资源简介

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为（　　）
A.6　　　 B.
C.3　　　 D.2
2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是（　　）
A.8 B.16
C.8＋12 D.8＋16
3.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（　　）
A. B.20
C.16 D.
4.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为，EF＝2，AE＝1，则该组合体的表面积为（　　）
A.20 B.4＋12
C.16 D.4＋8
5.（多选）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是（　　）
A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26
6.（多选）已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是（　　）
A.正三棱锥高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
7.如图，三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B的体积是　　　　.
8.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为　　　　.
9.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为　　　　.
10.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
11.如图①所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为（　　）
A.（1＋2）a2 B.（2＋）a2
C.（3＋2）a2 D.（4＋2）a2
12.（2024·泰安月考）如图，多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积V＝（　　）
A.　　　 B.5
C.6　　　 D.
13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50 cm，则石凳的体积为　　　　.
14.求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
15.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为　　　　.
16.某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油，由于不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多还能剩多少.
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.B　设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，且xy＝，yz＝，xz＝，∴（xyz）2＝6，∴V＝xyz＝.故选B.
2.D　设直棱柱的高为h，则＝4，解得h＝2，故直棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16.
3.A　四棱台ABCD-A1B1C1D1为正四棱台，AB＝2，A1B1＝4，AA1＝2，连接AC，A1C1，AC＝＝2，A1C1＝＝4，过A作AG⊥A1C1，交A1C1于点G，则A1G＝＝，AG＝＝＝，∴正四棱台的体积V＝××（16＋4＋）＝.
4.A　由题意，正四棱锥P-EFGH的斜高为＝2，该组合体的表面积为2×2＋4×2×1＋4××2×2＝20.
5.BD　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
6.ABD　如图所示，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×3×＝，故PE＝＝3，故A、B正确.正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确.故选A、B、D.
7.　解析：∵V三棱锥C-A'B'C'＝V三棱柱ABC-A'B'C'＝，∴V四棱锥C-AA'B'B＝1－＝.
8.110　解析：设正四棱柱的底面边长为m，则4（42－m2）＝60，解得m＝1，则该几何体的表面积为42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝110.
9.　解析：＝DD1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1，所以＝＝×1＝.
10.解：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝（）2＋（）2＝＝＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.
直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.
11.D　因为正方体的面对角线长为a，则其棱长为a，图②所示的几何体是平行六面体，上下，左右，前后两两的面积分别相等，上、下底面是长和宽分别为a和a的矩形，其面积均为a×a＝a2，前、后两个面是两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形，其面积均为2××a×a＝a2，左、右两个面是边长为a的正方形，其面积均为a×a＝a2，则此几何体的表面积为2（a2＋a2＋a2）＝（4＋2）a2.
12.D　如图，连接EB，EC，AC，则VE-ABCD＝×32×2＝6.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴VF-EBC＝VC-EFB＝VC-ABE＝VE-ABC＝×VE-ABCD＝.∴V＝VE-ABCD＋VF-EBC＝6＋＝.故选D.
13. cm3　解析：由题意知，V正方体＝503cm3＝125 000 cm3，截去的每一个四面体都可以看成是底面为等腰直角三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，∴V四面体＝××（）2×＝（cm3）.∴石凳的体积V＝125 000－8×＝（cm3）.
14.证明：如图，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，AA'＝h，
故a＋c＞b，a＋b＞c，b＋c＞a，直三棱柱三个侧面面积分别为
S1＝ah，S2＝bh，S3＝ch，
∴ah＋bh＝（a＋b）h＞ch，
ah＋ch＝（a＋c）h＞bh，
bh＋ch＝（b＋c）h＞ah.
即直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积.
15.36　解析：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，∴S表＝2×22＋4×[22＋（）2＋12]＝36.∴该几何体的表面积为36.
16.解：如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V＝aS，
当平面A1DE与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接A1B，A1C，则＝aS＝V，
∵＝＝，且＋＝V，
∴＝V，
∴＋＝V＋V＝V，∴罐内液体车油最多还能剩V L.
3 / 38.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.
【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
　多面体的表面积就是围成多面体　　　　的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的　　　　的面积的和.
【想一想】
　棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
　棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝　　　；
棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝　　　　；
棱台：棱台的上、下底面面积分别为S'，S，高为h，则V＝（S'＋＋S）h.
【想一想】
　等底等高的棱柱和棱锥的体积有什么关系？
1.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　）
A.2 B.4
C.6 D.12
2.棱台的上、下底面面积分别为2，4，高为3，则棱台的体积为（　　）
A.6＋2 B.6＋6
C.12＋2 D.12＋6
3.四面体的各棱长均为2，则它的表面积S＝　　.
