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第二课时　补集及综合应用
1.（2021·新高考Ⅱ卷2题）设集合U＝，A＝，B＝，则A∩（ UB）＝（　　）
A. B.
C. D.
2.已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R｜x＞2}，则下图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A.{0，1} B.{1}
C.{1，2} D.{0，1，2}
3.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，那么集合{2，7}是（　　）
A.A∪B B.A∩B
C. U（A∩B） D. U（A∪B）
4.已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x＞m}，若A∩（ RB）＝ ，则实数m的取值范围为（　　）
A.（－∞，1] B.（－∞，1）
C.[1，＋∞） D.（1，＋∞）
5.（多选）设集合P＝{1，2，3}，Q＝{x｜2≤x≤3}，则下列结论中正确的有（　　）
A.P Q B.（P∩Q）＝P
C.（P∩Q） P D.（ RQ）∩P≠
6.设全集U＝R，集合A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤3}，则（ UA）∪B＝　　　　　.
7.国庆期间，高一某班31名学生去电影院观看了《长津湖》《我和我的父辈》《峰爆》这三部电影.其中有15人观看了《长津湖》，有14人观看了《我和我的父辈》，有11人观看了《峰爆》，没有人同时观看这三部电影，则仅观看了其中一部电影的共有　　　　人.
8.设U＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜x2－（m＋1）x＋m＝0}，若（ UA）∩B＝ ，则实数m＝　　　　　.
9.设A＝{x｜2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x｜x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}.
（1）求a的值及集合A，B；
（2）设全集U＝A∪B，求（ UA）∪（ UB）；
（3）写出（ UA）∪（ UB）的所有子集.
10.已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠ .设集合（ UA）∩（ UB）中有x个元素，则x的取值范围是（　　）
A.{x｜3≤x≤8，x∈N}
B.{x｜2≤x≤8，x∈N}
C.{x｜8≤x≤12，x∈N}
D.{x｜10≤x≤15，x∈N}
11.已知全集U＝Z，定义A☉B＝{x｜a·b，a∈A，b∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1}，则 U（A☉B）＝　　　　.
12.已知集合A＝{x｜－4≤x≤－2}，B＝{x｜x＋3≥0}.
（1）求A∩B；
（2）求A∪（ RB）；
（3）定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，求A－B.
13.设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.已知A＝{1，3}，B U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为　　　　.
14.在①B （ RA）；②（ RA）∪B＝R；③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的实数a存在，求出a的取值范围；若问题中的实数a不存在，请说明理由.
已知集合A＝{x｜1≤x≤4}，B＝{x｜a＋1＜x＜2a－1}，是否存在实数a，使得　　　　？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第二课时　补集及综合应用
1.B　 UB＝，A∩（ UB）＝，故选B.
2.C　根据题意，易知图中阴影部分所表示（ UB）∩A＝{1，2}.故选C.
3.D　∵A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，∴A∪B＝{1，3，4，5，6}，又U＝{1，2，3，4，5，6，7}，∴ U（A∪B）＝{2，7}.
4.A　由题知A∩（ RB）＝ ，得A B，则m≤1，故选A.
5.CD　对A，集合P中1 Q，故A错误；
对B，P∩Q＝{2，3}，故B错误；
对C，因为P∩Q＝{2，3}，P＝{1，2，3}，显然（P∩Q） P，故C正确；
对D， RQ＝{x｜x＜2或x＞3}，（ RQ）∩P＝{1}，故D正确.故选C、D.
6.{x｜x＜0，或x≥1}　解析：因为 UA＝{x｜x＞2，或x＜0}，B＝{y｜1≤y≤3}，所以（ UA）∪B＝{x｜x＜0，或x≥1}.
7.22　解析：由题意得，观看两部电影的人数是15＋14＋11－31＝9，故仅观看了其中一部电影的人数是31－9＝22.
8.1或2　解析：由题得集合A＝{1，2}，当m＝1时，B＝{1}；当m≠1时，B＝{1，m}.所以当m＝1时，（ UA）∩B＝ ，符合题意；当m≠1时，（ UA）∩B＝ ，所以m＝2.综合得m＝1或m＝2.
9.解：（1）由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5，2}.
（2）由并集的概念易得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得 UA＝{－5}， UB＝.
所以（ UA）∪（ UB）＝.
（3）（ UA）∪（ UB）的所有子集即为集合的所有子集： ，，{－5}，.
10.A　集合A中有10个元素，B中有6个元素，因为A∩B≠ ，A∩B至少有1个元素，至多有6个元素，所以A∪B至多有15个元素，至少有10个元素，集合（ UA）∩（ UB）＝ U（A∪B）中有x个元素，则3≤x≤8且x为正整数.即x的取值范围是{x｜3≤x≤8，x∈N}，故选A.
11.{x｜｜x｜≥4，x∈Z}　解析：全集U＝Z，定义A☉B＝{x｜a·b，a∈A，b∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1}，所以A☉B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，所以 U（A☉B）＝{x｜｜x｜≥4，x∈Z}.
