则一定有 B ＝ C 吗？
提示：不一定，如 A ＝{0}， B ＝{1，2}， C ＝{1，2，3}，满足 A
∩ B ＝ A ∩ C ＝ ，但是 B ≠ C .
知识点二　并集
1. 并集的相关概念
2. 并集的性质
（1） A ∪ B ＝ ；（2） A ∪ A ＝ ；
（3） A ∪ ＝ ∪ A ＝ ；（4） A B A ∪ B ＝ .
B ∪ A 　
A 　
A 　
B 　
【想一想】
1. 集合 A ∪ B 的元素个数是否等于集合 A 与集合 B 的元素个数之和？
提示：不一定， A ∪ B 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元
素个数之和.
2. 若 A ∪ B ＝ A ，则集合 A 与 B 有什么关系？
提示： B A .
1. 已知集合 A ＝{1，2}， B ＝{2，3}，则 A ∩ B ＝（　　）
A. {1} B. {2}
C. {3} D. {1，2，3}
解析：　因为集合 A ＝{1，2}， B ＝{2，3}，所以 A ∩ B ＝{2}.故
选B.
2. 已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ＜4}， B ＝{ x ｜0＜ x ＜3}，则 A ∪ B ＝
（　　）
A. { x ｜0＜ x ＜1}
B. { x ｜0＜ x ＜4}
C. { x ｜1≤ x ＜3}
D. { x ｜1≤ x ＜4}
解析：　因为集合 A ＝{ x ｜1≤ x ＜4}， B ＝{ x ｜0＜ x ＜3}，所以
A ∪ B ＝{ x ｜0＜ x ＜4}.故选B.
3. 已知集合 A ＝{1，2}， B ＝{ a ，3}，若 A ∩ B ＝{1}，则 A ∪ B
＝ .
解析：由于 A ∩ B ＝{1}，所以 a ＝1，所以 A ∪ B ＝{1，2，3}.
{1，2，3}　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 交集的运算
【例1】　（链接教科书第16页例1）（1）设集合 A ＝{2，3，5，7}，
B ＝{1，2，3，5，8}，则 A ∩ B ＝（　C　）
A. {1，3，5，7} B. {2，3}
C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8}
解析：因为集合 A ， B 的公共元素为：2，3，5，
故 A ∩ B ＝{2，3，5}.故选C.
（2）（2021·全国甲卷1题）设集合 M ＝{ x ｜0＜ x ＜4}， N ＝ ，则 M ∩ N ＝（　B　）
A. B.
C. { x ｜4≤ x ＜5} D. { x ｜0＜ x ≤5}
解析： M ∩ N ＝ .
通性通法
求两个集合的交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即
可；
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的
交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要
注意端点值的取舍.
【跟踪训练】
1. （2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2 a
－2}，若 A B ，则 a ＝（　　）
A. 2 B. 1
C. D. －1
解析：　由题意，得0∈ B . 又 B ＝{1， a －2，2 a －2}，所以 a －2
＝0或2 a －2＝0.当 a －2＝0时， a ＝2，此时 A ＝{0，－2}， B ＝
{1，0，2}，不满足 A B ，舍去.当2 a －2＝0时， a ＝1，此时 A ＝
{0，－1}， B ＝{1，－1，0}，满足 A B . 综上所述， a ＝1.故选B.
2. 若集合 A ＝{ x ｜2 x ＋1＞0}， B ＝（－1，3），则 A ∩ B
＝ .
解析：∵ A ＝ ，
B ＝（－1，3），画出数轴如图所示，
∴ A ∩ B ＝ .即 A ∩ B ＝ .
　
题型二 并集的运算
【例2】　（1）设集合 M ＝{ x ｜ x2＋2 x ＝0， x ∈R}， N ＝{ x ｜ x2－2
x ＝0， x ∈R}，则 M ∪ N ＝（　D　）
A. {0} B. {0，2}
C. {－2，0} D. {－2，0，2}
解析： M ＝{ x ｜ x2＋2 x ＝0， x ∈R}＝{0，－2}， N ＝{ x ｜ x2－2 x ＝
0， x ∈R}＝{0，2}，故 M ∪ N ＝{－2，0，2}，故选D.
