资源简介

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（　　）
A.　　　B.1 C.2　　　D.3
2.已知圆柱OO'的母线长l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO'的底面半径r＝（　　）
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）
A.7 B.6
C.5 D.3
4.若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是（　　）
A.24π B.24
C.3 π D.3
5.（2024·中山月考）一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图①放置容器时，液面以上空余部分的高为h1，如图②放置容器时，液面以上空余部分的高为h2，则＝（　　）
A. B.（）2
C.（）3 D.
6.（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　）
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆锥的表面积最小
7.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为　　　　.
8.已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为　　　　.
9.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若＝，则＝　　　　.
10.如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周.
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积；
（2）求阴影部分形成的几何体的体积.
11.（2024·汕尾月考）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为2 m，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积约为（　　）
A.2π m3 　 B.3π m3
C.4π m3 　 D.6π m3
12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为　　　　.
13.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为　　　　，表面积等于　　　　.
14.如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.
15.将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则截得棱柱的体积的最大值为　　　　.
16.某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）.
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）选用哪个方案建造仓库更经济些？
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.D　设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.
2.A　圆柱OO'的侧面积为2πrl＝8πr（cm2），两底面面积之和为2×πr2＝2πr2（cm2），所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7（舍去），所以圆柱的底面半径为3 cm.
3.A　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面积S＝π（r＋3r）×3＝84π，解得r＝7.
4.C　设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝＝.由圆锥的体积公式可得V＝πr2h＝3 π.
5.B　在图①中，液面以上空余部分的体积为πh1；在图②中，液面以上空余部分的体积为πh2.因为πh1＝πh2，所以＝（）2.
6.CD　∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，∴圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积S＝πR·＝πR2，故B错误；圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，球的表面积S球＝4πR2，∴圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；圆柱的表面积S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，圆锥的表面积S圆锥＝πR·＋πR2＝（＋1）πR2，球的表面积为S球＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正确.故选C、D.
7.6π　解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝πr2＝π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝2S底＋S侧＝6π.
8.π　解析：圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则＝，解得h＝2，所以圆台的体积V＝π（22＋2×3＋32）×2＝π.
9.　解析：∵棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，∴V1＝a3，S1＝6a2.∵底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，∴V2＝r·πr2＝，S2＝πrl＝πr2，∵＝，∴＝，解得a＝r，∴＝＝.
10.解：（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，
S半球＝×4π×22＝8π，
S圆台侧＝π×（2＋5）×＝35π，
S圆台下底＝π×52＝25π.
故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π.
（2）V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π，V半球＝π×23×＝π，
故所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π.
11.B　因为轴截面是顶角为∠APC＝的等腰三角形，所以∠PAO＝，在Rt△APO中，依题意，该圆形攒尖的底面圆的半径AO＝r＝ m，高PO＝h＝rtan＝3 m，则V＝πr2h＝π×3×3＝3π（m3），所以该圆锥的体积约为3π m3.故选B.
12.3∶1∶2　解析：设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.
13.20 cm　224π cm2　
解析：设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20（cm）.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）.
14.解：（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，
设OB＝l，∠AOA'＝θ，
则θ·l＝2π×5，θ·（l＋20）＝2π×10，
解得θ＝，l＝20（cm）.
∴OA＝40（cm），OM＝30（cm）.
∴AM＝＝50（cm）.
即绳子的最短长度为50 cm.
（2）如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P，
则PQ即为所求的最短距离.
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24（cm）.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4（cm），即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
15.2　解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为，则截得的棱柱的体积V＝x×1＝＝（0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝时，Vmax＝2，即截得棱柱体积的最大值为2.
16.解：（1）方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝Sh＝×π×（）2×4＝π（m3）.
方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝Sh＝×π×（）2×8＝π＝96π（m3）.
（2）方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
则圆锥的母线长l1＝＝4（m），
则仓库的表面积S1＝π×8×4＋π×82＝（32π＋64π）m2.