12.解：（1）B＝{x｜x＋3≥0}＝{x｜x≥－3}，
故A∩B＝{x｜－4≤x≤－2}∩{x｜x≥－3}＝{x｜－3≤x≤－2}.
（2）由B＝{x｜x≥－3}得 RB＝{x｜x＜－3}，
A∪（ RB）＝{x｜－4≤x≤－2}∪{x｜x＜－3}＝{x｜x≤－2}.
（3）A－B＝{x｜x∈A且x B}＝{x｜x∈A且x∈ RB}＝A∩（ RB）＝{x｜－4≤x≤－2}∩{x｜x＜－3}＝{x｜－4≤x＜－3}.
13.4　解析：由集合A∪B表示的字符串为101001，可知A∪B＝{1，3，6}，而A＝{1，3}，B U，则B可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B的个数是4.
14.解：若选①：
由A＝{x｜1≤x≤4}，
得 RA＝{x｜x＜1或x＞4}，
由B （ RA）得，
当B＝ 时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；
当B≠ 时，或
解得a≥3，所以存在实数a，使得B （ RA），
且a的取值范围为（－∞，2]∪[3，＋∞）.
若选②：
由A＝{x｜1≤x≤4}，得
RA＝{x｜x＜1或x＞4}，
由（ RA）∪B＝R，得B≠ ，
即无解，
所以不存在实数a，使得（ RA）∪B＝R.
若选③：
由A∩B＝B可知B A，
当B＝ 时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；
当B≠ 时，解得2＜a≤.
所以，存在实数a，使得A∩B＝B，且a的取值范围为.
2 / 2第二课时　补集及综合应用
　　为了进一步提高同学们的伙食水平，丰富菜品花样， 学校食堂的老师们做了大量的工作，这是他们周一、周二工作计划的一部分：
计划前两天买进的品种组成集合U 第一天买进的品种组成集合A 第一天未买进的计划品种组成集合B
冬瓜、黄瓜、鲫鱼、茄子、虾、猪肉、芹菜、土豆、毛豆 黄瓜、鲫鱼、茄子、猪肉、芹菜、土豆 冬瓜、虾、毛豆
【问题】　（1）集合A与集合U是什么关系？
（2）集合B与集合A是什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　全集
1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的　　　　，那么称这个给定的集合为全集.
2.记法：全集通常记作　　　.
提醒　“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.
知识点二　补集
1.补集的概念
文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由　　　　　　　的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作　　　　，读作“　　　　中的补集”
符号语言 UA＝{x｜x∈U，且x A}
图形语言
2.补集的性质
（1）A∪（ UA）＝　　　；
（2）A∩（ UA）＝　　　；
（3） UU＝　　　， U ＝U， U（ UA）＝　　　；
（4）（ UA）∩（ UB）＝ U（A∪B）；
（5）（ UA）∪（ UB）＝ U（A∩B）.
提醒　（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃”不出全集的范围；
（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的.
1.已知集合U＝{－3，－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1，0，1}，则 UA＝（　　）
A.{－2，－1，0，1}
B.{－3}
C.{－3，2}
D.{0，1}
2.设集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x≥1}，则（ RA）∩B＝（　　）
A. 　　　　　　　 B.[0，1]
C.（0，＋∞） D.[1，＋∞）
3.已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A＝　　　　.
题型一 补集的简单运算
【例1】　（链接教科书第19页例4）（1）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝（　　）
A.U　　　　　　　 B.{1，3，5}
C.{3，5，6} D.{2，4，6}
（2）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－2，或x＞2}，则 UA＝　　　　.
尝试解答
通性通法
求集合补集的2种方法
（1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解；
（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.
【跟踪训练】
1.已知全集为R，集合M＝{x｜x＞1}，则 RM＝（　　）
A.R B.{x｜x≥1}
C.{x｜x＜1} D.{x｜x≤1}
2.设全集为U，M＝{0，2，4}， UM＝{6}，则U＝　　　　.
题型二 集合的综合运算
【例2】　（1）（2023·天津高考1题）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则（ UB）∪A＝（　　）
A.{1，3，5} B.{1，3}
C.{1，2，4} D.{1，2，4，5}
（2）（2023·全国乙卷2题）设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（　　）
A. U（M∪N） B.N∪ UM
C. U（M∩N） D.M∪ UN
尝试解答
通性通法
解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于维恩图来求解；
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
【跟踪训练】
1.设集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则（ UA）∩B＝（　　）
A.{4，5，6} B.{3，4，5，6}
C.{3，4，5，6，7} D.{1，2，4，5，6，7}
2.若集合A＝{y｜0≤y＜2}，B＝{x｜｜x｜＞1}，则A∩（ RB）＝（　　）
A.{x｜0≤x≤1} B.{x｜1≤x≤2}
C.{x｜－1＜x≤0} D.{x｜1＜x＜2}
题型三 与补集相关的参数值的求解
【例3】　设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且（ UA）∩B＝ ，求实数m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例将条件“（ UA）∩B＝ ”改为“（ UA）∩B≠ ”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
2.（变条件）本例将条件“（ UA）∩B＝ ”改为“（ UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
通性通法
由集合的补集求解参数的方法
（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集的定义求解；
（2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解.