（2）（2021·北京高考1题）已知集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜1}， B ＝
{ x ｜0≤ x ≤2}，则 A ∪ B ＝（　B　）
A. （－1，2） B. （－1，2]
C. [0，1） D. [0，1]
解析：由题意可得： A ∪ B ＝{ x ｜－1＜ x ≤2}，即 A ∪ B ＝（－
1，2].故选B.
通性通法
求集合并集的2种基本方法
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义
求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则
可以借助数轴分析法求解.
【跟踪训练】
1. 设集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜4}，则 A ∪ B ＝
（　　）
A. { x ｜2＜ x ≤3} B. { x ｜2≤ x ≤3}
C. { x ｜1≤ x ＜4} D. { x ｜1＜ x ＜4}
解析：　∵ A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜4}，∴ A ∪ B ＝
{ x ｜1≤ x ＜4}，故选C.
2. 已知集合 M ＝{0，1}，则满足 M ∪ N ＝{0，1，2}的集合 N 的个数
是 .
解析：依题意，可知满足 M ∪ N ＝{0，1，2}的集合 N 有{2}，{0，
2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个.
4
题型三 由集合的并集、交集求参数
【例3】　（1）设集合 A ＝{ x ｜ x2－4≤0}， B ＝{ x ｜2 x ＋ a ≤0}，
且 A ∩ B ＝{ x ｜－2≤ x ≤1}，则 a ＝（　B　）
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
解析：易知 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤2}， B ＝{ x ｜ x ≤－ }，因为 A ∩ B ＝
{ x ｜－2≤ x ≤1}，所以－ ＝1，解得 a ＝－2.故选B.
（2）已知集合 A ＝{ x ｜ x ≤1}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，且 A ∪ B ＝R，则
实数 a 的取值范围是 .
解析：因为 A ∪ B ＝R，由数轴可知，表示实数 a 的点必须与表
示1的点重合或在表示1的点的左边，所以 a ≤1.
（－∞，1]　
通性通法
求集合运算中参数的思路
（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元
素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关
系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的
关系；
（2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解
或解集；
（3）解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围.解题
时，需注意两点：
①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异
性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件；
②对于涉及 A ∪ B ＝ A 或 A ∩ B ＝ B 的问题，可利用集合的运算
性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性.
【跟踪训练】
1. （多选）已知集合 M ＝{1，4， x }， N ＝{2，3}，若 M ∪ N ＝{1，
2，3，4}，则 x 的可能取值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由题意，集合 M ＝{1，4， x }， N ＝{2，3}，且 M ∪ N
＝{1，2，3，4}，根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定
义，可得 x ＝2或 x ＝3.故选B、C.
2. 已知 A ＝{ x ｜ a ＜ x ≤ a ＋8}， B ＝{ x ｜ x ＜－1，或 x ＞5}，若 A ∪
B ＝R，则 a 的取值范围为 .
解析：由题意 A ∪ B ＝R，在数轴上表示
出 A ， B ，如图所示，
则解得－3≤ a ＜－1.
{ a ｜－3≤ a ＜－1}　
题型四 用维恩图解决实际问题
【例4】　为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测
绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测绘队的成
员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人
既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另
有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
解：如图，不妨设参加计算的人为集合 A ，参加测
量的人为集合 B ，参加绘图的人为集合 C . 设3项工
作都参加的人数为 x .则测绘队总人数为（10－ x ）
＋（8－ x ）＋（6－ x ）＋4＋6＋8＋ x ＝42－2 x ，
因为0＜ x ≤6，所以30≤42－2 x ＜42，即测绘队人
数最少为30人，此时 x ＝6.故这个测绘队至少有30人.
通性通法
用维恩图解决实际问题的步骤
（1）利用维恩图将集合间的关系直观地表示出来，即根据维恩图逐
一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言；
（2）通过解方程和限制条件的运用解决问题.
【跟踪训练】
某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对
这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数
为 .
解析：设喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的
人数为 x （如图），则 x ＋（15－ x ）＋[10－
（15－ x ）]＝30－8 x ＝12.