方案二：仓库的高变成8 m，
则圆锥的母线长l2＝＝10（m），
则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）.
（3）由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造仓库更经济些.
3 / 38.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
　　在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体.
　　这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体.
【问题】　你会求上述几何体的表面积及体积吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积和体积
圆柱 S圆柱＝　　　　　（r是底面半径，l是母线长）； V圆柱＝　　　　　（r是底面半径，h是高）
圆锥 S圆锥＝　　　　　（r是底面半径，l是母线长）； V圆锥＝　　　　　（r是底面半径，h是高）
圆台 S圆台＝　　　　　（r'，r分别是上、下底面半径，l是母线长）； V圆台＝　　　　　（r'，r分别是上、下底面半径，h是高）
提醒　圆柱、圆锥、圆台的关系：①侧面积公式间的关系，S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl；
②体积公式间的关系
V＝ShV＝（S'＋＋S）hV＝Sh.
知识点二　球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝　　　　（R为球的半径）.
2.球的体积公式V＝　　　　.
1.若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为　　　　，表面积为　　　　.
2.已知两个球的半径之比为2∶3，则它们的表面积之比为　　　　，体积之比为　　　　.
3.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为　　　　.
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】　（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（　　）
A.40π　　 B.36π
C.26π　　 D.20π
（2）圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为　　　　 cm2.（结果中保留π）
通性通法
　　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图；
（2）依次求出各个平面图形的面积；
（3）将各平面图形的面积相加.
【跟踪训练】
1.（多选）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝4，AC＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是（　　）
A.圆柱的侧面积为2π
B.圆柱的侧面积为6π
C.圆柱的表面积为6π＋12π
D.圆柱的表面积为2π＋6π
2.（2024·枣庄质检）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为　　　　，表面积为　　　　.
题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积
【例2】　（1）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（　　）
A. B.
C.64π D.128π
（2）已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为　　　　.
通性通法
圆柱、圆锥、圆台体积的求法
　　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，即由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
【跟踪训练】
1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　）
A.5π B.6π
C.20π D.10π
2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　）
A.2π B.π
C.π D.π
题型三 球的表面积与体积
【例3】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　　）
A.12π cm3 B.36π cm3
C.64π cm3 D.108π cm3
（2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　　）
A.100 B.400
C.100π D.400π
通性通法
　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.
【跟踪训练】
1.若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为　　　　.
2.（2024·湖州月考）长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为　　　　.
1.球的体积是，则此球的表面积是（　　）
A.12π B.16π
C. D.
2.若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（　　）
A.π　　　 B.2π
C.3π　　 D.4π
3.已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
4.一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体的体积为　　　　.
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【基础知识·重落实】
知识点一
　2πr（r＋l）　πr2h　πr（r＋l）　
πr2h　π（r'2＋r2＋r'l＋rl）　
πh（r'2＋r'r＋r2）
知识点二
1.4πR2　2.πR3
自我诊断
1.π　（3＋2）π　解析：V＝Sh＝×π×3×1＝π.S＝πr（r＋l）＝π（＋2）＝（3＋2）π.
2.　　解析：设两个球的半径为R，r，由题意可得R∶r＝2∶3，所以表面积之比为＝＝＝，体积之比为＝＝＝.
3.3π　解析：圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则圆台的母线长l＝＝，所以该圆台的侧面积S＝π（1＋2）l＝3π.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）B　（2）1 100π　解析：（1）圆锥的母线长l＝＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.
（2）如图所示，设圆台的上底面周长为l cm，因为扇环的圆心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以表面积S＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1 100π（cm2）.
跟踪训练
1.BC　因为AB＝4，AC＝2，所以BC＝＝2，即r＝，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝2π××3＝6π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝6π＋12π.故选B、C.
2.5　80π　解析：设圆台的母线长为l，则由题意得π（2＋6）l＝π×22＋π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，所以该圆台的母线长为5.圆台的表面积为S＝π×（2＋6）×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.