【跟踪训练】
（多选）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－2≤x≤7}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，则使A UB成立的实数m的取值范围可以是（　　）
A.{m｜6＜m≤10}　　 B.{m｜－2＜m＜2}
C. D.{m｜5＜m≤8}
　集合运算中的新定义问题
我们知道，如果集合A S，那么S的子集A相对于全集S的补集为 SA，即 SA＝{x｜x∈S，且x A}.类似地，对于集合A，B，我们把集合{x｜x∈A，且x B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}.
【问题探究】
1.若S是高一（1）班全体同学组成的集合，A是高一（1）班全体女同学组成的集合，求S－A及 SA.
提示：S－A＝{x｜x∈S，且x A}＝ SA＝{高一（1）班全体男同学}.
2.在下列各图中用阴影表示集合A－B.
提示：A中去掉B的部分，得到下列图.
3.如果A－B＝ ，那么集合A与B之间具有怎样的关系？
提示：A－B＝ 说明集合{x｜x∈A，且x B}中无元素，即A中的元素都在B中，所以A B.
4.现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）可用下列图中阴影部分表示的为（　　）
提示：A　∵A－B＝{x｜x∈A，且x B}，即A－B是集合A中的元素去掉A∩B中的元素，记作集合D.如图所示.
∴集合C－（A－B）就是C中的元素去掉集合C∩D中的元素.故选A.
【迁移应用】
　由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，可能成立的是　　　　（填序号）.
①M没有最大元素，N有一个最小元素；
②M没有最大元素，N也没有最小元素；
③M有一个最大元素，N有一个最小元素；
④M有一个最大元素，N没有最小元素.
1.已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则 U（A∪B）＝（　　）
A.{6，8}　　　 　　　 B.{5，7}
C.{4，6，7} D.{1，3，5，6，8}
2.设全集U＝R，集合A＝{x｜0＜x＜9}，B＝{x∈Z｜－4＜x＜4}，则集合（ UA）∩B中的元素的个数为（　　）
A.3　 B.4　
C.5　 D.6
3.已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且 U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A∩（ UB）等于（　　）
A.{3} B.{4}
C.{3，4} D.
4.（多选）已知集合A＝{x｜0＜x＜2}，集合B＝{x｜x≤0}，则下列关系正确的是（　　）
A.1∈A
B.A B
C.A （ UB）
D.A∪B＝{x｜x＜2}
5.已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{1，3，5，7，9}，则维恩图中阴影部分表示的集合中元素的个数为　　　　.
第二课时　补集及综合应用
【基础知识·重落实】
知识点一
1.子集　2.U
知识点二
1.U中不属于A　 UA　A在U　　2.（1）U　（2） 　（3） 　A
自我诊断
1.C　∵集合U＝{－3，－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1，0，1}，∴ UA＝{－3，2}.故选C.
2.D　由题设， RA＝{x｜x≥0}，∴（ RA）∩B＝{x｜x≥0}∩{x｜x≥1}＝[1，＋∞）.故选D.
3.{0，1}　解析：∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，∴A＝{0，1}.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　（2）{x｜－2≤x≤2}　解析：（1）因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知 UM＝{3，5，6}.
（2）如图，在数轴上表示出集合A，可知 UA＝{x｜－2≤x≤2}.
跟踪训练
1.D　∵集合M＝{x｜x＞1}，∴ RM＝{x｜x≤1}.故选D.
2.{0，2，4，6}　解析：∵M＝{0，2，4}， UM＝{6}，∴U＝{0，2，4，6}.
【例2】　（1）A　（2）A　解析：（1）由U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，4}，得 UB＝{3，5}.又由A＝{1，3}，得A∪（ UB）＝{1，3，5}.故选A.
（2）因为M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以 U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故选A.
跟踪训练
1.A　因为集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，所以 UA＝{4，5，6，7}，（ UA）∩B＝{4，5，6}.故选A.
2.A　由集合B得B＝{x｜x ＞1或x＜－1} ，所以 RB＝{x｜－1≤x≤1}，故A∩（ RB）＝{x｜0≤x≤1}，故选A.
【例3】　解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
因为B＝{x｜－2＜x＜4}，（ UA）∩B＝ ，如图，
所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是[2，＋∞）.
母题探究
1.解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又（ UA）∩B≠ ，
所以－m＞－2，解得m＜2.
故m的取值范围为（－∞，2）.
2.解：由已知得A＝{x｜x≥－m}， UB＝{x｜x≤－2，或x≥4}.
又（ UB）∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
故m的取值范围为[2，＋∞）.
跟踪训练
ABC　当B＝ 时，m＋1＞2m－1，即m＜2，此时 UB＝R，符合题意，
当B≠ 时，m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，可得 UB＝{x｜x＜m＋1或x＞2m－1}，
因为A UB，所以m＋1＞7或2m－1＜－2，可得m＞6或m＜－，
因为m≥2，所以m＞6，所以实数m的取值范围为m＜2或m＞6，
所以选项A、B、C正确，选项D不正确.故选A、B、C.