题型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
【例1】　已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.
通性通法
1.求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别.
2.棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.
【跟踪训练】
　（2024·河源月考）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】　已知正六棱锥的底面面积为6，侧棱长为，求这个棱锥的体积.
通性通法
求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法
（1）直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使用的公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式即可.常用技法为等积转化；
（2）间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易求的几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个易求几何体的体积的和或差.常用技法有补体法和分割法.
【跟踪训练】
　正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积.
题型三 简单组合体的表面积和体积
【例3】　一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要约多少立方米的混凝土？（钢筋体积忽略不计，结果精确到0.01立方米）.
通性通法
　　求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式.对于与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形，再利用相应多边形的面积公式求得面积.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.
1.若正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　）
A.48 B.64
C.16 D.96
2.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（　　）
A. B.1
C. D.
3.（2024·温州质检）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（　　）
A. B.2
C. D.3
4.正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为　　　　，表面积为　　　　.
5.由华裔建筑师贝聿铭设计的卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 m，底宽34 m，求该金字塔的体积.
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【基础知识·重落实】
知识点一
　各个面　各个面
想一想
　提示：都相等.
知识点二
　Sh　Sh
想一想
　提示：V棱柱＝3V棱锥.
自我诊断
1.B　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4.
2.A　设棱台的上、下底面面积分别为S1，S2，则S1＝2，S2＝4，所以V＝（S1＋＋S2）h＝×（2＋＋4）×3＝6＋2，故选A.
3.4　解析：因为四面体的各棱长均为2，所以S＝4××22×sin 60°＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：如图所示，画出正三棱台ABC-A1B1C1，其中O1，O分别为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝＝＝（cm），所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××（3＋6）×＋×32＋×62＝（cm2）.
跟踪训练
　解：如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4··BC·PE＝2BC2，
∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE，
∴9＋（）2＝PE2，∴PE＝2.
∴S底＝BC2＝PE2＝（2）2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
【例2】　解：如图所示的正六棱锥S-ABCDEF中，O是底面中心，SC＝，SO为正六棱锥的高，
设底面边长为a，则正六边形的面积为6×a2＝6，解得a＝2（负值舍去），∴OC＝2，在Rt△SOC中，SO＝＝1，∴这个棱锥的体积V＝×6×1＝2.
跟踪训练
　解：正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∵S侧＝4××（10＋20）×EE1＝780（cm2），∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm，
∴O1O＝＝12（cm），
∴该正四棱台的体积为V＝×（102＋202＋10×20）×12＝2 800（cm3）.
【例3】　解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，设该预制件的体积为V，则V＝0.6×1.1×24.8－×（0.5＋0.3）×0.3×24.8≈13.39（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
跟踪训练
　解：由题意可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为×a×a×sin 60°＝a2，
故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝＋3S△DBC＋3＝a2＋3××a2＋3a2＝a2；
几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝－＝a3－××a×a×a＝a3.
随堂检测
1.B　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故正方体的体积V＝a3＝43＝64.
2.B　依题意，正三棱台的高h＝＝1.
3.B　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为 S，故二者的体积之比为 ＝＝＝2.
4.6　6＋　解析：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3×1×2＝6；又S底面积＝×1×＝，所以它的表面积为6＋.
5.解：如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，PO＝21 m，AB＝34 m，所以底面正方形的面积为34×34＝1 156 m2，则正四棱锥P-ABCD的体积为×1 156×21＝8 092 m3.
3 / 3(共56张PPT)
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状
除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的
晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目
的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.
【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表
面积吗？
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体 的面积的和.棱柱、棱
锥、棱台的表面积就是围成它们的 的面积的和.
【想一想】
棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？
提示：都相等.
各个面　
各个面　
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝ ；
棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝ ；
棱台：棱台的上、下底面面积分别为S'，S，高为h，则V＝ （S'＋
＋S）h.
【想一想】
等底等高的棱柱和棱锥的体积有什么关系？
提示：V棱柱＝3V棱锥.
Sh　
Sh　
1. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
解析：正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为 ×4×3＝4.
2. 棱台的上、下底面面积分别为2，4，高为3，则棱台的体积为
（　　）
A. 6＋2 B. 6＋6
C. 12＋2 D. 12＋6
解析：　设棱台的上、下底面面积分别为S1，S2，则S1＝2，S2＝
4，所以V＝ （S1＋ ＋S2）h＝ ×（2＋ ＋4）×3
＝6＋2 ，故选A.
3. 四面体的各棱长均为2，则它的表面积S＝ .
解析：因为四面体的各棱长均为2，所以S＝4× ×22× sin 60°＝
4 .