【例2】　（1）A　（2）224π　解析：（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝ ，即l＝r，由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，∴r＝4.∴l＝4，高h＝ ＝4.∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A.
（2）设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图.∵母线长为10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝2.∴下底面半径R＝8，高h＝8，∴V圆台＝π（r2＋rR＋R2）h＝224π.
跟踪训练
1.D　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
2.D　设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径r＝1，则由2π×1＝πl得l＝2，所以h＝＝，所以V＝πr2h＝π×12×＝π.故选D.
【例3】　（1）B　（2）D　
解析：（1）设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝＝3 cm，∴球的体积V＝π×33＝36π cm3.故选B.
（2）设大金属球的半径为r，则×23×125＝×r3 r＝10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D.
跟踪训练
1.π　解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得即整理，得解得故两球的体积之差的绝对值为π×43－π×23＝π（43－23）＝π.
2.12π　解析：该长方体的体对角线长为＝2，设外接球的半径为R，∴2R＝2，∴R＝，∴S球＝4πR2＝12π.
随堂检测
1.B　设球的半径为R，∴πR3＝π，∴R＝2，∴S球＝4πR2＝16π.
2.C　设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×（1＋2）＝3π.
3.A　设圆台的高为h，由题意知V＝π（12＋1×2＋22）h＝7π，故h＝3.
4.πR3　解析：圆柱的体积V1＝πR2·R＝πR3，圆锥的体积V2＝πR3，所以所求的几何体的体积为V1－V2＝πR3－πR3＝πR3.
4 / 4(共35张PPT)
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体.
　　这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立
体几何中的旋转体.
【问题】　你会求上述几何体的表面积及体积吗？
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积和体积
圆
柱
S圆柱＝ （r是底面半径，l是母线
长）；
V圆柱＝ （r是底面半径，h是高）
2πr（r＋l）　
πr2h　
图形 表面积和体积
圆
锥 S圆锥＝ （r是底面半径，l是母线长）；
V圆锥＝ （r是底面半径，h是高）
圆
台
S圆台＝ （r'，r分别是上、下底面半径，l是母线长）；
V圆台＝ （r'，r分别是上、下底面半径，h是高）
πr（r＋l）　
πr2h　
π（r'2＋r2＋r'l＋rl）　
πh（r'2＋r'r＋r2）　　
提醒　圆柱、圆锥、圆台的关系：
①侧面积公式间的关系，S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π（r＋r'）l S圆锥侧＝
πrl；
②体积公式间的关系
V＝Sh V＝ （S'＋ ＋S）h V＝ Sh.
知识点二　球的表面积和体积公式
1. 球的表面积公式S＝ （R为球的半径）.
2. 球的体积公式V＝ .
4πR2　
πR3　
1. 若圆锥的底面半径为 ，高为1，则圆锥的体积为 ，表面积
为 .
解析：V＝ Sh＝ ×π×3×1＝π.S＝πr（r＋l）＝ π（ ＋
2）＝（3＋2 ）π.
π
（3＋2 ）π
2. 已知两个球的半径之比为2∶3，则它们的表面积之比为 ，体
积之比为 .
解析：设两个球的半径为R，r，由题意可得R∶r＝2∶3，所以表
面积之比为 ＝ ＝ ＝ ，体积之比为 ＝ ＝ ＝ .


3. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面
积为 .
解析：圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则圆台的母线
长l＝ ＝ ，所以该圆台的侧面积S＝π（1＋
2）l＝3 π.
3 π
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】　（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为
（　B　）
A. 40π B. 36π
C. 26π D. 20π
解析：圆锥的母线长l＝ ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋
π×4×5＝36π.
B
（2）圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图
是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为 cm2.（结
果中保留π）
1 100π
解析：如图所示，设圆台的上底面周长为l cm，因为扇环的圆心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以表面积S＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1 100π（cm2）.
通性通法
　　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面
及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式
求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图；
（2）依次求出各个平面图形的面积；
（3）将各平面图形的面积相加.