拓视野　集合运算中的新定义问题
迁移应用
　①②④　解析：若M＝{x∈Q｜x＜0}，N＝{x∈Q｜x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；
若M＝{x∈Q｜x＜}，N＝{x∈Q｜x≥}，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；
若M＝{x∈Q｜x≤0}，N＝{x∈Q｜x＞0}，则M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；
M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至少有一个有理数不存在于M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数集矛盾，故③不可能成立.
随堂检测
1.A　A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，则 U（A∪B）＝{6，8}，选A.
2.B　∵U＝R， A＝{x｜0＜x＜9}，∴ UA＝{x｜x≤0，或x≥9}，又∵B＝{x∈Z｜－4＜x＜4}，∴（ UA）∩B＝{x∈Z｜－4＜x≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4个元素.
3.A　∵U＝{1，2，3，4}， U（A∪B）＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}.又∵B＝{1，2}，∴{3} A {1，2，3}.又 UB＝{3，4}，∴A∩ UB＝{3}.
4.ACD　∵A＝{x｜0＜x＜2}，B＝{x｜x≤0}，∴ UB＝{x｜x＞0}.∴1∈A，A正确，A∩B＝ ，B错误，A （ UB），C正确，A∪B＝{x｜x＜2}，D正确.故选A、C、D.
5.3　解析：由维恩图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为 A（A∩B）.又A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，∴A∩B＝{1，3，5}，∴ A（A∩B）＝{0，2，4}，即维恩图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3.
5 / 5(共63张PPT)
第二课时　
补集及综合应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　为了进一步提高同学们的伙食水平，丰富菜品花样， 学校食堂的
老师们做了大量的工作，这是他们周一、周二工作计划的一部分：
计划前两天买进的品种
组成集合 U 第一天买进的品种
组成集合 A 第一天未买进的计划品
种组成集合 B
冬瓜、黄瓜、鲫鱼、茄
子、虾、猪肉、芹菜、
土豆、毛豆 黄瓜、鲫鱼、茄
子、猪肉、芹菜、
土豆 冬瓜、虾、毛豆
【问题】　（1）集合 A 与集合 U 是什么关系？
（2）集合 B 与集合 A 是什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　全集
1. 定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是
某一给定集合的 ，那么称这个给定的集合为全集.
2. 记法：全集通常记作 .
提醒　“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据
具体的问题来加以选择的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当
我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.
子集　
U 　
知识点二　补集
1. 补集的概念
文字语言 如果集合 A 是全集 U 的一个子集，则由 的所有元素组成的集合，称为 A 在 U 中的补集，记作 ，读作“ 中的补集”
符号语言 UA ＝{ x ｜ x ∈ U ，且 x A }
图形语言
U 中不属于 A 　
UA
A 在 U 　
2. 补集的性质
（1） A ∪（ UA ）＝ ；
（2） A ∩（ UA ）＝ ；
（3） UU ＝ ， U ＝ U ， U （ UA ）＝ ；
（4）（ UA ）∩（ UB ）＝ U （ A ∪ B ）；
（5）（ UA ）∪（ UB ）＝ U （ A ∩ B ）.
U 　
　
　
A 　
提醒　
（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃”不出全集的范围；
（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算.求
集合 A 的补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不
同，得到的补集也是不同的.
1. 已知集合 U ＝{－3，－2，－1，0，1，2}， A ＝{－2，－1，0，
1}，则 UA ＝（　　）
A. {－2，－1，0，1} B. {－3}
C. {－3，2} D. {0，1}
解析：　∵集合 U ＝{－3，－2，－1，0，1，2}， A ＝{－2，－
1，0，1}，∴ UA ＝{－3，2}.故选C.
2. 设集合 A ＝{ x ｜ x ＜0}， B ＝{ x ｜ x ≥1}，则（ R A ）∩ B ＝
（　　）
A. B. [0，1]
C. （0，＋∞） D. [1，＋∞）
解析：　由题设， R A ＝{ x ｜ x ≥0}，∴（ R A ）∩ B ＝{ x ｜ x
≥0}∩{ x ｜ x ≥1}＝[1，＋∞）.故选D.
3. 已知全集 U ＝{0，1，2}，且 UA ＝{2}，则 A ＝ .
解析：∵ U ＝{0，1，2}， UA ＝{2}，∴ A ＝{0，1}.
{0，1}　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 补集的简单运算
【例1】　（链接教科书第19页例4）（1）设集合 U ＝{1，2，3，4，
5，6}， M ＝{1，2，4}，则 UM ＝（　C　）
A. U B. {1，3，5}
C. {3，5，6} D. {2，4，6}
解析：因为 U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}，由补集的定
义，可知 UM ＝{3，5，6}.
（2）已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ x ＜－2，或 x ＞2}，则 UA
＝ .
解析：如图，在数轴上表示出集合 A ，可
知 UA ＝{ x ｜－2≤ x ≤2}.