4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
【例1】　已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面
边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.
解：如图所示，画出正三棱台ABC-A1B1C1，其中O1，O分别为正三
棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为
正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角
梯形，所以DD1＝ ＝
＝ （cm），所以此三
棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3× ×（3＋6）×
＋ ×32＋ ×62＝ （cm2）.
通性通法
1. 求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别.
2. 棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱
及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯
形）求解.
【跟踪训练】
（2024·河源月考）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为
3，求它的表面积.
解：如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4· ·BC·PE＝2BC2，
∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝ BC＝ PE，
∴9＋（ ）2＝PE2，∴PE＝2 .
∴S底＝BC2＝PE2＝（2 ）2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】　已知正六棱锥的底面面积为6 ，侧棱长为 ，求这个棱
锥的体积.
解：如图所示的正六棱锥S-ABCDEF中，O是底面
中心，SC＝ ，SO为正六棱锥的高，
设底面边长为a，则正六边形的面积为6× a2＝
6 ，解得a＝2（负值舍去），∴OC＝2，在
Rt△SOC中，SO＝ ＝1，∴这个棱锥的
体积V＝ ×6 ×1＝2 .
通性通法
求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法
（1）直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使
用的公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式
即可.常用技法为等积转化；
（2）间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易
求的几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个
易求几何体的体积的和或差.常用技法有补体法和分割法.
【跟踪训练】
正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其
体积.
解：正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20
cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边
形EOO1E1为直角梯形.
∵S侧＝4× ×（10＋20）×EE1＝780（cm2），∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝ A1B1＝5 cm，OE＝ AB＝10 cm，
∴O1O＝ ＝12（cm），
∴该正四棱台的体积为V＝ ×（102＋202＋10×20）×12＝2 800
（cm3）.
题型三 简单组合体的表面积和体积
【例3】　一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：
米），浇制一个这样的预制件需要约多少立方米的混凝土？（钢筋体
积忽略不计，结果精确到0.01立方米）.
解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后
剩下的几何体，设该预制件的体积为V，则V＝0.6×1.1×24.8－
×（0.5＋0.3）×0.3×24.8≈13.39（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
通性通法
　　求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的
结构特征及组合形式.对于与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题，
要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形，再利用相应
多边形的面积公式求得面积.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-
ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.
解：由题意可知△A1BD是边长为 a的等边三角形，其面积为
× a× a× sin 60°＝ a2，
故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝ ＋3S△DBC＋
3 ＝ a2＋3× ×a2＋3a2＝ a2；
几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝ －
＝a3－ × ×a×a×a＝ a3.
1. 若正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　）
A. 48 B. 64
C. 16 D. 96
解析：　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故正方
体的体积V＝a3＝43＝64.
2. 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高
为（　　）
A. B. 1
C. D.
解析：依题意，正三棱台的高h＝ ＝1.
3. （2024·温州质检）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为
2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（　　）
A. B. 2
C. D. 3
解析：　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积
为 S，故二者的体积之比为 ＝ ＝ ＝2.
4. 正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为 ，表
面积为 .
解析：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧
面积为3×1×2＝6；又S底面积＝ ×1× ＝ ，所以它的表面积
为6＋ .
6
6＋
解：如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，PO＝21 m，AB＝34 m，所以底面正方形的面积为34×34＝1 156 m2，则正四棱锥P-ABCD的体积为 ×1 156×21＝8 092 m3.
5. 由华裔建筑师贝聿铭设计的卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱
锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块
玻璃拼组而成，塔高21 m，底宽34 m，求该金字塔的体积.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 一个长方体的三个面的面积分别为 ， ， ，则这个长方体
的体积为（　　）
A. 6 B. C. 3 D. 2
解析：　设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，且xy＝ ，
yz＝ ，xz＝ ，∴（xyz）2＝6，∴V＝xyz＝ .故选B.
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2. 已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，
则这个棱柱的表面积是（　　）
A. 8 B. 16
C. 8＋12 D. 8＋16
解析：　设直棱柱的高为h，则 ＝4，解得h＝
2 ，故直棱柱的表面积为2×22＋4×2×2 ＝8＋16 .
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3. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积
为（　　）
A. B. 20
C. 16 D.
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解析：　四棱台ABCD-A1B1C1D1为正四棱台，AB＝2，A1B1＝
4，AA1＝2，连接AC，A1C1，AC＝ ＝2 ，A1C1＝
＝4 ，过A作AG⊥A1C1，交A1C1于点G，则A1G＝
＝ ，AG＝ ＝ ＝ ，∴正四棱台
的体积V＝ × ×（16＋4＋ ）＝ .