12
1. 若集合 A ＝{0，1，2，3}， B ＝{1，2，4}，则 A ∪ B ＝（　　）
A. {0，1，2，3，4} B. {1，2，3，4}
C. {1，2} D. {0}
解析：　根据并集的定义可得 A ∪ B ＝{0，1，2，3}∪{1，2，4}
＝{0，1，2，3，4}.
2. （2021·新高考 Ⅰ 卷1题）设集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{2，3，
4，5}，则 A ∩ B ＝（　　）
A. {2} B. {2，3}
C. {3，4} D. {2，3，4}
解析：　因为 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{2，3，4，5}，所以 A
∩ B ＝{2，3}，故选B.
3. 设 A ＝{ x ｜－3≤ x ≤3}， B ＝{ y ｜ y ＝－ x2＋ t }.若 A ∩ B ＝ ，则
实数 t 的取值范围是（　　）
A. t ＜－3 B. t ≤－3
C. t ＞3 D. t ≥3
解析：　 B ＝{ y ｜ y ≤ t }，结合数轴可知 t ＜－3.
4. （多选）已知集合 A ＝{－1，1}，集合 B ＝{ x ｜ ax －1＝0}，若 A
∩ B ＝ B ，则 a 的取值可能是（　　）
A. 2 B. －1
C. 1 D. 0
解析：　∵集合 A ＝{－1，1}，集合 B ＝{ x ｜ ax －1＝0}， A
∩ B ＝ B ，∴ B A ，当 a ＝0时， B ＝ ，成立；当 a ≠0时， B ＝
＝－1或 ＝1，解得 a ＝－1或 a ＝1，
综上 a 的取值可能是－1，0，1.故选B、C、D.
5. 已知集合 A ＝{3， m }， B ＝{ m ， m ＋1}，若 A ∩ B ＝{4}，则 A ∪
B ＝ .
解析：因为 A ∩ B ＝{4}，所以4∈ A ，即 m ＝4，则 A ＝{3，4}， B
＝{4，5}，于是 A ∪ B ＝{3，4，5}.
{3，4，5}　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2021·天津高考1题）设集合 A ＝{－1，0，1}， B ＝{1，3，5}， C
＝{0，2，4}，则（ A ∩ B ）∪ C ＝（　　）
A. {0} B. {0，1，3，5}
C. {0，1，2，4} D. {0，2，3，4}
解析：　由 A ＝{－1，0，1}， B ＝{1，3，5}得 A ∩ B ＝{1}，所
以（ A ∩ B ）∪ C ＝{1}∪{0，2，4}＝{0，1，2，4}，故选C.
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2. 已知集合 A ＝{ x ｜－3＜ x ≤2}， B ＝{ x ｜－2＜ x ≤3}，则 A ∪ B ＝
（　　）
A. （－3，3] B. （－3，3）
C. （－3，2] D. （－2，2]
解析：　在数轴上表示出集合 A ， B ，如
图：则 A ∪ B ＝（－3，3]，故选A.
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3. 已知集合 A ＝{（ x ， y ）｜ x ， y ∈N*， y ≥ x }， B ＝{（ x ， y ）｜
x ＋ y ＝8}，则 A ∩ B 中元素的个数为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
解析：　由题意得， A ∩ B ＝{（1，7），（2，6），（3，5），
（4，4）}，所以 A ∩ B 中元素的个数为4，故选C.
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4. （2021·全国乙卷2题）已知集合 S ＝{ s ｜ s ＝2 n ＋1， n ∈Z}， T ＝
{ t ｜ t ＝4 n ＋1， n ∈Z}，则 S ∩ T ＝（　　）
A. B. S
C. T D. Z
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解析：　法一（通解）　在集合 T 中，令 n ＝ k （ k ∈Z），则 t ＝4
n ＋1＝2（2 k ）＋1（ k ∈Z），而集合 S 中， s ＝2 n ＋1（ n ∈Z），
所以必有 T S ，所以 T ∩ S ＝ T ，故选C.
法二（优解）　 S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，
T ＝{…，－3，1，5，…}，
观察可知， T S ，所以 T ∩ S ＝ T ，故选C.