{ x ｜－2≤ x ≤2}　
通性通法
求集合补集的2种方法
（1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解；
（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴
分析求解.
【跟踪训练】
1. 已知全集为R，集合 M ＝{ x ｜ x ＞1}，则 R M ＝（　　）
A. R B. { x ｜ x ≥1}
C. { x ｜ x ＜1} D. { x ｜ x ≤1}
解析：　∵集合 M ＝{ x ｜ x ＞1}，∴ R M ＝{ x ｜ x ≤1}.故选D.
2. 设全集为 U ， M ＝{0，2，4}， UM ＝{6}，则 U ＝ .
解析：∵ M ＝{0，2，4}， UM ＝{6}，
∴ U ＝{0，2，4，6}.
{0，2，4，6}　
题型二 集合的综合运算
【例2】　（1）（2023·天津高考1题）已知集合 U ＝{1，2，3，4，
5}， A ＝{1，3}， B ＝{1，2，4}，则（ UB ）∪ A ＝（　A　）
A. {1，3，5} B. {1，3}
C. {1，2，4} D. {1，2，4，5}
解析：由 U ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{1，2，4}，得 UB ＝{3，5}.又
由 A ＝{1，3}，得 A ∪（ UB ）＝{1，3，5}.故选A.
（2）（2023·全国乙卷2题）设集合 U ＝R，集合 M ＝{ x ｜ x ＜1}， N
＝{ x ｜－1＜ x ＜2}，则{ x ｜ x ≥2}＝（　A　）
A. U （ M ∪ N ） B. N ∪ UM
C. U （ M ∩ N ） D. M ∪ UN
解析：因为 M ＝{ x ｜ x ＜1}， N ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}，所以 M ∪
N ＝{ x ｜ x ＜2}，所以 U （ M ∪ N ）＝{ x ｜ x ≥2}.故选A.
通性通法
解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，
然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借
助于维恩图来求解；
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分
别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要
注意边界问题.
【跟踪训练】
1. 设集合 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}， A ＝{1，2，3}， B ＝{3，4，
5，6}，则（ UA ）∩ B ＝（　　）
A. {4，5，6} B. {3，4，5，6}
C. {3，4，5，6，7} D. {1，2，4，5，6，7}
解析：　因为集合 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}， A ＝{1，2，
3}， B ＝{3，4，5，6}，所以 UA ＝{4，5，6，7}，（ UA ）∩ B ＝
{4，5，6}.故选A.
2. 若集合 A ＝{ y ｜0≤ y ＜2}， B ＝{ x ｜｜ x ｜＞1}，则 A ∩（ R B ）
＝（　　）
A. { x ｜0≤ x ≤1} B. { x ｜1≤ x ≤2}
C. { x ｜－1＜ x ≤0} D. { x ｜1＜ x ＜2}
解析：　由集合 B 得 B ＝{ x ｜ x ＞1或 x ＜－1}，所以 R B ＝{ x ｜
－1≤ x ≤1}，故 A ∩（ R B ）＝{ x ｜0≤ x ≤1}，故选A.
题型三 与补集相关的参数值的求解
【例3】　设集合 A ＝{ x ｜ x ＋ m ≥0}， B ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}，全集 U
＝R，且（ UA ）∩ B ＝ ，求实数 m 的取值范围.
解：由已知得 A ＝{ x ｜ x ≥－ m }，
所以 UA ＝{ x ｜ x ＜－ m }，
因为 B ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}，（ UA ）∩ B ＝ ，
如图，所以－ m ≤－2，即 m ≥2，
所以 m 的取值范围是[2，＋∞）.
【母题探究】
1. （变条件）本例将条件“（ UA ）∩ B ＝ ”改为“（ UA ）∩ B
≠ ”，其他条件不变，则 m 的取值范围又是什么？
解：由已知得 A ＝{ x ｜ x ≥－ m }，所以 UA ＝{ x ｜ x ＜－ m }，
又（ UA ）∩ B ≠ ，
所以－ m ＞－2，解得 m ＜2.
故 m 的取值范围为（－∞，2）.
2. （变条件）本例将条件“（ UA ）∩ B ＝ ”改为“（ UB ）∪ A ＝
R”，其他条件不变，则 m 的取值范围又是什么？
解：由已知得 A ＝{ x ｜ x ≥－ m }，
UB ＝{ x ｜ x ≤－2，或 x ≥4}.
又（ UB ）∪ A ＝R，所以－ m ≤－2，
解得 m ≥2.
故 m 的取值范围为[2，＋∞）.
通性通法
由集合的补集求解参数的方法
（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集的
定义求解；
（2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数
问题时，一般利用数轴分析求解.
【跟踪训练】
（多选）已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤7}， B ＝{ x ｜ m ＋
1≤ x ≤2 m －1}，则使 A UB 成立的实数 m 的取值范围可以是
（　　）
A. { m ｜6＜ m ≤10}
B. { m ｜－2＜ m ＜2}
C.