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4. 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是
长方体ABCD-EFGH. 正四棱锥P-EFGH的高为 ，EF＝2，AE
＝1，则该组合体的表面积为（　　）
A. 20 B. 4 ＋12
C. 16 D. 4 ＋8
解析：　由题意，正四棱锥P-EFGH的斜高为 ＝
2，该组合体的表面积为2×2＋4×2×1＋4× ×2×2＝20.
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5. （多选）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几
何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说
法正确的是（　　）
A. 侧面积之比为1∶4 B. 侧面积之比为1∶8
C. 体积之比为1∶27 D. 体积之比为1∶26
解析：　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱
锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与
原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台
的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
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6. （多选）已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2 ，则下列叙述
正确的是（　　）
A. 正三棱锥高为3
B. 正三棱锥的斜高为
C. 正三棱锥的体积为
D. 正三棱锥的侧面积为
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解析：　如图所示，设E为等边三角形ADC
的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则
PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝
＝ ，EF＝ ×3× ＝ ，故PE＝ ＝3，故A、B正确.正三棱锥的体积为 ×3× ×9＝ ，侧面积为3× ×3× ＝ ，故C错误，D正确.故选A、B、D.
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7. 如图，三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B的体积
是 .
解析：∵V三棱锥C-A'B'C'＝ V三棱柱ABC-A'B'C'＝ ，∴V四棱锥C-AA'B'B＝1－
＝ .

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8. 如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为 .
解析：设正四棱柱的底面边长为m，则4（42－m2）＝60，解得m
＝1，则该几何体的表面积为42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝
110.
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9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段
AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 .
解析： ＝ DD1×1＝ ，又点F到平面DD1E的距离为1，
所以 ＝ ＝ ×1＝ .

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10. 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是
5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
解：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
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∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝（ ）2＋（ ）2＝ ＝ ＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
直四棱柱的底面积S底＝ AC·BD＝20 .
直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20 ＝160＋40 .
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11. 如图①所示，已知正方体的面对角线长为 a，沿阴影面将它切
割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为
（　　）
A. （1＋2 ）a2 B. （2＋ ）a2
C. （3＋2 ）a2 D. （4＋2 ）a2
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解析：　因为正方体的面对角线长为 a，则其棱长为a，图
②所示的几何体是平行六面体，上下，左右，前后两两的面积分
别相等，上、下底面是长和宽分别为 a和a的矩形，其面积均
为 a×a＝ a2，前、后两个面是两个全等的等腰直角三角形
拼成的平行四边形，其面积均为2× ×a×a＝a2，左、右两个
面是边长为a的正方形，其面积均为a×a＝a2，则此几何体的表
面积为2（ a2＋a2＋a2）＝（4＋2 ）a2.
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12. （2024·泰安月考）如图，多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是
边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝ ，EF到平面ABCD的距离
为2，则该多面体的体积V＝（　　）
A. B. 5
C. 6 D.
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解析：　如图，连接EB，EC，AC，则VE-
ABCD＝ ×32×2＝6.∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF. ∴VF-EBC＝VC-EFB＝ VC-ABE
＝ VE-ABC＝ × VE-ABCD＝ .∴V＝VE-ABCD＋
VF-EBC＝6＋ ＝ .故选D.
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13. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八
个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50 cm，则石凳
的体积为 .
cm3
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解析：由题意知，V正方体＝503cm3＝125 000 cm3，截去的每一个
四面体都可以看成是底面为等腰直角三角形，且有一条侧棱垂直
于底面的三棱锥，∴V四面体＝ × ×（ ）2× ＝
（cm3）.∴石凳的体积V＝125 000－8× ＝ （cm3）.
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14. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
证明：如图，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，AA'＝h，
故a＋c＞b，a＋b＞c，b＋c＞a，直三棱柱三个侧面面积分别为
S1＝ah，S2＝bh，S3＝ch，
∴ah＋bh＝（a＋b）h＞ch，
ah＋ch＝（a＋c）h＞bh，
bh＋ch＝（b＋c）h＞ah.
即直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积.
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15. 有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方
体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层
正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为 .
解析：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2， ，1，∴S表＝2×22＋4×[22＋（ ）2＋12]＝36.∴该几何体的表面积为36.
36
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16. 某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油，
由于不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗
漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m
的地方（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝
上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多还能剩多少.
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解：如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，
则V＝aS，
当平面A1DE与水平面平行时，容器内的油是
最理想的剩余量，连接A1B，A1C，则
＝ aS＝ V，
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∵ ＝ ＝ ，且
＋ ＝ V，
∴ ＝ V，
∴ ＋ ＝ V＋ V＝ V，
∴罐内液体车油最多还能剩 V L.
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谢 谢 观 看！

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