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5. （多选）设集合 A ＝{ x ｜ x2－7 x ＋12＝0}， B ＝{ x ｜ ax －1＝0}，
若 A ∪ B ＝ A ，则实数 a 的值可以为（　　）
A. B. 0
C. 3 D.
解析：　由 A ∪ B ＝ A ，得 B A ，又 A ＝{ x ｜ x2－7 x ＋12＝
0}＝{3，4}，当 B ＝ ，即 a ＝0时， B A 成立；当 B ≠ 时， B
＝{3}， a ＝ ，或 B ＝{4}， a ＝ ，故选A、B、D.
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6. 设集合 A ＝{ x ∈N｜0＜ x ＜4}， B ＝{2，3，4}，若集合 M 满足 M
（ A ∩ B ），则集合 M 的个数有 个.
解析：由题意 A ∩ B ＝{2，3}，其子集有4个，即 M 有4个.
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7. 已知集合 A ＝{ a ，1，2 b }， B ＝{ a2， b ， a ＋ b }，若0∈ A ∩ B ，
则 b ＝ .
解析：若0∈ A ∩ B 时，由 a ＋ b ≠ b 可知 a ≠0，必有 b ＝0.
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8. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商
品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的
商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店：
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有 种；
解析：设三天都售出的商品有 x 种，第一天
售出，第二天未售出，且第三天售出的商
品有 y 种，则三天售出商品的种类关系如图
所示.由图可知：（1）第一天售出但第二天
未售出的商品有19－（3－ x ）－ x ＝16（种）.
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（2）这三天售出的商品最少有 种.
解析：这三天售出的商品有（16－ y ）＋ y ＋ x ＋（3－ x ）＋
（6＋ x ）＋（4－ x ）＋（14－ y ）＝43－ y （种）.由于
所以0≤ y ≤14.
所以（43－ y ）min＝43－14＝29.
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9. 已知集合 A ＝（－3，4]，集合 B ＝[ k ＋1，2 k －1].
（1）若 A ∪ B ＝ A ，求 k 的取值范围；
解：∵ A ∪ B ＝ A ，∴ B A ，
①当 B ＝ 时， k ＋1≥2 k －1，∴ k ≤2.
②当 B ≠ 时，则根据题意如图所示：
根据数轴可得
解得2＜ k ≤ .
综合①②可得 k 的取值范围为 .
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（2）若 A ∩ B ＝ A ，求 k 的取值范围.
解：∵ A ∩ B ＝ A ，∴ A B . 又 A
＝{ x ｜－3＜ x ≤4}， B ＝{ x ｜ k ＋1≤ x
≤2 k －1}，可知 B ≠ .
由数轴可知
解得 k ∈ ，即当 A ∩ B ＝ A 时， k 不存在.
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10. 设集合 A ＝{ x ｜2 a ＜ x ＜ a ＋2}， B ＝{ x ｜ x ＜－3或 x ＞5}，若 A
∩ B ＝ ，则实数 a 的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　因为集合 A ＝{ x ｜2 a ＜ x ＜ a ＋2}，若 A ＝ ，有2 a ≥
a ＋2，解得 a ≥2，此时 A ∩ B ＝ ，于是得 a ≥2，若 A ≠ ，因
为集合 B ＝{ x ｜ x ＜－3或 x ＞5}，则由 A ∩ B ＝ 得：
解得－ ≤ a ＜2，综上得： a ≥－ ，所以实数 a 的
取值范围为 .故选A.
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11. 若集合 P ＝{ x ｜ x ＝3 m ＋1， m ∈N*}， Q ＝{ x ｜ x ＝5 n ＋2， n
∈N*}，则 P ∩ Q ＝（　　）
A. { x ｜ x ＝15 k ＋7， k ∈N*}
B. { x ｜ x ＝15 k －7， k ∈N*}
C. { x ｜ x ＝15 k ＋8， k ∈N*}
D. { x ｜ x ＝15 k －8， k ∈N*}
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解析：　依题意，当 m ∈N*， n ∈N*时，3 m ＋1∈ P ，5 n ＋2∈
Q ，如果它们是相同元素，则当 m ∈N*， n ∈N*时，3 m ＋1＝5 n ＋
2，即 m ＝ ＝ ＋2，于是得 n －1是3的整数倍，令 n －
1＝3（ k －1）， k ∈N*，则 n ＝3 k －2， k ∈N*，此时， m ＝5 k －
3， k ∈N*，因此，集合 P ， Q 的公共元素是15 k －8， k ∈N*，所
以 P ∩ Q ＝{ x ｜ x ＝15 k －8， k ∈N*}.故选D.