D. { m ｜5＜ m ≤8}
解析：　当 B ＝ 时， m ＋1＞2 m －1，即 m ＜2，此时 UB ＝R，
符合题意，
当 B ≠ 时， m ＋1≤2 m －1，即 m ≥2，
由 B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，
可得 UB ＝{ x ｜ x ＜ m ＋1或 x ＞2 m －1}，
因为 A UB ，所以 m ＋1＞7或2 m －1＜－2，
可得 m ＞6或 m ＜－ ，
因为 m ≥2，所以 m ＞6，
所以实数 m 的取值范围为 m ＜2或 m ＞6，
所以选项A、B、C正确，选项D不正确.
故选A、B、C.
　集合运算中的新定义问题
我们知道，如果集合 A S ，那么 S 的子集 A 相对于全集 S 的补集为
SA ，即 SA ＝{ x ｜ x ∈ S ，且 x A }.类似地，对于集合 A ， B ，我们把
集合{ x ｜ x ∈ A ，且 x B }叫做集合 A 与 B 的差集，记作 A － B . 例如，
A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{4，5，6，7，8}，则有 A － B ＝{1，2，
3}， B － A ＝{6，7，8}.
【问题探究】
1. 若 S 是高一（1）班全体同学组成的集合， A 是高一（1）班全体女
同学组成的集合，求 S － A 及 SA .
提示： S － A ＝{ x ｜ x ∈ S ，且 x A }＝ SA ＝{高一（1）班全体男
同学}.
2. 在下列各图中用阴影表示集合 A － B .
提示： A 中去掉 B 的部分，得到下列图.
3. 如果 A － B ＝ ，那么集合 A 与 B 之间具有怎样的关系？
提示： A － B ＝ 说明集合{ x ｜ x ∈ A ，且 x B }中无元素，即 A 中
的元素都在 B 中，所以 A B .
4. 现有三个集合 A ， B ， C 分别用圆表示，则集合 C －（ A － B ）可用
下列图中阴影部分表示的为（　　）
提示：　∵ A － B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x B }，即 A －
B 是集合 A 中的元素去掉 A ∩ B 中的元素，记作集合
D . 如图所示.
∴集合 C －（ A － B ）就是 C 中的元素去掉集合 C ∩ D 中的元素.故
选A.
【迁移应用】
　由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国
数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理
数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才
结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学
史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个
非空的子集 M 与 N ，且满足 M ∪ N ＝Q， M ∩ N ＝ ， M 中的每一个
元素都小于 N 中的每一个元素，则称（ M ， N ）为戴德金分割.试判
断，对于任一戴德金分割（ M ， N ），
① M 没有最大元素， N 有一个最小元素；
② M 没有最大元素， N 也没有最小元素；
③ M 有一个最大元素， N 有一个最小元素；
④ M 有一个最大元素， N 没有最小元素.
①②④
下列选项中，可能成立的是 　　　　（填序号）.
解析：若 M ＝{ x ∈Q｜ x ＜0}， N ＝{ x ∈Q｜ x ≥0}，则 M 没有最大
元素， N 有一个最小元素0，故①可能成立；
若 M ＝{ x ∈Q｜ x ＜ }， N ＝{ x ∈Q｜ x ≥ }，则 M 没有最大元
素， N 也没有最小元素，故②可能成立；
若 M ＝{ x ∈Q｜ x ≤0}， N ＝{ x ∈Q｜ x ＞0}，则 M 有一个最大元
素， N 没有最小元素，故④可能成立；
M 有一个最大元素， N 有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至
少有一个有理数不存在于 M 和 N 两个集合中，与 M 和 N 的并集是所有
的有理数集矛盾，故③不可能成立.
1. 已知 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， A ＝{1，3，5，7}， B ＝
{2，4，5}，则 U （ A ∪ B ）＝（　　）
A. {6，8} B. {5，7}
C. {4，6，7} D. {1，3，5，6，8}
解析：　 A ∪ B ＝{1，2，3，4，5，7}，则 U （ A ∪ B ）＝{6，
8}，选A.
2. 设全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜9}， B ＝{ x ∈Z｜－4＜ x ＜
4}，则集合（ UA ）∩ B 中的元素的个数为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析：　∵ U ＝R， A ＝{ x ｜0＜ x ＜9}，∴ UA ＝{ x ｜ x ≤0，或 x
≥9}，又∵ B ＝{ x ∈Z｜－4＜ x ＜4}，∴（ UA ）∩ B ＝{ x ∈Z｜
－4＜ x ≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4个元素.
3. 已知集合 A ， B 均为全集 U ＝{1，2，3，4}的子集，且 U （ A ∪
B ）＝{4}， B ＝{1，2}，则 A ∩（ UB ）等于（　　）
A. {3} B. {4}
C. {3，4} D.
解析：　∵ U ＝{1，2，3，4}， U （ A ∪ B ）＝{4}，∴ A ∪ B ＝
{1，2，3}.又∵ B ＝{1，2}，∴{3} A {1，2，3}.又 UB ＝{3，
4}，∴ A ∩ UB ＝{3}.
4. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}，集合 B ＝{ x ｜ x ≤0}，则下
列关系正确的是（　　）
A. 1∈ A B. A B
C. A （ UB ） D. A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2}
解析：　∵ A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜ x ≤0}，∴ UB ＝
{ x ｜ x ＞0}.∴1∈ A ，A正确， A ∩ B ＝ ，B错误， A （ UB ），
C正确， A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2}，D正确.故选A、C、D.
5. 已知集合 A ＝{0，1，2，3，4，5}，集合 B ＝{1，3，5，7，9}，则
维恩图中阴影部分表示的集合中元素的个数为 　　　　.
3
解析：由维恩图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为 A （ A
∩ B ）.又 A ＝{0，1，2，3，4，5}， B ＝{1，3，5，7，9}，∴ A ∩
B ＝{1，3，5}，∴ A （ A ∩ B ）＝{0，2，4}，即维恩图中阴影部
分表示的集合中元素的个数为3.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2021·新高考 Ⅱ 卷2题）设集合 U ＝{1，2，3，4，5，6}， A ＝
， B ＝ ，则 A ∩（ UB ）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　 UB ＝ ， A ∩（ UB ）＝ ，故选B.
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2. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{ x ∈R｜ x ＞
2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A. {0，1} B. {1}
C. {1，2} D. {0，1，2}
解析：　根据题意，易知图中阴影部分所表示（ UB ）∩ A ＝{1，
2}.故选C.
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3. 已知全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}， A ＝{3，4，5}， B ＝{1，
3，6}，那么集合{2，7}是（　　）
A. A ∪ B B. A ∩ B
C. U （ A ∩ B ） D. U （ A ∪ B ）
解析：　∵ A ＝{3，4，5}， B ＝{1，3，6}，∴ A ∪ B ＝{1，3，4，5，6}，又 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，∴ U （ A ∪ B ）＝{2，7}.
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4. 已知集合 A ＝{ x ｜1＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜ x ＞ m }，若 A ∩（ R B ）＝
，则实数 m 的取值范围为（　　）
A. （－∞，1] B. （－∞，1）
C. [1，＋∞） D. （1，＋∞）
解析：　由题知 A ∩（ R B ）＝ ，得 A B ，则 m ≤1，故选A.
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5. （多选）设集合 P ＝{1，2，3}， Q ＝{ x ｜2≤ x ≤3}，则下列结论
中正确的有（　　）
A. P Q B. （ P ∩ Q ）＝ P
C. （ P ∩ Q ） P D. （ R Q ）∩ P ≠
解析：　对A，集合 P 中1 Q ，故A错误；对B， P ∩ Q ＝{2，
3}，故B错误；对C，因为 P ∩ Q ＝{2，3}， P ＝{1，2，3}，显然
（ P ∩ Q ） P ，故C正确；对D， R Q ＝{ x ｜ x ＜2或 x ＞3}，（ R
Q ）∩ P ＝{1}，故D正确.故选C、D.
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6. 设全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜0≤ x ≤2}， B ＝{ y ｜1≤ y ≤3}，则
（ UA ）∪ B ＝ .
解析：因为 UA ＝{ x ｜ x ＞2，或 x ＜0}， B ＝{ y ｜1≤ y ≤3}，所以
（ UA ）∪ B ＝{ x ｜ x ＜0，或 x ≥1}.
{ x ｜ x ＜0，或 x ≥1}　
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7. 国庆期间，高一某班31名学生去电影院观看了《长津湖》《我和我
的父辈》《峰爆》这三部电影.其中有15人观看了《长津湖》，有14
人观看了《我和我的父辈》，有11人观看了《峰爆》，没有人同时
观看这三部电影，则仅观看了其中一部电影的共有 人.
解析：由题意得，观看两部电影的人数是15＋14＋11－31＝9，故
仅观看了其中一部电影的人数是31－9＝22.
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8. 设 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0}， B ＝{ x ｜ x2－（ m ＋1） x
＋ m ＝0}，若（ UA ）∩ B ＝ ，则实数 m ＝ .
解析：由题得集合 A ＝{1，2}，当 m ＝1时， B ＝{1}；当 m ≠1时，
B ＝{1， m }.所以当 m ＝1时，（ UA ）∩ B ＝ ，符合题意；当 m
≠1时，（ UA ）∩ B ＝ ，所以 m ＝2.综合得 m ＝1或 m ＝2.
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9. 设 A ＝{ x ｜2 x2＋ ax ＋2＝0}， B ＝{ x ｜ x2＋3 x ＋2 a ＝0}，且 A ∩ B
＝{2}.
（1）求 a 的值及集合 A ， B ；
解：由交集的概念易得2是方程2 x2＋ ax ＋2＝0和 x2＋3 x ＋2 a ＝0的公共解，则 a ＝－5，此时 A ＝ ， B ＝{－5，2}.
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（2）设全集 U ＝ A ∪ B ，求（ UA ）∪（ UB ）；
解：由并集的概念易得 U ＝ A ∪ B ＝ .
由补集的概念易得 UA ＝{－5}， UB ＝ .