【跟踪训练】
1. （多选）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一
条母线，已知AB＝4，AC＝2 ，AA1＝3，则下列说法正确的是
（　　）
A. 圆柱的侧面积为2 π
B. 圆柱的侧面积为6 π
C. 圆柱的表面积为6 π＋12π
D. 圆柱的表面积为2 π＋6π
解析：　因为AB＝4，AC＝2 ，所以BC＝ ＝
2 ，即r＝ ，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝
2π× ×3＝6 π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝6 π＋12π.故
选B、C.
2. （2024·枣庄质检）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面
面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为 ，表面积
为 .
解析：设圆台的母线长为l，则由题意得π（2＋6）l＝π×22＋
π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，所以该圆台的母线长为5.圆台
的表面积为S＝π×（2＋6）×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝
80π.
5
80π
题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积
【例2】　（1）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是
16 π，则圆锥的体积是（　A　）
A. B.
C. 64π D. 128 π
A
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直
角三角形，∴2r＝ ，即l＝ r，由题意得，侧面积S侧＝
πr·l＝ πr2＝16 π，∴r＝4.∴l＝4 ，高h＝ ＝4.
∴圆锥的体积V＝ Sh＝ π×42×4＝ π，故选A.
（2）已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，
则圆台的体积为 .
解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如
图.∵母线长为10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝
2.∴下底面半径R＝8，高h＝8，∴V圆台＝ π（r2＋rR＋R2）h
＝224π.
224π
通性通法
圆柱、圆锥、圆台体积的求法
　　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高
一般利用几何体的轴截面求得，即由母线、高、半径组成的直角三角
形中列出方程并求解.
【跟踪训练】
1. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最
短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　）
A. 5π B. 6π C. 20π D. 10π
解析：　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
2. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的
体积为（　　）
A. 2 π B. π
C. π D. π
解析：　设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径r＝1，则由
2π×1＝πl得l＝2，所以h＝ ＝ ，所以V＝ πr2h＝
π×12× ＝ π.故选D.
题型三 球的表面积与体积
【例3】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个
平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　B　）
A. 12π cm3 B. 36π cm3
C. 64 π cm3 D. 108π cm3
B
解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图
所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝ ＝3 cm，∴球的
体积V＝ π×33＝36π cm3.故选B.
（2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如
果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　D　）
A. 100 B. 400
C. 100π D. 400π
解析：设大金属球的半径为r，则 ×23×125＝ ×r3 r＝
10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D.
D
通性通法
　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问
题时，设法求出球的半径是解题的关键.
【跟踪训练】
1. 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之
差的绝对值为 .
解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得
即整理，得
解得故两球的体积之差的绝对值为 π×43－
π×23＝ π（43－23）＝ π.
π
2. （2024·湖州月考）长、宽、高分别为2， ， 的长方体的外接
球的表面积为 .
解析：该长方体的体对角线长为 ＝
2 ，设外接球的半径为R，∴2R＝2 ，∴R＝ ，∴S球＝
4πR2＝12π.
12π
1. 球的体积是 ，则此球的表面积是（　　）
A. 12π B. 16π C. D.
解析：　设球的半径为R，∴ πR3＝ π，∴R＝2，∴S球＝
4πR2＝16π.
2. 若圆锥的底面半径为1，高为 ，则圆锥的表面积为（　　）
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
解析：　设圆锥的母线长为l，则l＝ ＝2，所以圆锥的表
面积为S＝π×1×（1＋2）＝3π.
3. 已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高
为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：　设圆台的高为h，由题意知V＝ π（12＋1×2＋22）h＝
7π，故h＝3.
4. 一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几
何体（如图所示），则该几何体的体积为 .
解析：圆柱的体积V1＝πR2·R＝πR3，圆锥的体积V2＝ πR3，所以
所求的几何体的体积为V1－V2＝πR3－ πR3＝ πR3.
πR3
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