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12. 已知集合 A ＝{－2，0，3}， M ＝{ x ｜ x2＋（ a ＋1） x －6＝0}， N
＝{ y ｜ y2＋2 y － b ＝0}，若 M ∪ N ＝ A ，求实数 a ， b 的值.
解：因为 A ＝{－2，0，3}，0 M 且 M ∪ N ＝ A ，
所以0∈ N .
将 y ＝0代入方程 y2＋2 y － b ＝0，
解得 b ＝0.
由此可得 N ＝{ y ｜ y2＋2 y ＝0}＝{0，－2}.
因为3 N 且 M ∪ N ＝ A ，所以3∈ M .
将 x ＝3代入方程 x2＋（ a ＋1） x －6＝0，
解得 a ＝－2.
此时 M ＝{ x ｜ x2－ x －6＝0}＝{－2，3}，满足 M ∪ N ＝ A ，
所以 a ＝－2， b ＝0.
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13. 设集合 A ＝ ， B ＝{ x ｜ n － ≤ x ≤ n }，且
A ， B 都是集合{ x ｜0≤ x ≤1}的子集，如果把 b － a 叫作集合{ x ｜
a ≤ x ≤ b }的“长度”，那么集合 A ∩ B 的“长度”的最小值是
.
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解析：由题可知， A 的长度为 ， B 的长度为 ， A ， B 都是集合
{ x ｜0≤ x ≤1}的子集，当 A ∩ B 的长度取最小值时， m 与 n 应分别
在区间[0，1]的左右两端，即 m ＝0， n ＝1，则 A ＝
， B ＝ ，故此时 A ∩ B ＝{ x ｜ ≤ x ≤ }的长度
的最小值是： － ＝ .
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14. 在① A ∩ B ＝{3}；② A ∩ B ＝{6}；③ A ∩ B ＝{3，6}，这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合 B 存在，求 a
的值；若问题中的集合 B 不存在，说明理由.
问题：是否存在集合 B ，使得 A ＝{1，3， a2＋3 a －4}， B ＝{0，
6， a2＋4 a －2， a ＋3}，且 　　　　？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选择条件①：
∵ A ∩ B ＝{3}，∴ a2＋4 a －2＝3或 a ＋3＝3.
若 a2＋4 a －2＝3，
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解得 a ＝1或－5；
当 a ＝1时， A ＝{1，3，0}， B ＝{0，6，3，4}，则 A ∩ B ＝{0，
3}≠{3}舍去；
当 a ＝－5时， A ＝{1，3，6}， B ＝{0，6，3，－2}，则 A ∩ B ＝
{3，6}≠{3}舍去；
若 a ＋3＝3，即 a ＝0，此时 A ＝{1，3，－4}， B ＝{0，6，－2，
3}，∴ A ∩ B ＝{3}符合题意；
综上所述当 A ∩ B ＝{3}时，集合 B 存在，此时 a ＝0.
选择条件②：
∵ A ∩ B ＝{6}，
∴ a2＋3 a －4＝6，
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解得 a ＝2或－5；
当 a ＝2时， B ＝{0，6，10，5}，则 A ∩ B ＝{6}符合题意；
当 a ＝－5时， B ＝{0，6，3，－2}，则 A ∩ B ＝{3，6}≠{6}
舍去；
故当 A ∩ B ＝{6}时，集合 B 存在，此时 a ＝2.
选择条件③：
∵ A ∩ B ＝{3，6}，∴ a2＋3 a －4＝6，
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解得 a ＝2或－5
当 a ＝2时， B ＝{0，6，10，5}，则 A ∩ B ＝{6}≠{3，6}舍去；
当 a ＝－5时 B ＝{0，6，3，－2}，则 A ∩ B ＝{3，6}符合题意；
故当 A ∩ B ＝{3，6}时，集合 B 存在，此时 a ＝－5.
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