所以（ UA ）∪（ UB ）＝ .
（3）写出（ UA ）∪（ UB ）的所有子集.
解：（ UA ）∪（ UB ）的所有子集即为集合
的所有子集： ， ，{－5}， .
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10. 已知集合 A 中有10个元素， B 中有6个元素，全集 U 有18个元素，
A ∩ B ≠ .设集合（ UA ）∩（ UB ）中有 x 个元素，则 x 的取值范
围是（　　）
A. { x ｜3≤ x ≤8， x ∈N}
B. { x ｜2≤ x ≤8， x ∈N}
C. { x ｜8≤ x ≤12， x ∈N}
D. { x ｜10≤ x ≤15， x ∈N}
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解析：　集合 A 中有10个元素， B 中有6个元素，因为 A ∩ B
≠ ， A ∩ B 至少有1个元素，至多有6个元素，所以 A ∪ B 至多有
15个元素，至少有10个元素，集合（ UA ）∩（ UB ）＝ U （ A ∪
B ）中有 x 个元素，则3≤ x ≤8且 x 为正整数.即 x 的取值范围是
{ x ｜3≤ x ≤8， x ∈N}，故选A.
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11. 已知全集 U ＝Z，定义 A ☉ B ＝{ x ｜ a · b ， a ∈ A ， b ∈ B }，若 A ＝
{1，2，3}， B ＝{－1，0，1}，则 U （ A ☉ B ）＝
.
解析：全集 U ＝Z，定义 A ☉ B ＝{ x ｜ a · b ， a ∈ A ， b ∈ B }， A ＝
{1，2，3}， B ＝{－1，0，1}，所以 A ☉ B ＝{－3，－2，－1，
0，1，2，3}，所以 U （ A ☉ B ）＝{ x ｜｜ x ｜≥4， x ∈Z}.
{ x ｜｜ x ｜
≥4， x ∈Z}　
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12. 已知集合 A ＝{ x ｜－4≤ x ≤－2}， B ＝{ x ｜ x ＋3≥0}.
（1）求 A ∩ B ；
解：B ＝{ x ｜ x ＋3≥0}＝{ x ｜ x ≥－3}，故 A ∩ B ＝{ x ｜－4≤ x ≤－2}∩{ x ｜ x ≥－3}＝{ x ｜－3≤ x ≤－2}.
（2）求 A ∪（ R B ）；
解：由 B ＝{ x ｜ x ≥－3}得 R B ＝{ x ｜ x ＜－3}， A ∪（ R B ）＝{ x ｜－4≤ x ≤－2}∪{ x ｜ x ＜－3}＝{ x ｜ x ≤－2}.
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（3）定义 A － B ＝{ x ｜ x ∈ A 且 x B }，求 A － B .
解：A － B ＝{ x ｜ x ∈ A 且 x B }＝{ x ｜ x ∈ A 且 x ∈ R B }＝ A ∩（ R B ）＝{ x ｜－4≤ x ≤－2}∩{ x ｜ x ＜－3}＝{ x ｜－4≤ x ＜－3}.
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13. 设全集 U ＝{1，2，3，4，5，6}，且 U 的子集可表示由0，1组成
的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第
4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表
示的字符串为000000.已知 A ＝{1，3}， B U ，若集合 A ∪ B 表示
的字符串为101001，则满足条件的集合 B 的个数为 .
解析：由集合 A ∪ B 表示的字符串为101001，可知 A ∪ B ＝{1，
3，6}，而 A ＝{1，3}， B U ，则 B 可能为{6}，{1，6}，{3，
6}，{1，3，6}，故满足条件的集合 B 的个数是4.
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14. 在① B （ R A ）；②（ R A ）∪ B ＝R；③ A ∩ B ＝ B 这三个条件
中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的实数 a 存在，求出 a
的取值范围；若问题中的实数 a 不存在，请说明理由.
已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤4}， B ＝{ x ｜ a ＋1＜ x ＜2 a －1}，是否
存在实数 a ，使得 　　　　？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：若选①：
由 A ＝{ x ｜1≤ x ≤4}，得 R A ＝{ x ｜ x ＜1或 x ＞4}，
由 B （ R A ）得，当 B ＝ 时， a ＋1≥2 a －1，解得 a ≤2；
当 B ≠ 时，
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解得 a ≥3，所以存在实数 a ，使得 B （ R A ），
且 a 的取值范围为（－∞，2]∪[3，＋∞）.
若选②：
由 A ＝{ x ｜1≤ x ≤4}，得 R A ＝{ x ｜ x ＜1或 x ＞4}，
由（ R A ）∪ B ＝R，得 B ≠ ，即无解，所以不存
在实数 a ，使得（ R A ）∪ B ＝R.
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若选③：
由 A ∩ B ＝ B 可知 B A ，当 B ＝ 时， a ＋1≥2 a －1，解得 a
≤2；当 B ≠ 时，解得2＜ a ≤ .
所以，存在实数 a ，使得 A ∩ B ＝ B ，且 a 的取值范围为 .
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